I.F.S CROUPES 1) ORDRE
Type // fl'e G I I a i
La transformation (T)sera
■/y =v,, ;('/; = Vf/' H- y'//, ;^T,= TH- 3(// — i) -1- v'r/"« -t- v[ri"(// — ^) + ;"« + «-'y],
Si V est^o, on voit, comme précédemment, que l'on a les mêmes types que pour/^> 5 et ^imod3.
St V est sEo, on a v, ses o et l'on peut faire v', = i; en supposant v', = v'= i, on a
yt^^ II, «T, ^^ T + 3(« — i) -i- 3(?/2 — i) + zii^, ce qui donne les types
Type irr, VI, VI[deQ\\a\.
Les formules (T) étant les mêmes que pour p^S, G a les quinze mêmes types pour/^> 5 et ^imod4-
Troisième cas : ^ = 3.
49. Nous avons vu que le type I de G | j a { convient seul ; comme en vertu de la condition de figure on peut prendre a^ pour a, on peut supposer v'= i et écrire les équations de G, en tenant compte des conditions d'ordre
a'^=b'' — \, c^=a-', d'—h-'n, e''=c-'ba'\ P=a^',
c^^bc = rf-' hd = e-' be = b, /-' bf — ba,
d-'^cd=e-^ce = c, f-^cf=cb, c-^de^da', f-''df=.dc, f~'^efz=ed.
Le changement de générateurs le plus général conservant cette forme d'équations estl de la forme
rt, = «8, b^-=b^-a'\ c^ — c^'b^-'a''', d^-= S' c'' b^-' a'"' , e, —fe"d-cyb''a'', /, = f e"' d- O" b^' a'-' ,
FIGURK (i)(i)(i)(i)(it). . l53
avec les conditions (j,j',j", /désignant des entiers arbitraires)
r = o (je supposerai c = 0), in>'^o, Q^ii, !=?/('', h = zi'', ri'^=it — 3l, ^' ^ u{c' — i) -h z,
h'=ruu'i>'+{z + ,<)(,.'- 1) +/ +y -hfv'-tiv' f''^\ Ç''= Kv'-^-y, n"=u{v'—i) + zi>',
Et la transformation opérée sur les exposants t, S, S' est définie par
Ti=TMC', uSi=A3-h 1+ h'— /l, U§[ = A'^.
Or, on trouve, en tenant compte des conditions,
A3+/+/i'-A=«[0 4-TMV-i((''-l)((/-2)((/2+2)];
comme f' est ^o, j(«''— i)(p'— 2) est entier et c'^+ 2^:^^''^ — i est ^^o, on a donc
On voit que t, est ^^o toujours et seulement si t est =;^o. Si t est ^eeo on a o,eesS, et en prenant (^'— â^o, o-^^^'^S, (c'— S)m'£ee(''S', on peut faire S, =^ o, d'où les trois types
Si T est ^ o, on peut faire t, = 1; et en supposant t, = t = i, donc w'^^i, on a B,^B -h u'v' . En prenant (''= — i, m'= S, on peut faire â, = o; en supposant S, = S = o, donc «'sEo, on a 8',^ S', d'où les trois types
Deuxième cas : /> = 2.
50. On connaît (') tous les types de gp» ayant un e^,"-' et l'on sait qu'ils sont tous de figure (i) (i) . . . (i) (11). D'autre part, il est facile de voir que tout g.^^ de figure (i)(i) ...(11) a un e.,m-,. Supposons, en effet, le théorème vrai pour les groupes de même figure et d'ordre inférieur, m étant ^5 (le tliéorème se vérifie directement pour/?z<4)' D'après les types connus de G| |a I qui est un ga-»-' contenant par hypothèse
(') De Séguier, Éléments de la théorie des groupes abstraits, n° 141.
LES GROUPES d'oRDRE [f.
un 62"- , G a lies équations de la forme
0 et C ayant les trois systèmes de valeurs suivants (correspondant aux trois types distincts de G| j a j)
Or a est ^ o, car si a était ^o, on aurait b"^""' ^ i, et comme on a toujours "( — ieeeeo, il en résulterait c-' b'-^^'c^ b'^^"'~'=^ b^""'; et b^""' hors de \a\ serait normal. Ainsi a est^ o et i est un e^'»-' de G.
LISTE DES G/.» Eï DE QUELQUES G,
51. Je donne ici les équations de chacun des types qui ont été déterminés au cours du précédent travail. G désignant toujours le groupe et A le central, je sous-entendrai toujours les équations exprimant que tout élément de A est permutable à tout élément de G.
Les premiers membres des équations de G ne sont écrits qu'une fois, au commencement de chaque figure; les différentes formes de chaque second membre sont écrites dans la colonne du premier membre correspondant; à chaque type de G correspond ainsi une ligne de seconds membres. Une catégorie de types de G ayant même G|Aest précédée d'un chiffre romain. J'ai conservé pour les exposants les notations employées au cours de la détermination des types.
Li:s (;r,()i:i>i:s d'oudre /;".
FiGUBE («1)(1)(11). — 5>1. — Central : \a,b\
aP' bP cP dP eP d~^cd e-'ce e-^ de
caP'"'
de
types,
caP-'
de
caP'~^
de
cb
de
cb
de
cb
de
èP'
cb
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de
caP"
cb
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(lO) .
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cb
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cb
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caP"
cb
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ca^-'
ea^-'
de
1 rt^—
ea^'-'
ea^'-'
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ca-'-'
de
ea^-'
de
cb
cb
de
cb
eb
eb
de
eb
eb
de
2 types,
1 type,
2 types, 2 »
1 type,
Figure (5)(,v)(li:
«>1. — Central { a I.
