GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS DE VARIABLES RÉELLES

Avant d'aborder le sujet qui fait le principal objet de ce travail, j'exposerai un certain nombre de propriétés relatives aux fonctions périodiques de plusieurs variables réelles. La plupart de ces propriétés sont sans doute connues, dans tous les cas elles s'obtiennent aisément; mais, comme elles se rattachent étroitement à certaines propriétés des fonctions quasipériodiques, j'ai cru indispensable de les étudier tout d’abord : ce sera là objet de la première Partie. Je ferai remarquer toutefois que la plupart des problèmes qui y sont contenus ont été traités en vue surtout des applications ultérieures, et c’est aussi la raison qui a déterminé le mode d’exposilion.

Comme il m'arrivera parfois de considérer non seulement des fonctions continues mais aussi des fonctions discontinues, je ne crois pas inutile de “appeler quelques définitions relatives à ces dernières.

Soit F(x,,2,,...,æ,) une fonction quelconque des variables réelles indépendantes x,, æ2, ..., æ,3 le mot fonction étant appliqué 1e1 dans Île sens le plus large, et servant à désigner une correspondance univoque absolument quelconque entre les systèmes de valeurs æ,, æ,,..., x, et la valeur F de la fonction considérée, lorsque le point (x,,æ:,...,æ,), en employant un langage géométrique, est situé dans un certain domaine D.

Ceci posé, soit P(x,,æ,,...,4æ,) un point de ce domaine; imaginons un domaine S compris dans D et entourant le point P, par exemple une sphère, c’est-à-dire l'ensemble des points &,, &,, ..., æ, vérifiant l'inégalité

Cr Er. + (ar — an)

Désignons par M'le maximum des valeurs de F pour tous les points de

8 E. ESCLANGON.

ce domaine, #2’ leur minimum, et w’ la différence wo =M—m

qui représente l’oseillation (*) de la fonction dans le domaine S. Lorsqu on fait tendre S vers o, par exemple lorsque p tend vers o, les nombres M’,

m', w' ont chacun une limite; appelons M, #1, w ces limites.

Les nombres M, » et w sont respectivement: le maximum, le minimunt et l'oscillation au point P.

Il est clair que l’on a en tout point m£F<M.

Si EF = M, la fonction est, selon l’expression de M. Baire, semi-continue supérieurement; si F = 7», la fonction est au contraire semt-continue intérieurement; enfin, si » = F = M, la fonction est continue, au sens ordinaire du mot, par rapport à l’ensemble des variables.

Les fonctions continues sont donc celles pour lesquelles l’oscillation w est nulle en tout point.

Envisageons l’oscillation © qui est une fonction de æ,,x,,..., x, définie en tout point P du domaine D. En chaque point P, cette fonction a, à son our, un minimum »?,. Sim, est nul en tout point P, la fonction F est dite ponctuellement discontinue.

Toute fonction qui ne possède pas cette propriété est dite au contraire totalement discontinue.

Ainsi la condition imposée à © d’avoir son minimum nul en tout point permet de définir un ensemble de fonctions jouissant de propriétés particulières : les fonctions ponctuellement discontinues. Comme l’a montré M. Baire, ces fonctions s'introduisent d’une manière naturelle; elles jouissent en effet de la propriété suivante qui est capitale : il y a dans tout domaine des points où elles se rapprochent autant qu'on veut d’une fonction continue ou, pour préciser, &l existe effectivement dans tout domaine des points où ces fonctions sont continues.

Dans un autre ordre d'idées, on sait qu’une fonction continue peut être définie par un ensemble dénombrable de conditions, par exemple

(1) Baie, Sur les fonctions de variables réelles, p. 4-16. Milan, 1899.

par les valeurs qu’elle prend sur un ensemble dénembrable de points, l'ensemble étant supposé dense () dans tout domaine. De même les foncuons ponctuellement discontinues peuvent se définir au moyen d'un ensemble dénombrable dé conditions. Le fait est certain pour les fonctions ponctuellement discontinues d'une variable, il est probable pour celles de plusieurs variables. Une fonction ponctuellement discontinue d’une variable F(x) est en effet représentable par une série de fonctions continues

PE) = tr) Enr) LP) EE

comme on peut se donner les diverses fonctions f,(x) par un ensemble dénombrable de conditions, on aura done, pour définir complètement F(x), un ensemble dénombrable d’ensembles dénombrables de conditions, c’està-dire en définitive un ensemble dénombrable.

On voit que les fonctions ponctuellement discontinues sont assurément celles qui, par leurs propriétés, se rapprochent le plus des fonctions continues, et l’on peut dire que, dans l’état actuel de l'Analyse, ce sont celles qui, après les fonctions continues, tiennent le premier rang par l'importance de leurs applications.

Il sera donc naturel, après avoir défini une classe particulière de fonctons continues, comme celles que nous appellerons les fonctions quastpériodiques, de chercher à étendre leurs propriétés à des fonctions ponctucllement discontinues.

Au lieu d'envisager des fonctions définies pour ous les points d'un domaine, on peut considérer des fonctions définies seulement pour les points d’un ensemble donné; telle serait, par exemple, une fonction définie seulement pour les points dont les coordonnées sont rationnelles,.

