X. — Travures indivisibles

La faculté que l'on a de substituer à une barre qui joint deux

nœuds une autre barre qui enjoint deux autres permet d'obtenir un grand nombre de travures différentes avec un même nombre de nœuds. Parmi ces travures, il en est auxquelles on ne peut pas assigner un mode de génération semblable à celui dont nous avons parlé plus haut, parce que, en chaque nœud, viennent concourir au moins trois barres.

Voici de quelle façon elles peuvent s'engendrer directement : Soient N nœuds numérotés dans un ordre quelconque i, 2, 3,..., ai. Au quadrilatère simple 1234, on relie les autres nœuds au moyen d'autant de paires de barres qu'il y a de nœuds, en joignant le nœud 5 aux nœuds 2 et 4» le nœud 6 aux nœuds 3 et 5. . ., le nœud n aux nœuds n — 3 et /i — i. La travure ainsi obtenue serait indéformable si le quadrilatère I234, auquel il manque une diagonale, Tétait lui-même. Si l'on suppose fixes les nœuds i et 2, les deux autres nœuds 2 et 4 ne peuvent se mouvoir que sur deux lignes, et il en est de même de tous les autres nœuds, grâce à leur mode de liaison avec les précédents. On reliera donc d'une façon rigide tous les nœuds avec la barre 12 supposée fixe, en reliant à celle-ci un quelconque de ces nœuds par une barre. On reliera, par exemple, le nœud n au nœud i. La relation B = 2N — 3 est satisfaite, mais la figure résultante se compose d'un polygone fermé de N côtés ayant N — 3 diagonales, disposées de telle sorte qu'il en passe au moins une à chaque nœud; N ne saurait être inférieur à 6.

Si Ton forme le pentagone simple i2345 et si on lui relie les nœuds successifs, chacun au moyen de deux barres, de telle sorte que le nœud 6 soit relié à 2 et 5, le nœud 7 à 3 et 6, . . . , le nœud n avec /î — 4 et ai — i , le système est déformable, parce que le pentagone i2345, auquel il manque deux diagonales, l'est luimême. En supposant fixe le côté 12, le nœud 4 n'est plus assujetti à se mouvoir sur une ligne, pas plus que les nœuds 7, 8, . . .,ai. On assujettit ces nœuds à se mouvoir sur une ligne, en reliant le nœud I ou le nœud 2 avec un autre nœud quelconque au moyen d'une barre. Réunissons donc ensemble les nœuds n — 3 et 1. Si, maintenant, on relie le nœud aï, qui doit se maintenir sur une ligne avec le nœud i, la rigidité est assurée et la relation B=2N — 3 est satisfaite. La figure résultante est un polygone de N côtés ayant N — 3 diagonales, disposées de telle sorte 'qu'il

en passe au moins une à chaque nœud. Ces diagonales peuvent, du reste, être déplacées, pourvu que cette dernière condition soit satisfaite.

On peut encore partir dans la génération de ces travures d'un hexagone simple.

On peut supprimer un nœud d'une Iravure pourvu qu'il soit le point de concours de deux barres seulement. Par conséquent, aucun nœud de ces travures ne peut être supprimé, puisque, en chacun d'eux viennent concourir au moins trois barres. Ces travures sont donc des travures indivisibles. En général, elles ne présentent aucune portion qui soit par elle-même indéformable. Cependant on rencontre des cas exceptionnels; par exemple, pour le cas N = 9, en partant pour la génération d'un pentagone simple 12345, on obtient une travure dans laquelle la partie 12659 est indéformable ; la portion restante est formée d'un polygone simple 3487 dont chacun des sommets est réuni à la partie rigide.

Ces travures se composent donc de m nœuds, liés à un système rigide au moyen de 2/n barres, de telle sorte qu'en chaque nœud concourent trois barres; l'ensemble, ainsi formé, est rigide. Celte propriété se démontre, du reste, directement. Choisissons l'un des m nœuds pour premier de la série; relions-le au moyen d'une barre au système fixe ; puis le second au premier et au système fixe au moyen de deux barres et ainsi de suite ; enfin le dernier avec Tavant-dernier avec le système fixe au moyen de deux barres. Si l'on déplace le premier nœud, les autres prendront des positions parfaitement déterminées. Mais la distance du dernier nœud au premier ne sera plus, en général, la même qu'avant le déplacement. De là, la nécessité d'ajouter une barre, pour rendre invariable cette distance et empêcher tout déplacement relatif des différents nœuds, hdijiff, 32 représente une travure engendrée d'après les considérations précédentes.

En général, lorsque l'on voudra exécuter un dessin de travure par la liaison de nœuds donnés, on pourra joindre ces N nœuds par un polygone simple, dont les côtés seront tracés dans un certain ordre {/ig- 3i, dans laquelle le polygone simple est tracé en gros traits), puis ajouter à ce polygone N — 3 côtés diagonaux (représentés dans la figure en traits déliés), de façon qu'aucune portion de la travure ne contienne de barres surabondantes.

Si Ton fait un dessin de la Iravure en disposant les nœuds dans l'ordre choisi, sur une circonférence, et si l'on trace les diagonales, on reconnaît très facilement, même dans le cas où N est très grand, si la travure ainsi composée a des parties rigides à barres surabondantes.

XI. — Génération par la liaison de barres ou de groupes de barres.

Le procédé de génération des travures réticulaires strictement indéformables par la liaison des barres est aussi fécond que le précédent et les l^'pes que l'on peut obtenir varient à l'infini.

Deux barres réunies, à charnières, peuvent être rendues solidaires par Tadj onction d'une troisième barre, qui en réunit les extrémités libres. Le cas où la longueur de cette troisième barre est précisément égale à la somme des longueurs des deux premières doit être exclu, car il se présente lorsque les trois nœuds sont en ligne droite.

