GE

LO8 E. ESCLANGON.

On obtient, par exemple,

ll i ñ Gt F2 Pn °1 l ) ) A ==) ET pe bn ) a, Xp 1 1 0 ss $;, n—p 1 = 2) [e] Sa Sh

: Ro 1 I :

le second membre est une fonction linéaire de dont les coefficients 1 P

sont entiers et divisibles par À, par conséquent,

Ze Loose (rover cnUuerS)e

de même, pour Tr es de Gr Le corps réduit défini par des périodes dépendantes à,, &,, ..., a, est donc susceptible d’une définition directe, identique à celle adoptée dans le cas de périodes indépendantes; c’est l’ensemble des périodes « données par la formule & coefficients entiers

1 mt DIE Mn = ZE — + — .

æ La; Le a

Nous obtenons maintenant la condition générale pour que les champs définis par deux systèmes de périodes quelconques (a,,a,,..., a,), (b,, b,, ..., b,) soient équivalents : il faut et il suffit que les corps réduits définis par ces deux systèmes de périodes soient identiques.

Champs multiples d'un champ donné. — Soit un champ absolu A défini par des périodes quelconques a;, &,,..., a,. Nous dirons que le champ B défini par /b,, b;,:-.,b, est un multiple -duchamp A%ilssatistait aux conditions suivantes :

Pet Q désignant deux points correspondants quelconques dans les

ce

champs À et B, il faut et il suffit qu'à tout point Q', voisin de Q dans le champ B, on puisse faire correspondre (au sens donné à ce mot p. 96) un point P' du champ A voisin de P.

Le champ multiple B possède donc une des propriétés qui caractérisent l’équivalence. Si réciproquement À était le multiple de B, les deux champs A et B seraient équivalents. L'ensemble des champs multiples d'un champ donné comprend évidemment l’ensemble des champs équivalents, Le mulüple d’un multiple est encore un multiple.

Il est clair que si A’ et B’ désignent des champs respectivement équivalents aux champs A et B, le champ Best un multiple de A’. Il suit de là que, pour rechercher les conditions de la multiplicité, on peut toujours substituer aux champs donnés des champs équivalents, et, en particulier, des champs de périodes indépendantes.

Soient donc &,, %, ..., &, les périodes indépendantes qui définissent le champ A’, B,, B,, ..., 6, les périodes indépendantes qui définissent B' multiple de A’. Un raisonnement identique à celui de la page 97 montrerait immédiatement que l’on a

n r'! PE = +...+ % 1 Pgq elfe 20 DE OR PP RP PET rl entiers; I TA lg ——= +... + À Xp Bi Pa He DA I : ; c :

mais 101 CAR ne s'expriment plus nécessairement en fonction de 1 4

—,..., — par des formules de même forme. On conclut de là que g=p z %

puisque les périodes &,, &, ..., 4, sont indépendantes.

Ainsi l’ordre des champs multiples d’un champ donné est supérieur, au plus égal, à l’ordre du champ considéré.

Les conditions (1) sont d'ailleurs suffisantes, c’est-à-dire que, si les périodes indépendantes B,, B,, ..., 6, sont liées aux périodes & par des relations de la forme (1), elles définissent un champ muluple du champ À, sans que les entiers r/ satisfassent à des conditions particulières, si ce n'est

110 E. ESCLANGON.

que dans le Tableau de ces coefficients, il ÿ ait au moins un déterminant d'ordre p différent de o ; ce qui a lieu d’ailleurs nécessairement, puisque, par hypothèse, les périodes &,, &,, ..., a, sont indépendantes. Le procédé de démonstration est toujours le même et je crois inutile de le répéter ici.