Pour une telle fonction et relativement à l’ensemble des points pour lesquels elle est définie, on peut définir également en chaque pont de l’ensemble ce que l’on a appelé le #aximum, le minimum, Voscillation dans

le cas des fonctions les plus générales.

(1) Suivant l'usage, nous entendons par ensemble dense un ensemble de points, tel que tout domaine aussi petit qu'il soit contienne des points de l’ensemble, L'ensemble formé avec les points limites, ou ensemble dérivé, se compose alors de tous les points d’un

domaine continu.

10 EE: "ESCLANGON:

D'une facon générale nous appellerons champ de variation tout ensemble de points quel qu'il soit sur lequel une fonction est supposée définie.

Nous aurons justement à considérer, et d'une façon toute particulière, des fonctions définies sur un champ qui n’est pas continu, c'est-à-dire qui ne comprend pas tous les points d'un domaine continu, mais qui est dense dans tout domaine.

Parmi toutes les fonctions définies sur un même champ supposé dense, il y a lieu de distinguer celles qui sont continues sur le champ. La définition d’une telle continuité est évidente :

Soient P un point du champ, £,, %,,...,5, ses coordonnées. Nous dirons que la fonction F(£,, £,,..., £,) est continue au point P si, étant donné e posiuf quelconque, on peut trouver un domaine S entourant le point P, une sphère par exemple, tel que, pour tout point P'(£,£,...,€) du

champ compris dans S, on ait

eo

[F(CE, ES sets En) — F(E,, ces BRENT) En) E

Si la continuité à lieu pour tous les points du champ, la fonction est dite continue sur le champ.

IL est essentiel de remarquer que si l'ensemble n’est pas parfait, e’està-dire ne contient pas son dérivé, la continuité en chaque point du champ n’entraine pas la continutlé uniforme sur le champ bien que celui-ci puisse être contenu dans un domaine fini.

Par conséquent, parmi toutes les fonctions continues sur un champ donné, il faut encore distinguer celles qui sont uniformément continues. Au point de vue auquel nous nous placerons, ce seront là les plus importantes, celles dont l'étude offrira le plus d’intérèt et le plus de profit.

J'indiquerai immédiatement une propriété presque évidente, mais néanmoins importante, relative aux fonclions uniformément continues sur un champ dense.

Soit P,,P,,..., P, une suite de points du champ ayant pour limite un point Q, qui peut d’ailleurs ne pas appartenir au champ, et considérons la suite des valeurs correspondantes de la fonction F; soient F,,K,,...,F, ces valeurs; je dis que F, a une limite lorsque P, tend vers Q. En effet, la fonction F étant uniformément continue, à tout nombre € positif arbitraire-

ment donné on peut faire correspondre un nombre positif o tel que, P, P désignant deux points quelconques du champ pour lesquels

|PP'|<p; on ail HECPH = UP = ane

RE ! LES : 0 FRS ; Par conséquent, on pourra trouver lentier positif v tel que, z et n° étant supérieurs à y, on ait

[F(P,) x POP) | Le

propriété qui caractérise la convergence de la suite F(P,),..., F(P,),...; de plus la limite que nous désignerons par F(Q) est indépendante de la façon dont les points P,, P,,..., P,,... tendent vers Q. Nous pouvons donc trouver une fonction F(x,,2,,...,2,), et une seule, définie dans un domaine continu (le champ dérivé du champ donné) et qui coïneide avec la fonction F(£,, £,, ..., £,) en tous les points du champ donné. Le raisonnement montre de plus que la fonchon F(x,,#,,...,æx,) est continue en tout point par rapport à l’ensemble des variables et par suite uniformément continue en supposant, ce qui a été implicitement admis, que le champ de variation est limité.

La nature de ce résultat semble, a priort, rendre un peu inutile la considération des fonctions uniformément continues sur un champ dense, mais nous verrons plus loin qu'elles s’introduisent, au contraire, d’une manière naturelle dans la définition des fonctions quasi-périodiques.

En effet, à toute fonction f(x) définie pour toutes les valeurs réelles de la variable x, comprises entre — æ et + , nous ferons correspondre une fonction F(EË,,£,,..., £,) définie sur un champ dense donné, et c’est précisément en imposant à F(&,, E,,..., €) la condition d’être uniformément continue que nous obtiendrons un ensemble de fonctions f(x) jouissant

de propriétés particulières analogues à la périodicité.

(1) Pour plus de simplicité, je pose

MMS N ERP N) ET EN € F(P)=F(h,8, 6)

j2 E. ESCLANGON.

Ces préliminaires posés, j'aborde l'étude des fonctions simplement périodiques de une ou plusieurs variables réelles. J'aurais d’ailleurs pu me borner aux fonctions continues, puisque ce sont en réalité les seules que j'aurai à considérer dans les études ultérieures; mais, comme un certain nombre des résultats obtenus paraissent présenter quelque intérêt indépendamment du but poursuivi, j'ai donné à cette première Partie une plus grande généralité, en ce qui concerne du moins les fonctions définies pour toutes les valeurs des variables, pour lesquelles l'hypothèse de la continuité ne m’a pas paru nécessaire.