XXVI. — Cas où une seule des barres est chargée

Si une seule des deux barres est chargée, la détermination des réactions des points d'appui est plus simple. La barre a, qui n'est pas chargée (Jig* 45)i n'a à résister qu'à la traction ou à la compression simple, et le premier côté du polygone funiculaire est l'axe de cette barre. Traçons ce polygone et, pour cela, faisons un premier essai BNo, auquel correspond le pôle Po ; menons NoR parallèle au dernier rayon du polygone des forces; joignons CR et menons-lui, par l'extrémité du segment 3', une parallèle dont l'intersection avec le premier rayon du polygone des forces donne le pôle P correspondant au polygone funiculaire ABNC. La droite BN que l'on peut tracer, indépendamment du pôle P, lorsque l'on connaît le point R, doit être parallèle à la droite P(2'.3') du polygone des forces. La cheville B est en équilibre sous l'action des forces a, 6| et 2.

Un cas plus simple serait celui où une seule des barres serait chargée (Jig' 46), le nœud B étant déchargé, car alors la réaction en B agirait suivant l'axe de la barre a, et la réaction en G passerait par le point (3. a).

Si le nœud B seul était chargé, on retomberait dans le cas déjà traité, des travures réticulaires chargées aux nœuds seulement.

XXVII.— Calcul des travures réticulaires chargées aux nœuds et sur les barres.

La détermination des actions qui s'exercent sur les charnières de liaison de deux barres liées entre elles sert de base au calcul des travures réticulaires chargées aux nœuds et sur les barres.

Il suffit, en effet, connaissant toutes les forces en équilibre qui agissent sur la travure et après avoir déterminé les réactions des appuis, d'appliquer le problème de trois points à deux barres au nœud commun desquelles est appliquée une force connue. On passe ensuite à un couple de barres se trouvant dans les mêmes conditions et ainsi de suite. Le calcul se présente toujours sous une forme facile pour les travures triangulaires.

Supposons, par exemple, que l'on ait déterminé les réactions des points d'appui de la travure de \^fig, 47 et que Ton ait appliqué le problème des trois points successivement aux deux couples de barres a et 6, c et rf aux nœuds communs desquelles sont appliquées des forces connues, puis qu'on ait résolu le même problème pour les barres e et g. Il reste à la fin une seule barre /, car le nombre total des barres qui entrent dans une travure strictement indéformable est impair comme étant égal à 2N — 3, expression dans laquelle N représente le nombre des nœuds. Une telle barre sert de vérification, comme cela a lieu dans le cas où les travures ont leurs nœuds seuls chargés ; c'est-à-dire que les lignes des réactions de ses appuis doivent se croiser sur la ligne de la résultante des forces qui sollicitent la barre elle-même.

Il est presque superflu de dire que, dans le calcul d'une travure, on a à construire autant de polj^gones des forces séparés qu'il y a à résoudre de fois le problème des trois points.

Cela conduit à employer beaucoup d'espace; c'est là, du reste, la raison principale qui rend si utiles les diagrammes des forces qui, dans le calcul des travures réticulaires chargées aux nœuds seulement, tiennent lieu des polygones distincts relatifs à chacun des nœuds.

Si l'on suppose réunis par leurs côtés communs les différents polygones relatifs aux applications successives du problème des trois points, on obtient un diagramme des forces.

La possibilité d'obtenir un diagramme pour les travures chargées aux nœuds et sur les barres résulte, du reste, de ce fait que l'on peut imaginer 2B barres idéales remplaçant les B barres de la travure donnée et résistant seulement à la tension ou à la compression simple : les axes de ces barres seraient les lignes des actions transmises par les barres réelles à leurs nœuds d'appui (Jig* Ai)\ oiï obtiendrait, par cette substitution, une travure

réticulaire de si B barres, chargée aux nœuds seulement et il est clair que Ton peut toujours construire le diagramme des forces relatif à une pareille travure.

On a vu comment oli peut obtenir, pour toute barre réelle, les actions longitudinales et normales à son axe.

Il convient de remarquer que, dans les diagrammes de ces travures, quelques-uns des segments sont répétés; mais, malgré cela, leur emploi est encore préférable à celui des polygones séparés.

Nous allons donner quelques exemples destinés à bien faire comprendre la simplicité de la méthode.

3EXYIII. — Exemple.

La fi g, 48 représente une travure dont les barres a et c sont soumises à Faction des forces i et 2, 4 et 5 qui pourront être remplacées par leurs résultantes respectives, et dont les autres barres 6, ^, d sont soumises chacune à une force unique qui pourra être, par exemple, son propre poids. Aux deux nœuds (a.c) et (e.rf) de la travure sont appliquées deux autres forces 3 et 9.

Après avoir trouvé les réactions des points d'appui, construisons le polygone des forces dans l'ordre i'2'3'4'« • • 10' 11', et considérons les deux barres a et e. Un premier essai nous permet de construire le polygone funiculaire aa^i 626 i» Le polygone des forces externes relatif à ces barres est le polygone 10' 11' 1^2', et le pôle du polygone funiculaire est P4 . Menons par Pj une parallèle à la barre a et projetons sur elle les segments i' et 2'; les segments R'R et T'T représentent la valeur des réactions normales des points d'appui de a ; le segment Pi T représente l'action longitudinale exercée sur la barre a, depuis l'extrémité supérieure jusqu'au point d'application de la force 2; le segment P|S représente l'action longitudinale exercée sur a entre les deux forces 2 et i ; enfin, Pi R représente l'action longitudinale qui s'exerce dans l'intervalle compris entre la force i et l'extrémité inférieure de la barre. Nous déterminerons d'une façon analogue les actions auxquelles est soumise la barre e.

On passe ensuite aux deux barres c et rf en construisant le polygone funiculaire c^Carfi^îî le polygone des forces, relatif à ces deux barres, est 4'5'6'7'; le pôle est Pa. On accouplera la barre b

avec la barre e, et l'on obtiendra le polygone des forces (8')(rfj) q' I o' ; le pôle ?< est déjà déterminé par Tintersection des droites e\ et e\ ; par conséquent, P| P2 représente la tension de la barre b pour la partie comprise entre le point d'application de la force 8 et Textrémité supérieure, et V^ Q la tension à laquelle résiste la partie inférieure de la barre.