CONTE

même la période «,, «,, ..., «,; en d’autres termes il faut que, &,, £, désignant les coordonnées d’un point quelconque de l’ensemble, le point de coordonnées &, + &,, ...,£,+a,, lui apparlienne également.

Dans le cas Le plus général, l'étude des périodes devient très compliquée, car, aux difficultés provenant de la nature des fonctions définies sur le champ donné, viennent s'ajouter celles qui tiennent à la nature même de l’ensemble sur lequel les fonctions sont définies. Aussi nous bornerons-nous au cas où les foncuons étudiées et le champ donné présentent simultanément les caractères suivants :

1° L'ensemble des points £,, ..., E, est dense. 2° Les fonctions F(Ë,,...,EË,) sont continues (voir p. 10) sur cet en-

semble.

Voici maintenant comment on définira la réducubilite. Nous dirons que la fonction F(£,,...,£,) est réductible, et se ramène à la fonction D(n,, 12, ..., n,) par les formes linéaires

(2) fite ee. os En == F(Ë: É ts É) == P(n;, N23 a chaque fois que l’on a pour deux points quelconques du champ donné A

| AUCE ES) HAE — Es) +. +A(E — En) = 0;

Dans ce cas les formules (1) font correspondre au champ donné A un champ B dans l’espace à p dimensions, et le champ B est également dense.

66 E: ESCLANGON.

A un mème point Q(n,,...,n,) du champ B, peuvent correspondre plusieurs et même une infinité de points P(£,,...,4,) du champ A, mais en tous ces points, d’après les conditions (2) et (3), la fonction Fa la même aleur qui définit ainsi sans ambiguïté la fonction ®(1,, 1», Pt te nous n'imposions aucune autre condition à la fonction ®, la réductibilité ainsi comprise serait d’une étude difficile, et sans grand profit; elle dépendrait à la fois de la nature de la fonction F(Ë,, .,£,)et de celle du champ A. Il pourrait arriver en particulier, que toute fonction définie sur le champ À fût réductible. C’est ce qui arriverait, dans le cas de trois variables, par exemple, si le champ A était formé d'un ensemble dense de points tel que, sur chaque parallèle à Ox, il n'y ait qu'un point de l’ensemble. Aussi nous ne regarderons la fonction F(E,,...,6,) comme véritablement réductible à la fonction ®(n,, ..., n,) que si cette dernière est continue sur le champ B. La définition de la réductibilité comprendra donc, outre les conditions (2) et (3), la continuité de la fonction obtenue par la réduclion, sur le champ transformé du champ donné par les formules de substilulion.

Il est à peine utile de remarquer que si les formes linéaires (1) étaient dépendantes, c’est-à-dire si dans le tableau des À, tous les déterminants d'ordre p étaient nuls, la fonction D(1,, 9, ..., n,) serait à son lour réducuble.

La définition de la réductibilité bien comprise, les théorèmes fondamenaux que nous avons établis restent applicables, et en premier lieu le sui-

vant :

Une fonction irréductible ne peut admettre de périodes infiniment petites. — On peut en effet reprendre point par point la démonstration de la page 19. S'il existe des périodes infiniment petites, on peut trouver une direction À qui possède les propriétés suivantes : soit P un point quelconque du champ donné A, si l’on prend sur la droite passant par P et parallèle à A un point quelconque P,; il existe des points P’ du champ A aussi rapprochés qu’on le veut de P, et tels que l’on ait constamment F(P')=F(P). Si en partuculier le point P, appartient au champ, on a nécessairement F(P)=EF(P,) puisque par hypothèse la fonction F est continue sur A.

Faisons alors un changement d’axes de coordonnées, en prenant Oy,

parallèle à A. Soient

les formules de transformation. L'ensemble A se transforme en un en- " A . Re . \ semble À’ et la fonction F(E,,...,E,) en une fonction D(n,,..., 21, "») continue sur l’ensemble A’, Or en tous les points de l’ensemble A’ qui sont sur une même parallèle à Oy, la fonction ® à la même valeur; c’est ce que

nous exprimons en disant qu'elle ne dépend pas de ñ,. Considérons alors le

7e champ B dans un espace à 7 — 1 dimensions dans lequel les coordonnées d’un point quelconque sont 9,, ..., M ,. Il faut montrer que la fonction ® est continue sur B. Soient en effet n°,...,n9 , les coordonnées d’un point donné dans ce champ. Il existe au moins un point P du champ A’, dont les 2 — 1 premières coordonnées sont n°, ..., 9,3 soit , la dernière. La fonction ® étant continue sur le champ A”, on peut, étant donné &, trouver un domaine D à x dimensions entourant P de façon que pour tout point P’

du champ, pris dans ce domaine, on ait LD(P')— D(P)|<e.

On pourra, par exemple, définir le domaine D par les inégalités Ù

Irene) <<: le — NS | < P; .. [a — 0h: 0, rl Ar

Ceci posé, soit p, un nombre quelconque inférieur à 5, par exemple

le] F2 ! » UT = p,= = et considérons un point quelconque du champ B, dont les coor-

données »,, 2, +. fn satisfont aux conditions

vie]

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| be n\ | Ee si P, désigne un point du champ A’ dont les coordonnées sont égales Anis Mas - «> Mn Mrs Mn Seul pouvant être variable, il faut montrer que