PÉRIODIQUES CONTINUES (?) O& SIMPLEMENT CONTINUES
Les fonctions quasi-périodiques continues, ou uniformément continues; sont continues pour toute valeur x de la variable, puisque leurs associées sont continues sur toule caractéristique, mais les fonctions quasi-pério-
diques uniformément continues possèdent de plus la propriété suivante :
Etant donné #, on peut déterminer » de façon que, x el x' étant deux valeurs quelconques de la variable assuyetties à la seule condition
[æ — æ'|< p, on ail
Les unes et les autres de ces fonctions possèdent la propriété fondamen-
tale suivante :
(1) J'entends par là uniformément continues dans le domaine parallélépipédique
2e ; Or LA, Don Q)
le champ absolu étant périodique, la continuité uniforme est alors réalisée dans tout domaine infini, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de £i,...,£», aussi grandes qu’elles puissent être. (2) Gette distinction a un sens, comme je l'ai fait remarquer page 10. (3) L'ensemble des fonctions quasi-périodiques continues comprend évidemment celui
des fonctions quasi-périodiques uniformément continues,
L10 E: ESCLANGON.
Étant donné un intervalle quelconque (x, 8) on peut trouver une tnftnité d’intervalles égaux au premier (a + h, 8 + h), aussi éloignés que l'on veut du premier, tels qu'étant donné e, on ail pour toutes les va-
leurs x de l'intervalle (a, 6) [f(æ+h)— f(x) <e;
en d’autres termes, la fonction f(x) repasse approximativement, dans l’intersalle (a+ h, 8 + h), par la série des valeurs qu'elle prend dans l'intervalle (4, B). C’est pour rappeler cette propriété que J'ai adopté la dénomination de fonctions quasi-périodiques.
Cette propriété est à peu près évidente. En effet, à l'intervalle (x, 6) correspondent, dans le champ absolu, des portions fintes de caractéristiques.
Considérons l’une de ces portions, et désignons par £Ÿ, &, ..., £% un point
-du champ absolu qui a &« pour valeur congrue. On à
cn
f(z<a)=F(É Az... , Eee).
Mais nous savons (p. 87) qu'il existe des caractéristiques aussi voisines que l’on veut de la précédente. D'autre part la fonction F étant continue sur le champ absolu, si 4, &,, ..., £, désigne un élément situé sur le segment de caractéristique considéré, à tout nombre € on peut faire corres-
pondre p, de façon que sous les conditions
| kr!
SERA ET ss RE EE 0)
on ait ES re cl EN, . een) CS
comme le segment est fini, on peut trouver » de façon que cette inégalité ait leu pour tous les points du segment. Soit alors £°, £?, ..., E° un point
pour lequel
si « + h est la valeur congrue à l'élément £", ..., E
JR EG) EN EP Er UE)
el, par suile, puisque
(EE) EE z)| <p, Mrstel (Eee (ee r)) <p,
ra Eh flo pales
inégalité qui a lieu lorsque x varie de o à (8 — #). On peut trouver une infinité de valeurs L permettant d'écrire cette inégalité, puisqu'il existe
au voisinage du point (&%,...,£%) autant de points que l’on veut du champ absolu; 2 est d'autant plus grand que l'on considère des points plus rap-
prochés du précédent. La proposition est ainsi établie :
Les fonctions quasi-périodiques définies à l'aide d'un méme champ absolu constituent, par définition, l’ensemble des fonctions quast-pério-
diques attachées à ce champ.
Les fonctions quasi-périodiques uniformément continues sont de beaucoup les plus importantes, celles que l’on rencontre surtout dans les applications.
Quant aux fonctions quasi-périodiques simplement continues elles sont loin d’être sans intérêt; on les rencontre notamment dans des problèmes d'intégration où interviennent des fonctions quasi-périodiques uniformément continues.
Les fonctions associées de fonctions quasi-périodiques uniformément continues jouissent de propriétés particulières. Nous avons vu, en effet (p. 11), que, si la fonction F(£,,5,, ...,£,) est uniformément continue sur un champ dense, il existe une fonction continue, par suite, uniformément continue F(x,, 2, .…., x, ), définie pour toutes les valeurs des variables, et prenant en tout point du champ la valeur F(£,,8,,...,6,). Ici les périodes à,, d;, ..., d, élant supposées indépendantes, le champ absolu est dense dans tout domaine à # dimensions. Il existe donc une fonction continue F(x,,Zs, .…, 2, )et une seule, qui, à cause de la périodicité en &,,æ,, ..., x, est uniformément continue dans tout domaine infini, el qui, en tout point du champ absolu, prend la valeur F(E,,6,,...,€,) = f(&), ou si l’on veut, sous une autre forme : il existe une fonction F(x,,x,,...,x,) et une seule,
Perodiqueent,, 2,1, .de périodes a,, &,, ..., &, (indépendantes),
118 E. ESCLANGON.
vérifiant, quel que soit #, l'identité
La fonction F(x,,%,:...,%,)sera, par définition, l'associée de f(x) sur le champ total, où simplement, lorsqu'il n’y aura pas d’ambiguité possible, associée de f(x).
