XXIII. — Problème des trois points

Les travures dont nous allons nous occuper maintenant sont strictement indéformables et sont formées de barres assemblées les unes avec les autres, à charnières; mais les axes longitudinaux de ces barres peuvent être curvilignes et même prolongés au delà des charnières d'assemblage. Les forces en équilibre qui agissent sur le système peuvent être appliquées à des points quelconques des axes des barres aussi bien qu'aux charnières. Les barres peuvent aussi être soumises à des forces continues qui seront^ par exemple, leurs poids propres, dont on pourra tenir compte.

Nous allons, pour ces travures, déterminer les actions que toutes les barres composantes exercent sur les charnières d'assemblage ou les réactions que ces charnières exercent sur les barres qui y aboutissent. Cette détermination nous permettra de trouver les actions diverses qui s'exercent sur les différentes sections des barres.

La détermination des actions exercées sur les charnières est basée sur le problème qui consiste à réunir un système de forces agissant sur deux barres réunies à charnière, par un polygone funiculaire, dont les côtés passent par les deux extrémités et le point de concours des barres considérées. Ce problème peut s'appeler problème des trois points ou des trois nœuds.

Soient {Jig' Sg) deux barres a et b^ assemblées à charnière, avec les appuis A et C et entre elles en B. La première de ces barres est soumise à une force i, l'autre à deux forces 2 et 3. Réunissons ces trois forces par un polygone funiculaire dont les côtés passent par les points A, B et C. Pour cela, faisons un premier essai : menons par le point A un côté quelconque ALq, puis un second LqBMo, et dans la figure des segments, déterminons le pôle Po correspondant au polygone funiculaire dont nous venons de tracer les deux premiers côtés. Pour cela, menons par les extrémités du segment l' des parallèles aux côtés ALo et LqBMo, dont l'intersection détermine le pôle cherché. Cela fait, remarquons que tous les polygones funiculaires analogues, relatifs aux pôles situés sur une droite parallèle à AB et passant parPo, seront tels que leurs côtés correspondants se couperont sur cette droite AB; par conséquent, si nous prenons les points S et R d'intersection de l'avant-dernier et du dernier côté du polygone funiculaire tracé avec la droite AB, les côtés de même rang de tous les polygones funiculaires relatifs aux pôles situés sur la droite PPo passeront par ces points, et en particulier celui qui résout la question. Joignons CR, puis NS, et nous aurons les deux derniers côtés du polygone cherché, dont on détermine facilement le pôle P. Les droites AL et GN sont les lignes d'action des réactions des charnières," et les grandeurs de ces réactions sont représentées par les lignes correspondantes du polygone des segments.

Supposons maintenant que la force 2 appliquée à la barre b se déplace dans le plan, jusqu'à ce que sa ligne d'action passe par le nœud B (Jig* 4^) • nous pouvons encore réunir les trois forces par un polygone funiculaire en employant la construction donnée précédemment; pour cela, il suffît de faire un premier essai ALoBNoGo qui permet de déterminer le point R par lequel passent les derniers côtés de tous les polygones funiculaires relatifs aux pôles situés sur une parallèle, à la droite AB. On joint ensuite CR, puis NB, ce qui permet de déterminer le pôle P du polygone funiculaire cherché, et d'achevef la construction du polygone ALBNC.

L'inspection de ce polygone funiculaire et du polygone des segments correspondant montre que les réactions qui se développent au nœud B ne sont plus égales lorsqu'une force externe est appliquée à ce nœud.

Solidifions par la pensée les lignes du polygone funiculaire ALBNC, et considérons ses côtés comme étant les axes d'autant de barres réunies entre elles aux différents sommets. L'ensemble de ces barres formera une travure] polygonale qui pourrait, aussi bien que les barres données a et 6, relier les forces i, 2 et 3.

Les deux barres aetb soumises à des efforts de compression et de flexion pourraient donc être remplacées par les deux paires de barres a^ et «2, b^ et 62» soumises simplement à la compression.

