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cette limite ne dépend ni de x ni de , et cela fait pressentir déjà que lorsque } est incommensurable avec la période a, l'expression

un CHAT ESS ER Ar ver

a invariablement pour limite la constante A,, mais ce n’en est pas une démonstration.

Si f(x) est développée en série de la forme S(æ)= A+ Ÿ Ua (æ),

Ü, étant une somme finie de termes de la forme

va : d Acosarn— +Bsin2rn-; «a «a

en prenant dans U; tous les termes pour lesquels » est divisible par l’entier fixe 4, et désignant par w, leur somme, la série dur est convergente; sa somme n’est autre que

= ft) +f(e+ ++ f(a er —n$)= (rc) “|

En particulier si f(x) est développable en série de Fourier

à d 4 æ TARA A+ŸA, CoOs2T An — + B,sin2Tn—;) a a

on à

+ à æ ; æ [rer ) 2] — A+Ÿ A mg COS2T M > + B,,,Sin2T7mq

Les fonctions de x, fie =) se rapprochent d'autant plus de la constante À, que g est plus grand, c’est-à-dire en somme que le rapport de # à a est moins simple; leur oscillation tend vers o quand q augmente indéfiniment. En effet partageons l'intervalle x, x + a en g intervalles partiels égaux, et, dans l'intervalle de rang #, désignons par #2, le minimum absolu de f(x), par M; son maximum absolu; on à, d’après la définition même de

l'intégrale, T+a

Dis f fa) das= DM, et aussi

É & HN fe .

D | ra) :] =. Ju, :

par suite

Los]

de sorte que si l’on désigne par &,le maximum de

< Due mi);

f(e . 2) — f(æ) lors-

qu’on fait varier x on a