LI. D 7 (1) LEON LL RON RE CT a a An
les à n'étant pas nuls à la fois, les périodes considérées seront dites rationnellement indépendantes ou, plus brièvement, indépendantes. C'est là une propriété dont nous avons déjà reconnu limportance, et que nous allons retrouver dans un ordre d'idées différent. Il est clair que, dans la relation (1), on peut toujours supposer les coefficients 14 entiers.
“'ilexiste entré 4,0... unerelationde la forme), cémpemodes seront dites dépendantes.
Il est évident que si &,, a,, ..., a, sont dépendantes ou indépendantes, les périodes 7,4,, mu. Mad OÙ, Mi) 10 110 de een nombres rationnels quelconques, mais non nuls, sont également dépendantes où indépendantes.
S'il n’y a que deux périodes, l'indépendance exprime simplement que le rapport de ces périodes est incommensurable.
Si a périodes sont indépendantes, p quelconques d’entre elles sont tou- Jours indépendantes; en particulier, le rapport de deux quelconques d'entre elles est nécessairement incommensurable.
Soient &,, @,..., @, des périodes indépendantes, nous dirons qu'une
période a apparent au Corps de ces périodes s'il existe entre le nombre a
el les périodes a,, &,, ..., a, une relation de la forme
D, IN, Moses.) IN, élant des nombres rationnels et, si l’on veut, des entiers. L'ensemble des périodes 4, ainsi définies, constituera ce que j’appellerai un corps de périodes. I est formé, on le voit, de l’ensemble des périodes qui ne sont pas indépendantes avec a, &,, ..., a. L'entier positif 2 est l’ordre du corps ainsi défini.
Si a est un élément du corps P, défini par les périodes a,, a,,..., a, il
est clair que Le (p, q entiers) est aussi un élément de ce corps. /
Si a, a’, a”,...sont des éléments quelconques du corps P, tout élément D s'exprimant au moyen de &, a’, a’, par une formule à coefficients rationnels de la forme
appartient aussi au corps P.
Si a, a’ sont deux périodes du corps P
V res A; = dE = ln « “di LE) An nr e AT ATIONNeLS, ENT OR À, re l a RE he « Œi (AE) Zn |
a! " RE le rapport He peui ètre commensurable que si l’on a €
cela résulte immédiatement de l'indépendance des périodes &,, 4,,..., a, En particulier, tout élément du corps ne peul s'exprimer que d'une
. e : UE Ë 1 J I AU.
manière en fonction linéaire et rationnelle de RL et, plus géné- L 2 h
, . I I Il , rs ralement, en fonction de FN pe EE re 0 DRélanErepErodes 1 2 D)
indépendantes choisies arbitrairement dans le corps.
72 E. ESCLANGON.
Ordre d'un corps de périodes défini par n périodes quelconques. — Soient maintenant &,,@3,..., 4, n périodes quelconques indépendantes ou non. Je dis qu'il existe un entier positif p £ A jouissant des propriétés suivantes : 1° Les nombres =, =, ..., © s'expriment linéairement et ralion-
LC An
I J ] ’ nellement au moyen de p nombres nn 0 0 is see.) @y CANT des re: ”
périodes indépendantes; 2° 1 est impossible d'exprimer les périodes & au moyen d'un nombre de périodes inférieur à p; 3° Cette opération peut s'effectuer d'une infinité de manières, mais si B,, B,, ..., 8, forment un deuxième système de périodes analogue à &,, &,, ..., «,, les corps de périodes to, @ .…, @,): (Di: De 0, )contidentiques
Supposons d’abord que &,,@,,..., a, soient des périodes indépendantes. Je dis qu'elles ne peuvent appartenir à un corps d'ordre inférieur à #2. S'il en était autrement, en effet, il existerait des périodes &,,æ,,...,a,(p<n)
ermetlant d'exprimer &,, &,.,..., a, par les formules Il 1 2 n
LE mn} — ra T T ë) a; CA CE Ce MR EIO GDS UE 772 m; my, — T RE An œ CAS hp
où les coefficients 2 sont des nombres rationnels. Ces relations peuvent être considérées comme des équations par rapport aux inconnues
sx ‘tv el Si # est supérieur à p, il existe au moins une relation °1 2 Zp
. re . T I I . , linéaire homogène entre les nombres A Li les coefficients n'étant
1 2 An
pas nuls à la fois. D'autre part, ces coefficients sont proportionnels à cerains déterminants du Tableau
EP MRPReOL
or ces déterminants sont rationnels. Les périodes &,, &,, ..., a, ne seraient pas indépendantes. p ne peut donc être inférieur à ».
Supposons maintenant que &,,&,,.., a, soient des périodes dépendantes.
Cela veut dire qu’elles sont liées par une ou plusieurs relations de dépendance. Ecrivons ces relations
| m TN D — + +... — — 0) Et > fn Im? msn, m?
L oo — 0; (1) CA CE An RE Re D Re ; m° nv m° ! | 2 | + — 0 di dy Un
Dans le Tableau des coefficients, cherchons le déterminant d'ordre le plus élevé qui soit différent de zéro, et soit 4 l’ordre de ce déterminant (4 =n) que nous supposerons être le suivant :
1 1 1 Mi Ma, ... my
q { / mi mi .:. me
La nullité de tous les déterminants d'ordre g + 1 exprime que, parmi les relations (1), 1l y en a au plus g de distinctes. Elles sont équivalentes à un
\ A 4 1 I systeme résolu par rapport CR DO) DA
CC “y 1 AU 1 D eee à ee LAN Î L a) CRE Aoe D, eh "Zoe oo CCR ; 14 q n°6 el — # 4 ie ee À ar Z :
dy dy+s dy+2 An
quant aux périodes Gy4i, dyxss ++, d,, elles sont nécessairement indépendantes si l’on suppose que les relations (1) ou (2) représentent /outes les ; ne is , re an à ll relations linéaires rationnelles et distinctes liant les nombres =, =, :.., re Si 2 1 S'il existait, en effet, une relation de la forme À ee =
À Î } OMC } — O, dg+1 Ag+2 An
elle serait, par hypothèse, une conséquence de (2) et, en exprimant que les É: F9
74 E. ESCLANGON.
déterminants d'ordre g + 1 sont nuls, on obtiendrait
AT LE=— 07 AT} =O, 7. Ath 0,
c’est-à-dire
Les formules (2) montrent donc que, quels que soient les nombres
! I i] Ë o 5 Dee .
RE ADR on peut toujours les exprimer linéairement et rationnel- IUT» Un
lement au moyen d'un certain nombre #7 — 4 d’entre eux. D'autre part, il est impossible de trouver des périodes &,, &,, ..., «, en nombre inférieur à n — q,et telles que a,, a, .…, a, soient des éléments du corps «,,,æ,, .…, a, En effet les 2 — q périodes &,,,, ..., @, élant indépendantes, on ne peut,
il . De an >». — Jinéairement et rationoi An
ainsi qu'on l’a vu plus haut, exprimer
nellement en fonction de —;, —,..., — sir <n — q. BE CT y
. . . Ê l Posons P=n—7g; il est clair qu'on peut toujours exprimer ——; ‘ i
ss