Renversons le sens des forces données, les deux barres a et b seront soumises à des efforts de tension et de flexion, et l'on pourrait encore les remplacer par deux paires de barres a^ et a2, 64 et 625 soumises simplement à l'extension. De même, lorsque les deux barres, travaillant simultanément par flexion, résistent en outre, l'une à l'extension, l'autre à la compression, on pourrait substituer à la première un couple de barres ax et «2, résistant à l'extension simple, et à la seconde un couple de barres b\ et 62^ résistant à la compression simple (Jig- 4i)- Cependant le système ne serait plus géométriquemçnt indéformable.

XXIV. — Liaison des barres sous la condition (pie leurs centres d'appui soient sur leurs axes rectilignes respectifs.

Les fig, 42 et 43 représentent les organes que l'on pourrait employer pour réaliser les dispositions ci-dessus, sous la condition que les centres d'appui des barres soient sur leurs axes rectilignes respectifs; mais il convient de remarquer que dans ces figures on a exagéré les dimensions des différents organes.

Pour dessiner ces figures, on remarque que les nœuds A, B, C de \difig, 4i sont les centres des chevilles, et que les points géométriques de contact des colliers de la barre a avec les chevilles A et B doivent être les mêmes que les points de contact des colliers idéals des barres a^ et «2 avec les mêmes chevilles ; cela revient à dire que les centres des colliers de la barre a se trouvent l'un sur l'axe de la barre a^ l'autre sur l'axe de la barre «2*

La ligne qui joint les points de contact de la barre a avec les deux chevilles A et B doit être l'axe géométrique de a; cet axe ne

sera donc pas la droite AB qui joint les centres des deux chevilles, il ne se confondrait avec la droite AB que dans le cas où la barre ne serait soumise à aucune force transversale.

Il importe de remarquer que la barre a qui s'appuie sur les deux chevilles aux points A et B, déterminés comme nous avons dît cidessus, est en équilibre sous l'action de la force i et des deux réactions qui se développent aux points d'appui ; ces réactions ont pour lignes d'action les axes des barres «i et a^^ et leurs grandeurs sont représentées par les deux premiers côtés du polygone des forces.

Si, par le pôle P {Jig- 40? ^'^ mène la parallèle à Taxe de la barre a (axe que dans la pratique on pourra considérer comme se confondant avec la droite AB), et que Ton y projette la force i', la longueur QP représentera la grandeur de la force de tension à laquelle est soumise la portion de la barre, comprise entre le point A et le point d'application de la force i, et la longueur TP représentera la grandeur de la force de tension qui s'exerce sur la portion de barre comprise entre le point d'application de la force i et le point d'appui B. Les segments QQ' et TT' mesurent les réactions normales à la barre a qu'opposent les deux chevilles.

Si l'on considère une section de la barre a comprise entre l'extrémité A et le point d'application de la force i et située à une distance x de A, la résultante relative à cette section est d^ et les actions composantes de cette résultante sont : i° une tension simple y = PQ; 2** un effort tranchant />i=QQ'; 3° un couple fléchissant de moment Mf=^px. On a donc tous les éléments nécessaires pour calculer cette section et l'on aurait d'une façon analogue tous les éléments nécessaires pour calculer toute autre section de la barre a soumise à la flexion composée. On répéterait les mêmes raisonnements sur la barre 6.

XXV. — Cas où les forces appliquées aux barres sont parallèles à une de celles-ci.

Supposons que les forces appliquées aux deux barres aient toutes la même direction que l'une des barres; alors les lignes d'action des forces 2 et 3 {fi g- 44) coïncident avec l'axe de la barre 6, qui est soumise simplement à des forces de compression dont les grandeurs variables sont égales à une composante de i

augmentée de la force 2, pour la portion de barre comprise entre B et le point d'application de 3 et à la composante de i augmentée des forces 2 et 3, pour la partie inférieure. La réaction de la cheville A a la direction de la force i et le nœud (ai . i .«2) se trouve à Tin fini. Le pôle du polygone funiculaire est sur le segment 1' en un point P qui divise celui-ci en deux parties qui sont les segfnents représentant les grandeurs des réactions a^ et ao des appuis A et B. La portion de la barre comprise entre l'appui B et la force i est soumise à un effort de traction représenté par la longueur PT, l'autre portion est soumise à un effort de compression représenté par le segment PQ.