P 2 ) INSCRIRE TS

de façon que le déterminant total

1 1 1 Fi P2 Pen p 2 p 1 BP ne 1 1 1 Si S, S »

np np —p S ñ S; Sa

soit égal à A.

Nous allons montrer pour cela qu'étant donné le Tableau (1) on peut lui

adjoindre une ligne 1,, 4,, ..., , de façon que dans le nouveau Tableau

on Lo sos LUE

1 1 1 si $i He Vs

s!—P se ee st?

(1) On néglige, bien entendu, ceux de ces déterminants qui sont nuls.

266 E. ESCLANGON.

les déterminants d'ordre (7 — pæ+1) aient encore comme plus grand

commun diviseur À.

En effet, les équations

SEP SE PT. ESS PŒn— 0

s : 4 a ,0 ,0 mŸ ont toujours des solutions entières non nulles. Soit æ, æ,, ..., æ, une de ; ,0 Dre 3 PT ces solutions; on peutsupposer que 2 0 .…, æ} sont des entiers premiers entre eux. Or, d’après un théorème connu, on peut déterminer les en-

Les «.., 1 de façon que l’on ait

uers LL, |

La TE BB + Fin Ti.

Les entiers &,, ..., 4, étant ainsi déterminés, on voit que les équations

Vi Tiboo tt... EFUn Æn—=l, s: Ti Sie 0e RS Ty — 0;

ont des solutions entières puisqu'elles ont en particulier la solution x°,

RE PE Or, d’après un théorème de M. Méray, que nous avons déjà énoncé page 91, il faut que les déterminants d'ordre (7 — p + 1) formés avec les

éléments du Tableau

| Pi F2 ln |

(3) RS Sn | | + he)

| s2-P sn |

aient pour plus grand commun diviseur un nombre d, divisant tous les déterminants d'ordre (7 — p +1) du Tableau

or a s!—P 0

En prenant dans (4) les déterminants qui contiennent la dernière colonne, on voit que d doit diviser A, mais d’après la façon dont est composé le Tableau (3), d est nécessairement un multiple de A; par conséquent d = A; ce qui établit la proposition. En continuant de proche en proche on obtient le théorème à démontrer.

Nous avons fait usage de ce théorème, en diverses circonstances, et, en particulier, lorsque A = +7.

Je ferai encore cette remarque que, les entiers 4! du Tableau (2) étant choisis à la façon indiquée, les équations

ont, quelles que soient les valeurs entières attribuées à n,, n,, ..., n,,

des solutions entières en #,, æ,, ..., æ,. Nous nous sommes servi plusieurs fois de cette propriété.

268 E. ESCLANGON.