VIII. — Génération par la liaison de nœuds

Soient à relier par des barres résistantes n nœuds qui peuvent être tous ou en partie seulement les points d'application de forces qui se font équilibre.

On a parlé déjà plusieurs fois du polygone funiculaire qui peut être formé d'éléments de cordes si ses côtés sont tendus, et qui doit être au contraire formé de barres rigides inflexibles si ses côtés sont comprimés. Si les forces auxquelles le polygone funi-

culaire considéré est relatif venaient à se modifier, tout en se maintenant en équilibre, le même polygone funiculaire ne pourrait plus, en général, servir de lien rigide aux nœuds qu'il relie; et cela parce que, s'il est bien toujours vrai que, si l'on construit le palygone funiculaire relatif à un pôle arbitraire du polygone des forces en équilibre, ce polygone est fermé, il n'en est pas de même de la propriété réciproque. Cette propriété réciproque ne se vérifie que pour le cas de trois nœuds. Toutes les fois qu'en opérant la décomposition des forces suivant les barres de la travure on arrive à un nœud d*où ne part qu'une barre le long de laquelle agit une force inconnue, et à un polygone des forces relatif à ce nœud dans lequel le segment parallèle à cette barre ne ferme pas le polygone, il est évident que la travure considérée ne peut servir de lien rigide aux points d'application des forces externes en équilibre données. L'indéformabilité du système peut alors être assurée par l'adjonction des barres nécessaires pour rendre indéformable le polygone qui joint les nœuds de la travure.

L'indéformabilité, qui est une condition essentielle des travures réticulaires, peut être traitée directement sans passer par des considérations relatives aux forces.

Une barre réunit deux nœuds ; pour rendre un troisième nœud solidaire des deux premiers, il suffit évidemment de le relier avec les premiers au moyen de deux barres. Comme il faut toujours deux barres et qu'il n'en faut que deux pour réunir un nœud nouveau à un système de nœuds déjà liés entre eux, on voit que l'on peut, avec N nœuds donnés, engendrer de nombreuses travures réticulaires, puisque Ton peut choisir arbitrairement deux quelconques des i — I premiers nœuds que l'on reliera au i^^^^. Toutes ces travures sont caractérisées par ce fait de contenir au moins un nœud auquel ne viennent concourir que deux barres seulement. Ce nœud est le dernier de la série. On appelle ces travures strictement indéformables ( ^ ).

IX. — Relation entre le nombre des barres et celui des nœuds. Les travures analogues à celles dont nous venons de nous oc-

(' ) Foir M. Le VY, Statique graphique ^ §28 et 29. Gaulbicr-Villars; Paris, i88o.

cuper contiennent le nombre de barres strictement nécessaires pour que l'invariabilité de la figure soit assurée. On déduit, de leur mode de génération, la relation qui existe entre le nombre total B des barres qui les composent et le nombre N des nœuds qu'elles renferment.

En effet, relions deux quelconques des nœuds par une barre; pour déterminer les autres nœuds, il faudra autant de fois deux barres qu'il y a de nœuds, c'est-à-dire 2(N — a); le nombre total des barres, en comptant la première, sera donc

(a) B = 2(N — 2)-Hi= 2N— 4 + i = 2N — 3.

Voilà une relation nécessaire bien connue entre le nombre des nœuds et celui des barres d'une Iravure strictement indéformable.

Une travure est déformable lorsqu'elle contient un nombre de barres plus petit que 2N — 3, et, dans ce cas, on dit qu'elle est à barres insuffisantes.

Lorsqu'une travure est telle que le nombre de ses barres et le nombre de ses nœuds sont liés par la relation

elle contient k barres de plus qu'il n'est nécessaire pour qu'elle soit strictement indéformable; on dit, dans ce cas, qu'elle esta barres surabondantes.

Parmi les différentes travures strictement indéformables que l'on rencontre dans la pratique, nous citerons les travures triangulaires, ainsi appelées parce qu'elles consistent en un réseau de triangles juxtaposés, dont les côtés ne se coupent pas et dont les nœuds sont tous situés sur le contour extérieur de la travure.

La fig, 29 en est un exemple.

Parmi celles-ci, on rencontre un système remarquable {fig- 3o) qui se compose d'une série de triangles ayant chacun un côté commun avec le précédent et un autre avec le suivant, de telle sorte qu'en chacun des nœuds concourent trois ou quatre barres au plus, sauf aux deux nœuds extrêmes par lesquels ne passent que deux barres.