FONCTIONS QUASI-PÉRIODIQUES ATTACHÉES A UN MÈME CHAMP DE PÉRIODES

La notion de champ de périodes nous permettra maintenant de définir une classe particulière de fonctions qui, par leurs propriétés, se rapprochent des fonctions périodiques et comprennent, comme cas particuliers, les foncuons de fonctions simplement périodiques. L'introduction des corps de périodes, et létude que nous avons faite dans la première Partie sur les fonctions périodiques de plusieurs variables, nous serviront à établir certaines de leurs propriétés. J’ai qualifié ces fonctions de QUASI-PÉRIODIQUES pour une raison qu'on verra bientôt.

Définitions. — Soient a,, &;, ..., a, des périodes tndépendantes, et A: le champ absolu (p. 83), quelles définissent.

Soit d'autre part f(x) une fonctuon de la variable réelle x, définie pour toutes les valeurs réelles de cette variable comprises entre — æ et ++, mais, à part cette condition, absolument arbitraire (").

A tout point &,,6,...,&, du champ absolu correspond une valeur congrue € et unc seule (?) et l’on a, avec un choix convenable d’en- MODS 72), 2-5 ln É

Cri = CS tee + Mnln — Ene

’ ’ ? L 1° Wa) A l'élément £,,£,,..., £,, nous ferons correspondre la valeur f(£), défi-

(1) Tout ce qui va suivre s’appliquerait encore si, au lieu d'être définie de fonction f(x) était seulement définie dans un intervalle infini quelconque, de o à ++ par exemple, le champ absolu resterait dense; il n'en serait plus dé même si f(x) n’était définie que dans un intervalle fini; le champ absolu correspondant à cet intervalle ne serait plus dense, et les définitions qui suivent n'auraient aucun sens.

(2) Nous supposons x > 1.

114 E. ESCLANGON.

. . . 7 , L . . C tes a nissant ainsi, sur le champ absolu, une certaine fonction F(6,, 6, ..., )

ftæ)=E(x, 2, ..….,æ),

car la valeur æ est toujours congrue à l'élément de coordonnées x,

! ’ £ Ton , \ lt { ,.….., æ. Plus généralement, si +, désigne la valeur congrue à l’élément 27

, ME STOT E

GOT) = F(é ++, É+æ, Qt Ent æ),

puisque æ+x, est congru à l'élément Ë, + x, 6,+x,...,6,+ax. Ceci montre que, sur un segment de caractéristique, la fonction associée prend les valeurs que la fonction f(x) prend elle-même dans un certain intervalle (x, 5) correspondant au segment considéré.

La fonction F(E,,Ë,,...,Ë,)est manifestement périodiqueen &,, &,, ...,ë,, les périodes étant respectivement &,, &,, ..., a, À part cette condition de périodicité, la fonction Fest arbitraire, c'est-à-dire que, si elle est arbitrairement donnée, on peut trouver une fonction f(x}, et une seule, dont elle est l’associée. Il suffit de prendre

TRY ET ee nd)

6,, 6, ..., 6, étant un élément quelconque du champ absolu et £ sa valeur

congrue, on a en effet, en désignant par 7,, m,, ..., mn, les entiers correspondants,

F(és Cas SR ni =F(é—mia,é— ma, 9 D En sad) NE .. leo

Enfin, il est clair que si deux fonctions ont même fonction associée, elles sont identiques. La fonction associée d’une somme, d’une différence, est égale à la somme, à la différence, des fonctions associées.

À toute fonction donnée f(x) correspond ainsi une fonction associée bien déterminée F(£,, 6, ..., £,), définie en tous les points du champ absolu À; mais, relativement à la nature et à la distribution de ses discontinuités, cette fonction est quelconque.

Dès que lon imposera aux discontinuités des fonctions associées la

condition d’être distribuées d’une façon particulière, on distinguera par là même, dans l’ensemble des fonctions réelles f(x), un ensemble de fonctions présentant des caractères fonctionnels particuliers; c’est précisément en choïsissant parmi toutes les hypothèses possibles que l’on définira les fonctions quasi-périodiques.

Les hypothèses les plus simples sont évidemment les suivantes :

1° Les fonctions associées sont üNiroRmÉMENT connues (!) sur le champ absolu; nous appellerons les fonctions correspondantes, des fonctions QUASI-PÉRIODIQUES UNIFORMÉMENT CONTINUES.

2° Les fonctions associées sont simplement covrnues (?) sur le champ absolu; les fonctions correspondantes sont alors des fonctions quast-