FONCTIONS MOYENNES DÉDUITES D'UNE MÈME FONCTION QUASI-PÉRIODIQUE

Nous allons démontrer la proposition suivante :

Soient f(x) une fonction quasi-périodique uniformémement continue, h un nombre réel quelconque; lexpression

ne) + fe + 2) + (2 + 2h) +4 Ce + (a 0) )},

a, quel que soit x, une limite lorsque l’entier n (que l’on peut toujours supposer positif) grandit indéfiniment.

J’appellerai cette limite une fonction moyenne, et la désignerai par le

symbole . (/(æ), 2)

Il résulte de la façon même dont elle est définie, que si la limite (f(x), ) existe, c’est une fonction périodique de x, de période 4. Nous établirons en outre que cette limite est une fonction continue de x, et que, relativement à cette variable, la limite est atteinte uniformément, c’est-à-dire que restant fixe, si l’on se donne € positif, on peut déterminer v tel que sous la

seule condition 2 >v on ait

a LfCe) + fe + 0) ee + (un) = (7e) )|<e,

et cela quel que soit x.

S \à = É mp 1 de De Considérons d’abord les fonctions simples cosx et sinxæ. On a, d’après

en:

une formule connue, . nh SIN — COS| € +

— {cosæ + cos(æ + h)+...+ cos(æ +(n—1)h)|: er h ; n sin —

208 E. ESCLANGON.

cette formule n’est applicable que si À Æ 2kn., Si h = 2kx le. premier membre est égal à cosx quel que soit # et la proposition est démontrée.

Si k = 5k% on a

sin : 0;

le second membre montre que la limite pour » = est égale à 0, et atteinte iniformément par rapport à æ, puisque le numérateur est en valeur absolue inférieur à l’unité.

On obtient un résultat analogue en ce qui concerne la quantité