INTRODUCTION

Je me suis proposé dans ce travail l'étude d’une classe de fonctions d’une variable réelle, qui, par leurs propriétés, se rapprochent des fonctions périodiques et les comprennent comme cas particulier. La base de mes recherches est une extension de Ja notion de périodicité, mais une extension dirigée dans une voie toute particulière.

Lorsqu'on caractérise une classe de fonetions par une propriété définie, il arrive souvent que la même propriété est susceptible de plusieurs définitions équivalentes, mais logiquement distinctes. L'une de ces définitions adoptée, les autres en deviennent des conséquences nécessaires. Si le choix de la définition est indifférent lorsqu'il s’agit de faire l’étude des fonctions qui possèdent la propriété en question, il n’en est plus de même lorsqu'on se propose de faire des généralisalions. Suivant que l’on porte son attention sur telle ou telle définition, ou même sur telle ou telle propriété qui résulte d’une définition, on peut obtenir des généralisations totalement disunetes.

En ce qui concerne la périodicité, la propriété pour une fonction f(x)

de vcrifer la relation

peut ètre considérée comme un cas particulier de la propriété fonctionnelle plus générale

JLO(x)] = f(x),

où Ü(æ) désigne une fonction quelconque, mais donnée. De même toute relation fonctionnelle de la forme

f(x+na)+A, f[x+(n—-1)a]+...+A, f(x) =0,

où A ,,A,,..., A, désignent des constantes, ou même des fonctions données, définit vis-à-vis de la fonction f(x) une propriété qui est encore une généralisation de la périodicité. Les unes et les autres de ces propriétés possèdent ce caractère d'être exprimables par des relations fonctionnelles explicites à termes finis; 1l n’en est plus de même de celles dont il va être question.

On peut, lorsqu'on définit la périodicité ordinaire, porter son attention sur une autre conséquence de la définition. Une fonction périodique f (x) possède la propriété suivante : Étant donné un intervalle quelconque (x, ..., 8) il existe une infinité d'intervalles (x + h,..., 5 + h) égaux au premier, et aussi éloignés que l’on veut de l’origine, dans lesquels la fonction reprend la mème série de valeurs. Mais on peut supposer qu'au lieu de repasser exactement par les mêmes valeurs, la fonction ne les reprend qu'avec une cerlaine approximation, et les fonctions que nous étudierons jouissent en effet de la propriété suivante : Étant donné un intervalle quelconque (4,...,6) et un nombre & aussi petit que l’on veut, on peut déterminer une infinité d’intervalles (x + h,..., 8 + A), aussi éloignés que l’on veut du premier, dans chacun desquels la fonction considérée reprend la mére série de valeurs à moins de £ près : d’où le nom de quasi-périodicité donné à cette propriété.

Si l’on se bornait là, la définition serait trop générale, et il ne serait guere possible d’en ürer des conséquences assez précises pour donner lieu à des recherches utiles.

Un exemple particulier va nous mettre sur une voie nouvelle, c’est celui des fonctions de fonctions périodiques. Ces dernières (en supposant les fonctions continues) possèdent bien la propriété en question, mais un autre

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. d

élément est également intervenu : l’ensemble des périodes figurant dans les fonctions périodiques qui composent la fonction donnée.

Soient (x) = Eux, (x), (x), ..., 4,(x)] une telle fonction: a,, d:, +, @ les périodes des fonctions w,, u,,..., u,. Lorsqu'on se pose le problème suivant : Dans quels cas la fonction f peut-elle se mettre sous la forme d’une fonction d’un nombre moindre de fonctions périodiques? on s'apercoit immédiatement qu'en dehors de la nature de la fonction F(i,,...,u,) intervient une propriété arithmétique des nombres DA d, -.., dy Qui dans toute celte théorie jouera un rôle considérable. Si entre les nombres — — +.) — n'existe aucune relation linéaire homogène

2 2 à coefficients entiers (propriété que j'appellerai l'indépendance des périodes &,, &3, ..., a), il est impossible, quelle que soit la fonction F, de réduire le nombre des fonctions périodiques.

Remarquons encore que l’on a, quels que soient les entiers »,,m,,...,m,,

J(æ)= Flux + mia), u(x + mia), ..., Un(® + Maän)l.

On est ainsi naturellement conduit à rechercher la nature de l’ensemble des points de :oordonnées

(1) PE Ne ee CO E UON pee ce 0 de tie OA)

æ prenant toutes les valeurs réelles, 722,, n,, :.., m, toutes les valeurs entières, et à démontrer ce théorème que si les périodes &,, &,, ..., a, sont indépendantes, on peut, quels que soient #,, æ,,...,æ,, déterminer #& et les entiers 724, Mas c.., My, de façon que les quantités

= ù SE

D'É MAGi— Lun CH Malo— Ds us LE Myln— En soiertaussi pelites que l’on veut. Or ce théorème avait été établi par M. Bobi, professeur à l'École Polytechnique de Riga, dans un travail que j'ignorais à l’origine de mes recherches et dont il sera question dans un instant.

