III. — Propriété projective du plan polaire et de son pôle

On démontre par la Géométrie que, dans deux figures réciproques, à une droite x, axe d'un faisceau de plans, correspond projectivement une droite x\ ponctuelle des pôles respectifs. Dans le système réciproque qui nous occupe, si Ton suppose que l'une des deux droites soit la ligne d'action de l'une des forces, l'autre sera la ligne d'action de la force conjuguée, et les deux droites seront réciproques, d'après la définition donnée au n° II, § 1.

Si nous convenons de généraliser cette définition et d'appeler

réciproques deux droites, dont l'une soit l'enveloppe des plans, dont l'autre est le lieu des pôles respectifs (indépendamment de ce fait d'être les lignes d'action de forces conjuguées), et si nous nous rappelons que chacun de ces plans contient son propre pôle, nous pourrons dire que :

Si un plan tourne autour d'une droite a, en décrivant un faisceau, son pôle décrira sur la droite réciproque a! une ponctuelle projective du faisceau.

Cela résulte, du reste, directement du n° II, § 2, lorsque les droites réciproques sont les lignes d'action de forces conjuguées^ il suffît, en effet, de laisser invariables les droites a et d et de faire tourner le plan [jl autour de a.

IV. — Droites doubles et propriétés qui se rattachent à leur notion.

§ 1. Une droite d rencontre deux forces conjuguées a, a! aux points M et N. Ces points sont évidemment les pôles des plans a! d ^ V, ad^ [jl; et par suite, la droite rf, qui joint les pôles des plans polaires [jl et v, est réciproque d'elle-même, d'après la définition généralisée du numéro précédent.

Supposons, au contraire, qu'une droite x ne rencontre qu'une seule des deux forces conjuguées, par exemple la force a : sa réciproque x^ passera (n° II, §§ 2 et 3) par le pôle du plan «.r ^ [jl, qui n'est autre que le point ([xa'), tandis que x ne passe pas par ce point, car alors, contrairement à l'hypothèse, elle rencontrerait les deux forces a, a! ; donc x ne coïncide pas avec sa réciproque x^ ,

En appelant droite double une droite qui soit à elle-même sa réciproque, on peut énoncer le théorème suivant :

Toute droite qui rencontre deux droites réciproques est double, et toute droite double rencontre au moins deux droites réciproques.

- - XVH ~

De là on déduit, comme corollaire, la loi de distribution des droites doubles :

Par chaque point M, il passe une infinité de droites doubles, qui sont toutes situées dans le plan polaire |jl de M. Chaque plan [JL en contient une infinité qui concourent toutes en son pôle M.

Il est, en effet, évident qu'une droite quelconque située dans le plan [JL et passant par M rencontre un couple de droites conjuguées et, par conséquent, une infinité (n° II, §§ 2 et 3).

§ 2. La considération des droites doubles rend presque intuitives les propriétés suivantes :

(a) Etant donnés deux plans ^et^, si^ contient le pôle de |jl, réciproquement \k contiendra le pôle de v.

(6) Si quatre droites sont les lignes d'' action de deux paires de forces conjuguées, une droite quelconque, qui en rencontrera trois d'^ entre elles, rencontrera aussi la quatrième.

Et, comme"corollaire, en se rappelant le n° II, § 2 :

(c) Étant données deux paires de droites conjuguées, il peut arriver : i^ que, des quatre lignes d'action, deux (non conjuguées) se rencontrent, et alors les deux autres se rencontrent; 2** qu'elles ne se rencontrent pas, et, dans ce cas, elles sont des génératrices d'un même système d'un hyperholoïde à une nappe.