L . TL ETES LEE

où p est un entier; 1l résulte du théorème précédent que si L est un nombre incommensurable avec la période a, on a nécessairement, quel que soit ne

l'entier p,

TZ . TX COS2Tp > HO, SIN2rp—» h|—0o.

Supposons, au contraire, que L soit commensurable avec &

ra . .

he Fm (7, g, entiers premiers entre eux),

et, au heu des fonctions sinus et cosinus, considérons le cas plus général

d'une fonction périodique continue quelconque f(x) de période a.

Calculons la somme JG ES(Z+R) +... +f(x+(n—nk):

effectuons pour cela la division de » — x par g et posons

n—1—=kq+Ss CS) on peut alors écrire

en oi.

(a—2) A = C) 71 Ces +n4 = (kr +o x Le Ce (+4 = (reg LJe CET ETC 2)! Je de sorte que l’on aura = f(æ)+ fe +h)+...+f(æ+(n—nh) = AN f+y(e+ 2) + fe + (9 ne)!

a LL)

ra À ra HO EESICE se) \ ‘4 | Puisque s << g, lorsque » augmente indéfiniment la deuxième des sommes figurant au second membre tend uniformément vers o. Quant à la pre-

k Fe AE I 1é a r limite -, de sorte que finalemière, remarquons que > re. à pour q à

ment le premier membre tend uniformément vers la quantité

I HART CAE D ee ra\} (fe), 4)= Elfe) fe + ) ++ fe +99)

On peut d’ailleurs la mettre sous une autre forme. Les entiers r et { élant

210 E. ESCLANGON.

premiers entre eux, si l’on effectue la division par g des nombres TROT NOT Use l)Te les restes sont dans un certain ordre les nombres 1 DNS nl)

de sorte que l’on peut écrire encore ni | a PSP AErS CN CODEAHOEI CENT CETTE)

On voit que la limite (f(x), L) dépend seulement du dénominateur g figu-

. . : re ra rant dans l’expression de 2 en fonction rationnelle de la période a, (2 = A

Elle admet la période : par rapport à #.

IL est intéressant de voir ce que devient (f(x), h) lorsque l’entier q augmente indéfiniment. Si la fonction f(x) est intégrable, on retombe précisément sur la définition de l'intégrale, de sorte que l’on a