La travure représentée fig, 3o peut être considérée comme formée d'une série de barres 12, 28, 34? 45, . . ., reliées successivement à charnière aux nœuds 2, 3, 4> • • • et formant un système dont l'indéformabilité est assurée par la liaison de chacun des couples de jarres consécutives avec les barres i3, 24, 35, ....

En général, deux systèmes indéformables de barres ayant en commun un nœud ou une charnière sont rendus solidaires au moyen d'une barre ou d'un système indéformable qui relie deux nœuds quelconques, pourvu que les trois nœuds ne soient pas en ligne droite.

Deux barres indépendantes AB, CD (^fig* 33) sont rendues solidaires en reliant à charnière l'une des extrémités D de la seconde aux deux extrémités de la première au moyen des deux barres AD et BD et en ajoutant une troisième barre qui réunit l'extrémité libre C de la seconde CD à l'un des nœuds du système rigide ABD.

hdi Jig. 3o peut être considérée comme formée de n barres 12, 34, 56, 78, reliées successivement la première à la seconde au moyen de trois barres, la seconde à la troisième au moyen de trois autres barres et ainsi de suite.

Pour relier d'une façon rigide n barres, il est donc nécessaire de leur en ajouter en tout 3 /i — 3.

En général, deux systèmes indéformables de barres sont rendus solidaires au moyen de trois barres (ou de trois systèmes de barres) qui se rattachent à des nœuds quelconques de ces systèmes. Le second système pourrait, en effet, prendre, par rapport au premier, un mouvement de rotation autour du point commun à deux des barres de liaison, qui serait un centre instantané, si ces deux barres étaient seules ; mais la troisième barre empêche tout mouvement de ce genre. Le cas où les trois barres sont concourantes doit être exclu.

De ceci, il résulte que le mode de liaison au moyen d'une charnière et le mode de liaison au moyen de deux barres ayant ou non un nœud commun sont équivalents.

Les travures que l'on peut former par la réunion de deux systèmes indéformables, au moyen de trois autres systèmes également indéformables, sont excessivement nombreuses ; on les obtient en faisant varier les points d'attache.

\jdi fig. 34 représente le cas simple d'une barre AB reliée à un triangle au moyen de trois barres. Les dix figures (è), (c), (rf), . . . , (A") représentent autant de travures différentes obtenues en faisant varier simplement les charnières de jonction.

Une travure engendrée par la liaison d'un certain nombre de barres est dite indivisible lorsque quatre barres de liaison au moins viennent se fixer sur chacune des barres données.

On peut obtenir des travures de ce genre de la façon suivante :

On considère, par exemple, une travure triangulaire ayant n côtés à son contour et, par conséquent, n — 3 diagonales. On substitue à chacun des nœuds du contour deux barres de liaison disposées de telle sorte que deux barres successives du contour et les deux barres de liaison interposées forment un quadrilatère. On obtient ainsi une travure engendrée par la liaison de n barres, dans laquelle quatre barres de liaison viennent se fixer sur chacune de celles-ci; cette travure est, par conséquent, indivisible.

Le nombre total des barres qui la composent est

B = 4^ — 3 = '2^ — 3, égalité dans laquelle N représente le nombre total des nœuds, ce

nombre étant lié au nombre des barres reliées par la relation

La fig, 36 en offre un exemple dans lequel on a n= 5. La figure primitive était un pentagone ayant deux diagonales. On a supprimé tous les nœuds, on a déplacé les côtés du contour en AB, CD,..., KL, et on a substitué deux barres à chacun des nœuds supprimés. Cette substitution a été faite de telle sorte que, avec les barres ajoutées, on obtienne deux polygones fermés de n côtés chacun : ACEGK, BDFHL. Les n — 3 diagonales ont été conservées et liées avec le premier de ces deux polygones. Ainsi celui-ci est indéformable et le second en est rendu solidaire au moyen de n barres, qui sont les barres AB, CD, . . . , KL. On a ainsi n nœuds liés rigidement avec un système indéformable au moyen de an barres, comme on l'a déjà vu en traitant de la génération des travures par la liaison des nœuds.

Nous concluons de cela que, en général et quel que soit le mode que Ton emploie pour relier n barres, pourvu que le nouveau système comporte 3/i — 3 autres barres, et qu'aucune de ses parties ne contienne de barres surabondantes, on obtient une travure strictement indéformable qui peut servir de lien rigide à un système quelconque de forces en équilibre.

Pour composer une travure strictement indéformable, il peut être utile de tracer une première ébauche telle que celle qui est représentée (^fig- 3^), dans laquelle les corps a^ bj c^ . . . , indiqués vaguement, représentent les barres à relier entre elles, et de déduire de l'ébauche obtenue la travure définitive. De même que, dans une travure, on peut substituer à chaque barre un groupe ou système indéformable formé d'autres barres, ainsi on peut voir dans une travure l'ébauche d'une autre travure plus compliquée, chacune des barres de la première figurant l'un des systèmes rigides qui composent l'autre.

Ainsi, l'ébauche de la fig. 35 serait un hexagone ayant trois diagonales, c'est-à-dire un ensemble de trois barres liées successivement avec deux autres. Au lieu de trois barres, on a effectivement trois systèmes A, B, C ; le premier est relié au second au moyen du système D et de la barre m ; le second au troisième au moyen

du système E et de la barre n; le troisième au premier au moyen des deux barres p et g.

Nous pourrions ajouter que le même hexagone, qui est l'ébauche de cette travure, peut, à son tour, être considéré comme ayant pour ébauche un simple triangle aux nœuds duquel on substitue trois paires de barres.