ABB (ONE

La fonction K(EË,,%:,...,5,) serait réductible, au sens que nous avons altaché à ce mot; st elle est irréductible, elle ne peut donc admettre des

périodes infiniment petites.

Cette proposition est fondamentale; elle permet d'étendre aux fonctions irréductibles toutes les propositions relatives aux fonctions irréductibles définies sur un champ continu. L'ensemble des périodes d'une fonction irréductible reste dénombrable; la définition des systèmes minima et toutes les propriétés qui s’y rattachent se conservent intégralement. Passant alors aux fonctions réductibles, on définira de la même façon les périodes propres, les périodes propres distinctes et les systèmes minima de périodes. Toute substitution linéaire transformera les périodes en périodes, mais ici une transformation linéaire jouira pour ainsi dire d'une double propriété : si w est une période, elle appartient à la fois à l'ensemble sur lequel la fonction périodique est définie, et à la fonction elle-même ; par la substitution linéaire, la période transformée appartiendra encore, d’une part à l’ensemble transformé de l’ensemble donné, d'autre part à la fonction transformée elle-même.

Notons toutefois une différence avec le cas des fonctions périodiques définies sur un champ continu. Si, dans ce cas, une fonction réductible possède toujours des périodes infiniment petites, il n’en est plus nécessairement de mème pour les fonctions réductibles continues et définies sur un champ dense, Cette différence n’introduit aucune difficulté dans notre théorie qui

(1) Le point P, n'appartient pas nécessairement au champ A’.

repose uniquement sur celte propriété fondamentale qu'une fonction irréductible n’admet jamais de périodes infiniment petites. |

Quant aux propriétés des fonctions entièrement périodiques à périodes indépendantes, étudiées pages 45 et suivantes, elles subsistent entièrement, si l’on suppose que le champ dense sur lequel nos fonctions sont définies comprend, en particulier, les points dont les coordonnées sont égales

Les champs denses que nous aurons à considérer dans la suite sauisferont à la propriété suivante :

SEE, 5,,..., 5, sont les coordonnées d'un point quelconque du champ, le point de coordonnées £, + h, 2, + h,...,£,+ h appartient au champ, I PÉMÉR A RE PI quel que soit h.

re

Les propriétés étudiées pages 51-54 subsistent alors pour les fonctions périodiques à périodes indépendantes, définies et continues sur un tel champ, en particulier, la suivante :

St la quantité

F(é+h,..., En+h)—F(E,..., En)

a une limite pour h=o, et si celle limite, que nous désignerons par L'(E,,...,5,), est continue sur le champ des variables, les deux fonctions D RAEnNen ECC s.S £,) admettent les mèmes périodes.

70 E. ESCLANGON.