On voit que, quels que soient æ,, æ,, ..., &n, la différence

f(x) — F[u;(x;), Ua(T>), CAE) UC)

devient infiniment petite chaque fois que les quantités (2) deviennent

elles-mêmes infiniment petites.

/ E. ESCLANGON.

Abandonnant alors les fonctions de fonctions périodiques, c’est cette propriété que j’adoptais d’abord comme définition des fonctions quasi-périodiques, la fonction F[w,(x,), ..., u,(x,)] étant remplacée par une fonction périodique quelconque D(x,, æ:, -.., æ) que j'appellerai la fonction associée de f(x) relativement au système de périodes &,, @», ..., Gn

Une question d’une grande importance se posait ensuite : f(x) élant définie comme quasi-périodique, relativement au système de périodes 4&,, +. dm il fallait se demander s'il n'y avait pas d’autres systèmes de périodes jouissant des mêmes propriétés vis-à-vis de f (x). J'ai résolu complètement ce problème, en introduisant la notion de corps de périodes, et j'ai montré que pour chaque fonction f(x) existait un nombre minimum de périodes au-dessous duquel on ne peut descendre pour caractériser sa

quasi-périodicité.

Telle est la suite d'idées qui m'avait conduit à la définition des fonetions quasi-périodiques, et quelques résultats furent publiés dans une Note aux Comptes rendus (novembre 1902). A la suite de cette publication M. Bohl me fit connaître que dans sa thèse (‘}) il avait exposé, bien que sous une forme complètement différente, des considérations analogues.

L'idée qui avait conduit M. Bohl repose sur les développements en séries trigonométriques avec plusieurs arguments proportionnels et voici exactement quel est l’objet de sa très intéressante thèse.

Une fonction f({) est supposée développable, dans le domaine T, en série uniformément convergente

Un + Uk + Up,

dans laquelle le terme général &, est un polynome entier en

t l : l : l COS2T——) COSAT =) 000$ COST) SIN2T —» CIDIOS) SIMON (41 a À n C1 À n

Gi, %», ..., @, élant des nombres donnés quelconques différents de zéro, et il cherche une condition nécessaire et suffisante d’un tel développement. Or ilse trouve que les fonctions ainsi caractérisées, lorsque le domaine T est

(1) Ueber die Darstellung von Functionen einer Variabeln durch trigonometrisché Reihen mit mehreren einer Vartabeln proportionalen Argumenten. Dorpat, 189%.

infini, sont les fonctions que j'ai appelées quasi-périodiques, mais M. Bohl ne s’est pas préoccupé de rechercher les divers systèmes de périodes qui, vis-à-vis de la même fonction f (1), peuvent jouer le rôle attribué à «,, CES CS

Dans un autre Mémoire ('), publié en russe, M. Bobl traite quelques problèmes où interviennent des fonctions quasi-périodiques.

J'ignorais entièrement les recherches de M. Bohl au moment où je publiais les premiers résultats de ce travail et je tiens à lui restituer ici la priorité qui lui est due.

Le travail qui suit est divisé en quatre Parties bien disunetes :

La première traite des fonctions périodiques de plusieurs variables réelles, en vue de déterminer ultérieurement (dans la troisième Partie) les

systèmes de périodes attachés à une même fonction quasi-périodique ;

La deuxième est une étude de l'indépendance et comprend les définitions d’un corps de périodes, d’un champ de périodes, ete. ;

Dans la troisième, je donne plusieurs définitions des fonctions quasipériodiques continues que je divise d’ailleurs en deux classes distinctes. J’étudie ensuite leurs propriétés et je démontre quelques théorèmes relatifs aux fonctions de fonctions périodiques.

Passant ensuite aux développements en série, j’examine successivement le développement de M. Bohl, les développements en série de Fourier et les développements en séries uniformément convergentes de fonctions périodiques à périodes deux à deux incommensurables; ees derniers peuvent conduire à une classe de fonctions qui sont encore une extension des foncüons quasi-périodiques. Je termine en démontrant une propriété impor-

lante des fonctions quasi-périodiques, à savoir que la quantité

Li f(æ) +f(e + h) + f(x +ah) +... + fle +(n —1)4]]

(:) O mbKOTOPPIXR ANPPEPEHMHIAIPHBIXB YPABHEHIAXR OOINATO XAPARTCPA TPHMBHUMEIXE BB MeXAHnKRB. — P. Bouc, Sur certaines équations différentielles d'un

caractère général que l’on rencontre en Mécanique. Dorpat, 1900.

6 E. ESCLANGON.

tend vers une limite lorsque l’entier x» augmente indéfiniment; ce qui permet, par celle voie, de retrouver certains développements en série de ces fonctions.

La quatrième Partie est consacrée aux applications, et à une étude rapide de quelques problèmes où peuvent intervenir des fonctions quasi-périodiques; mais c’est là un point sur lequel j'aurai à revenir, et qui n’a été, pour ainsi dire, traité ici que superficiellement.