A PR ER OT LT ETES TL PT

9 ) A HDi | MAUR Maps test Mpli + Mp418p Eee + MnSp = 0.

104 E. ESCLANGON.

L'ensemble des relations (5) et (6) considéré comme un système de ñ équations homogènes à 7» inconnues 77,, M3, ..., M, aurait une solution différente de o, le déterminant (2) serait nul; or ce déterminant est égal

A A2 10, Par conséquent, les périodes «,, 4, ..., «, déterminées par les relations (3) sont indépendantes.

Nous allons montrer maintenant que le champ absolu B défini par les

périodes à,,4,,...,a,estéquivalent au champ À des périodes a,, a,,...,an. ce €

ae 2 . , .

Soient P un point du champ À, Ë sa valeur congrue, £,, £,, ..., £, ses 2 re) 412 » ?

coordonnées P E+ ma Ëé, E+ Midi En, rt Éditer et Q un point correspondant du champ B Q LD —=n: E+ Rit3 = N de RC tire On a, entre ces divers éléments, les relations suivantes : | Ni 1 1 L 1 a LS: 1 1 1 ee. ue a + Un al is (UimMi EU Men Cu, mMn) RE TRS PART A ET APN Ca NN TE ; Np p d p a Æ: p p ue Dion Te ee + EM), Up 7 n (7) :

(à e Rs DR Ce + sim, a n A D PR Ru:

Ë ne , 4 he: de st = RPM eo ie Sr Pme It Si P’ est un point voisin de P PE Ét+ mia—Ëé;, CÉEne da ce es RER

et si l’on détermine 7°, %,,..., n, par les équations

| (8) OR D OS DS Or M ST A EP D OO 0 Ce OU |

le point Q a u ! / # ' a Q PEUR Ci; AE RC ee Crete

est voisin de Q, comme le montrent immédiatement les équations (3), desquelles on retranche respectivement, et membre à membre, les équations de même forme obtenues avec les coordonnées des points P’, Q”.

L'inverse a lieu également. En effet, les équations

Nil RAM Nu) +...+ ui(m,— M), 2e GS ET ; Ro—lNp—= LE(M —m)+... Emi — my), (9) PT PR OMS (7 Mar. .s + Si(M, Mr), a der Genie UND soit :

\ © ST P(m,—m)+...+s P(m, — my)

ont, quels que soient les entiers (x, — n,), ..., (n,— n,), des solutions entières par rapport aux inconnues (77,—1n,),...,(m,—m,). Cela résulte de ce que, le déterminant À formé avec les coefficients des inconnues, divise tous les déterminants d'ordre 7 formés avec les éléments du Tableau

! L [l l R, — n) Bi F2 one Pa ! ) D P CREER CU ME re LOIELE o sn si SE O UE OC: LR OR RC TT

Il suffit, pour s'en convaincre, de développer un tel déterminant suivant la règle de Laplace par rapport aux (7 — p) dernières lignes. On obtient ainsi une somme de termes qui contiennent tous en facteur un déterminant d'ordre (7 — p) formé avec le Tableau des coefficients s/, et ces déterminants sont tous divisibles par A.

Ceci posé, soient donc

n°, = Ë! ee == Et 05 y CE it eus) Ip=iSt st p

106 E. ESCLANGON.

les coordonnées d’un point Q voisin de Q, nous déterminerons 72,, 7n,, .…, m', par les équations (9). Considérant le point P’ de coordonnées

9 a / PT NT / bee IT Aie rs EEE Mal il vient alors / 1 Fr 24 a 04 1H 1iS 1 CT 1} +... + Un ) œ a; Gr NN NS à Gaia nes ie C0 Ce CU CT RE OC .

1 a #1 e "1 "1 Erin Gi Gn— Gn P P ) 1 P > pe +...+ue , Xp A dn c! e all 2 Ga 61 1 6 0 = - ..+si ) (CA An PT ras Re de Joconde Deco 0e 09 ! e r/ 9 ” = G}1 pie 2 (e) ——., pa + SP 2 ; &i dn

comme (1, — "), +, (mn, — M) Sont voisins de o par hypothèse, il en résulte que (€ —€6,), ..., (£, — E,) sont également voisins de o, c'està-dire P’ voisin de P. La proposition est complètement établie.

Nous sommes donc en possession d’un système de p périodes indépendantes, dont le champ est équivalent au champ donné A. Il résulte du paragraphe précédent que tous les champs de périodes indépendantes équivalents au champ A s’obliennent en considérant les diverses bases du corps réduit défini par &,, &,,...,a,. Cela nous montre également que lorsque l’on à déterminé un système de coefficients uw? satisfaisant aux conditions indiquées plus haut, on les obüent tous, en effectuant sur les formes linéaires

Ji — Hi; a + pitr Jr =HiTi +... + pin

une substitution à coefficients entiers

1 ,, At} 1 7 PP Es Ve)

dont le déterminant est assujetti à la seule condition d’être ÉD Al A EEE

Le corps réduit défini par &,, 4,, ..., 4, sera aussi, par définition, le corps réduit défini par a,, a;, ...,a,. Toute période & de ce corps est donnée par une formule de la forme

\ Q ù | OÙ V4, Ve, + +, VY Sont des entiers quelconques. En remplaçant Ne a) P

. . T [ par leurs expressions en fonction de es I finalement a 2 Un

I m M es Mn

mt, ..., M, élant entiers. Inversement, {oute période à donnée par une telle

formule, où m,, m,,..., m, sont des entiers quelconques, appartient

au même corps réduit, si toutefois le nombre > ainsi défini n’est pas nul. La

ee ao : 5 5 I ] proposition sera évidemment établie si lon montre que TT -2 il 2 1

5 É . 5 ÉD . Ne 0 . I ji s'expriment en fonction linéaire à coefficients entiers de Re I er 7 | "2 P

Résolvons, en effet, les équations

1 1 I LL l-

L Il

— oser ) a di An D DEA On TO D OI A NICE 8: n P P I P-

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