NS CHOSE

c'est une période du corps réduit fondamental.

Ainsi à toute période a du corps réduit fondamental correspond une fonction bien déterminée Sue, u,(X) que nous désignerons souvent aussi par le symbole S(x); l'indice a indiquant la période correspondante. Mais une question se pose immédiatement, La fonction S,(x) ainsi obtenue est-elle indépendante de la base &,, &,, ..., &, que l’on a choisie dans le corps fondamental? En d’autres termes, si 6,, 8,, ..., 6, est une seconde

204 E, ESCLANGON.

base de périodes, on aura

y V y el 2 ?

= — 8 DES Sc 0 3 si , a 1 B Pp

et dans ce système on obtiendra une fonction 6,,,..,,,(æ) analogue à S; les fonctions S et 5 sont-elles identiques? On peut déjà se rendre compte qu'il en est bien ainsi en remarquant que si S,(æ) est développable en série

de Fourier

nm —=+ x Gi mn LT m ee S,(r) — D An cos2r= PB L=—=— les coefficients À,, et B,, sont donnés par les formules re An= lim = [fr AIG = BtimE [° Late )sin2r L==@ T L'= 00 T

qui ne dépendent que de la valeur à.

Nous donnerons plus loin (p: 220) une démonstration rigoureuse de cette propriété, applicable au cas où les fonctions S, ne sont pas développables

en série de Fourier.

Ainsi à toute période a du Corps réduit fondamental correspond une fonction S,(x) bien déterminée, continue périodique, de période a.

Parmi les fonctions S celles qui correspondent aux périodes primitives & du corps réduit fondamental (11,, 14,, ..., 1, premiers entre eux) forment une classe à part. Elles paraissent jouer le rôle de véritables facteurs de décomposition dont la somme reproduit la fonction quasi-périodique ellemême. On peut d’ailleurs en déduire toutes les autres fonctions S. En effet, t étant une période quelconque du corps réduit fondamental, il existe une période primitive +, et une seule, dont & est un sous-multiple

les fonctions S, et S, sont alors liées par la formule

À Sa) + Safe + 2) Sa(e+(y—n2)l.

Les fonctions périodiques S,(æ) ont une moyenne nulle, c’est-à-dire que

1e DAT) dE = 0:

Enfin l'expression des fonctions S(x) au moyen d'intégrales définies montre qu'elles ont une existence propre, indépendante de toute hypothèse sur la nature des développements en séries de la fonction f(x).

Développements en séries de fonctions périodiques. — Donnons-nous une base &,,4,, ..., à, du corps réduit fondamental. A tout système d’en- UErs fi, U, -.., ,, premiers entre eux, correspondent une période primiuve &, donnée par la formule

et une fonction S,(æ). Dans un système d’axes et dans un espace à p dimensions, plaçons au point de coordonnées 4,, W,, ..., 1, le terme correspondant 5 S,(x), et au centre la constante A,; nous formons ainsi un Tableau qui, s'il est uniformément convergent, représente f(x) :

f(æ)= A+ : D Sa);

chaque fonction S,(x) intervient en réalité deux fois puisque l’on à Sa(r)=S (x).

Si l’on remarque que deux périodes primitives quelconques (si elles ne sont pas égales et de signes contraires) sont toujours incommensurables, on voit; en rassemblant les termes $, et S,, que f(x) se trouve développée en une série mulliple, uniformément convergente, dont les termes sont des fonctions périodiques, les périodes de deux quelconques de ces fonctions étant toujours incommensurables. Lorsque un où plusieurs entiers 4, U, ..., Lt, grandissent indéfiniment, la période correspondante & devient soit infiniment grande, soit infiniment petite. La série précédente est une série multiple d’un genre particulier, mais il est clair qu’on pourrait, d’une infinité de manières, la transformer en une série simple.

La considération des fonctions S,(xæ) permet d'obtenir une troisième

206 Lu nc 2 Re a ESCÉANGON:

expression des coefficients qui figurent dans le développement de Fourier. Soit

m m À m m Atosoaa(e te AN pSine m+..+ 2) ea Lp en Lp

un terme de ce développement. Désignons par g le plus grand commun diviseur des entiers m,, M3, ..., m, et posons

I mi 1e 1 1 {M PLUS EE Mende de a Ca dy LAON œe

on en conclut immédiatement que

«a œ ] WA il ZT Az: f Sat) cos2rÊ de = 2 f Sa(æ)cos2rg 7 dx

(À œ B = - i S,(æ) sin on? dr == 1 Sat) sin2Tq = dr. BA a CHI a

On voit, en définitive, qu'il existe des fonctions quasi-périodiques (et ce seront celles que l’on rencontrera habituellement dans les applications) développables en séries uniformément conver gentes dont les termes sont des fonctions simplement périodiques, les périodes de ces fonctions étant deux à deux incommensurables.

Mais même dans le cas général, on peut démontrer que toute fonction quasi-périodique uniformément continue f(x) est développable en une série

simple uniformément convergente f(e)= A+ qu),

dans laquelle le terme général 2, (x) est une somme finie de fonctions Da (0e

et chacune de ces dernières n’entrant qu'une fois dans l’ensemble du

développement, c'est-à-dire n’appartenant qu'à un terme au plus de la TU

série d'or).

I reste à se demander si ces développements sont caractéristiques, en d’autres termes, si l’on ne pourrait pas imaginer des développements analogues, dans lesquels les divers termes seraient des fonctions périodiques, ou des sommes de fonctions périodiques distinctes des fonctions S,, les

périodes de toutes ces fonctions étant deux à deux incommensurables. On verra bientôt que cela est impossible; nous établirons auparavant une nouvelle propriété des fonctions quasi-périodiques, propriété intéressante à d’autres points de vue, et où l’on retrouvera l'importance des foneuons S(x).