Il résulte de là, que les fonctions quasi-périodiques uniformément continues sont bornées dans tout domaine infini, c’est-à-dire qu’en valeur absolue, elles restent inférieures à un nombre fixe. Il n’en est plus nécessairement de même des fonctions quasi-périodiques simplement continues ; bien que finies pour toute valeur #, il peut se faire qu’elles dépassent, en valeur absolue, tout nombre donné.
Les fonctions quasi-périodiques uniformément continues peuvent être définies de plusieurs façons différentes. Dans une Note insérée aux Comptes rendus (22 novembre 1902), j'avais donné cette définition :
La fonction f(x) est dile QuASI-PÉRIODIQUE st à tout système de valeurs arbitrairement Choisiest&}"2,, + An ON peut JTE COTTeSpOndrentn nombre F(x,,,,...,x,) jouissant des propriétés suivantes : étant donné e positif quelconque on peut déterminer p=> 0 de façon que, pour tous les nombres x, qui avec un choix convenable d’'entiers m,,m,,..….,m, satisfont aux inégalités
(1) Perrier; Ep, .. [TX + Maan— Ln|<p, on ail (2) Lf(æ) — F(x, æ, M) de
Cette propriété caractérise les fonctions quasi-périodiques uniforme ment continues, mais celles-là seulement.
Soit, en effet, F(x,,æ,, ...,æ,) la fonction associée d’une fonction quasipériodique uniformément continue. Étant donné €, on peut trouver p > 0 de façon que, sous les seules conditions
U si 2 Li] < 0, Pres Êe, LED, on ail
| F(x, amie ET ot ne ee
Ceci posé, soit æ,, æ,, ..., x, un système de valeurs os mais lixes, et considérons tous les nombres x satisfaisant aux inégalités (1). En
posant DOTE — C1, CR ir on obtient ile nues En — ænl < p ébaparsuite, PET RE (1, lets
mais comme
il en résulte
Les fonctions quasi-périodiques uniformément continues satisfont bien à la seconde définition.
Inversement, soit f(x) une foncuon satisfaisant à cette définition. A tout Fremedenalus 2", correspond unnombre F(æ,,2, 7,2), défini comme l'indiquent les inégalités (r)et(2); mais de la définition même ne résulte & priori aucune propriété relative à la fonction F(x,,...,x,), si ce n’est qu'elle est périodique par rapport à chaque variable. De plus, si £,, £,,..., Ë, est un élément quelconque du champ absolu, £ sa valeur
CongTrue, ON à HV) FE Es ++. En)
En effet, aussi petits que soient € et le nombre 9 correspondant qui à re Gt A 0 .
figurent dans la seconde définition, le nombre £ appartiendra toujours
à l’ensemble des nombres x satisfaisant aux inégalités
End |<E, EE [x + mian— En] <p,
n Le a "A 1 are puisque l’on a exactement, avec un choix convenable d’entiers ui... u
ÉEUd— É 0, (12 om
La quantité fixe = FC ..., 4,)| étant inférieure à tout nombre donné € est nulle. La es F(Ë,,...,6,) est donc l’associée de f(x) sur
le champ absolu. Pour établir que f(x) est une fonction quasi-périodique
120 E. ESCLANGON.
QE ’ à S : à ru 0 € uniformément continue, il suffit de montrer maintenant, que F(6,,...,2,) est uniformément continue sur le champ absolu, condition qui sera & fortiori réalisée si F(x,, æ2, ..., &,) est elle-même continue, ce que nous allons établir.
Soit æ,,æ,,..., 2, un système de valeurs quelconques, mais fixes; je dis
’ ’ . Te d'abord qu'étant donné 8 > 0 on peut trouver p => 0, de façon que si 6,, C £ GP 000
seules conditions
représente un point quelconque du champ absolu assujetti aux
(3) til à ROC) PE 74 ce
on a FE) PÉRR OO NEE,
En effet, au nombre € on peut faire correspondre p, de façon que pour tous les nombres + qui, avec un choix convenable d’entiers 22,,m,,...,m,,
salisfont aux inégalités (4) |T+ Mad 2 |<p, te.) (En, a, ae
on ail [f(æ) ns Fte .. «LM AE
: S Û ’ 2 Q QUE C 1’ Or, p étant ainsi déterminé, si£,,..., 4, est un élément du champ absolu salisfaisant aux conditions (3), la valeur congrue £ à cet élément fait partie
de l’ensemble des nombres x définis par les inégalités (4), donc
[A CE) — Fix; “. Ta) | < €; or, comme
il en résulte, sous les seules conditions (3),