Soit maintenant &,, &,..., &, un système de # périodes quelconques indépendantes ou non, dont le champ est multiple du champ des périodes indépendantes a, «, ..., @,3 si B4, 8, ..., PB, est un système de périodes indépendantes dont le champ est équivalent à celui de &,, a,,..., a», on a

entre les « et les 5 les relations (1). D'autre part AN s'expriment, 1 2 qd . . re ë . . I comme nous l'avons vu, en fonction linéaire à coefficients entiers de ee

I I ; ri —, -.. —, de sorte que l’on peut écrire finalement

d2 dn [ 1 1 La I :

ns L Ferro : Pr % di UE) An 6 OR Si ne or. u} entiers.

p p p RE CET 4 An

Inversement, tout système d’un nombre quelconque de périodes @,,

'. on \ 1 I d; …..; a, dont les inverses sont. liés à AUD des formules de 7 7

la forme (2), définit un champ mulüple du champ %,, &,, ..., 4, sans que les entiers uw! sotent assujellis à des conditions particulières, si ce n’est que les déterminants d'ordre p formés avec ces coefficients ne soient pas tous nuls.

La démonstration se fait directement par le mème procédé que nous avons tant de fois employé. Bien entendu, parmi les périodes a,, a,,..., a, il y en a au moins p d’indépendantes.

On remarquera que toute période du corps réduit défini par &,, æ,...,«, appartient au corps réduit défini par @a,, a,, ..., a,. En d’autres termes, le corps réduit défini par a,, a,, ..., a, comprend le corps réduit défini POTTER TR ET OUR

Citons, à titre d'exemple particulier de champs multiples, le champ défini par les périodes m,a,, m;@2, ...; m,@,, qui ést toujours un muluple du thamp:déterminé para /;5a,0" "a, Las

LES FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES. nn:

Champ résultant. Multiple commun à plusieurs champs. — Soient A,, À,,..., À, des champs donnés, définis respectivement par les sys- CR Eole CE an) (bi D ee Orne lis las ssl).

Désignons par R le champ absolu défini par le système total des périodes (CARNET EN PRES Pr AE

Nous appellerons ce champ, le champ résultant des champs A,, A2, -.., A. On établit sans peine que, si l’on remplace A,, A,, ..., A, par des champs A’, A°,..., A7 qui leur sont respectivement équivalents, le champ résultant R’ ainsi obtenu est équivalent à R.

L'ordre p du champ R est au moins égal au plus grand des nombres qui représentent les ordres des champs A,, A,,..., A,, et au plus égal à leur somme.

Soient #,, %,..., &,, p périodes indépendantes dont le champ est équi-

valent à R. Comme nous l’avons vu, a DE — s'expriment par des NO MP lp : TR rr. ; DS : I I I I lonchons linéaires à coefficients entiérs de —; +» —; —, ..., —, di dn bi bn

[ Li . . .

7°" 7 €, inversement, ces derniers nombres s'expriment par des fonc- 1 k

où

: TIRE ; : : Toi I tons linéaires à coefficients entiers de VA os 7 | 2 P

Nous dirons, maintenant, que le champ B est un muluiple commun aux champs À,,A,,..…., A, s'il est le multiple de chacun d'eux, considéré 1s0lément. W résulte de la définition même, que le champ résultant est un multiple commun, et, par suite aussi, tous les multiples du champ résultant. Il est bien facile de voir que l’on obtient de cette façon tous les multiples communs aux champs A,, A,, ..., A,. En effet, soient R’ un multiple commun, P un point de ce champ, P,, P,, ..., P, des correspondants de P dans ls "champs A, A, ,,.., A,: designons par Cr nee) (OÙ, D... dr)-les coordonnées désnpoints SE ES

PROMO démcoomdonnées (6,200 a Mis ces ar cr Mer A4) est un point du champ résultant R. Soit maintenant P’ un point voisin de P.

On pourra, d’après la définition même, trouver dans les champs A,, D des ponte D, P, ..., P' respectivement voism-\de-P, RE ous déstauons par (ce .0,) =: (Our 0 X,) les coor-

données de ces divers points, le point Q’ du champ R dont les coordonnées

FE? E. ESCLANGON.

sont ÉE, un En ms eos Muse des Ms A) est Wôisin du, point Q;6'éstà-dire en définitive que R' est bien un multiple de R.