PP
il . c rs . .
2 s'expriment linéairement et rationnellement en fonction de L #
> CLINNCrTSeMENT.
F=9 29 0000 > 1 B; Pp
En résumé, » périodes étant données, il existe un nombre pAtel que ces périodes puissent être considérées comme des éléments d’un Corps » La 12 Q , d \ d'ordre p, et non comme des éléments d’un corps d'ordre inférieur à p;
en un mol, ces n périodes définissent ur COTPS d'ordre p bien détermine.
La recherche de l’ordre du corps défini par # périodes données est un problème d’arithmétique analogue à celui qui consiste à rechercher si le rapport de deux nombres est ou n’est pas commensurable. On peut dire, dans tous les cas, que si des périodes sont dépendantes, on peut s'en assurer par un nombre fiat d'opérations arithmétiques, sans toutefois qu’il soit possible d’assigner une limite au nombre d'essais nécessaires à cette vérification. Au contraire, il est impossible, par un nombre fini d'opérations, de reconnaitre si des périodes sont trdépendantes; aussi loin qu'on ait poursuivi les opérations, quelque grand qu'en soit le nombre, si l'on n’a pas obtenu de résultat, on ne peut affirmer que les périodes sont indépendantes.
En réalité, on n'arriverait à la certitude que par une infinité dénombrable d'opérations. La certitude, si on l’acquiert au cours des opérations, ne
peut se produire que dans le sens de la dépendance.
Corps commun à deux corps donnés. — Soient deux corps de périodes définis respectivement par les deux systèmes de périodes &,, &,, ..., @, el p,, GB ..) Pg- Ces deux corps ont-ils des éléments communs? Si a est un tel élément,
on a simultanément
a — ==; = $) ne Hs a en X Ap a Pi P2 Pg 9 « li c est-a-dire m; Mp n, Na.
nn ner — ae le te) CA Xp Bi Pq
ceci montre que le système des p + g périodes & et $ ne forme pas un système de périodes indépendantes; s'il en était autrement, les deux corps n'auraient aucun élément commun.
Supposons donc dépendantes les périodes &,,%,..., 4%, De ER Ur l'ensemble définissant un corps d'ordre y; y est au moins égal au plus grand
0 E. ESCLANGON.
des nombres p et g. Soit gp, y =q +7, et supposons indépendantes les périodes
. C R Hs Has +. rs Bi, Pos rs Po
Les périodes &,,,, &4, -.., 4, S'expriment alors de la façon suivante :
| AL di ms! si = A L a FE A one)
Ar+1 1 2 Xr p1 By DR ni in NUS dr Oi de Den 0 (200 D 000 No D OUR O A Si Elo Ge 0 0.E F > "5 - p—1
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Xp % > X a 69
dans ces formules, les coefficients { et s sont des nombres rationnels. Soit & un élément commun aux deux corps LR Art my Mp PS n
— L joe toi == L foie ee = A CA ce ap Bi Ge l
Les périodes &,, &,..., 4» 101; Dre... D, etant par hypothesemndenens dantes, on en conclut
My + Myesli E Mypoli +... + MT =0,
Ma + Mypils + Mypoli EE... EmMptè 7 —0,
RENE LE Se cr ee co ot 0, DOS ET ST TE SE OU = ITA Es | ARC psi wie RS EU CE RON UE RICA NS Darrte :
a ,2 DE LES RE MpteSg Feet Mpsh = gs
Ces relations, considérées comme des équations par rapport aux inconnues 144 ny ces Up lin Tes 4 SONT LC OLUES DANTADD OP OR LS CARRE This ste) Pas les MOMPTES 7, 1... I Le lentarbitiaine Ole ment a est alors donné par la formule
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LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. 77 ect sl À 2 = ns c'est un élément quelconque du corps défini parles penotdes 2e...
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