I. V Hs p ^ (T ES o, — (3 ^ y s v' ^ o

Une forme d'équations commune à tous les types de G sera donc

aP=bi' — i, ci'=a-^-'', di'=b^at, e>'~ c^^' b^'a^-; fi'—b^'a^',

c ' bc — d'''bd—b, e • be = ba', /-' 6/= Z<rt''',

d-'^cd—ca-", e-Ue = ca'', f-^cf=cb, e'de — db^a"^, /-'d/=dc, f"'e/=ed.

Si l'on pose

fe-d'cyb'^g, /^'e"'d'cyb^'=g', g' g ^^f' e^' d^^' c'' b^a^ ,

on trouve

■ =:/^.ve' '-rf'-c^- /*^- a"',

HGL'RE (l)(l)(l)(l)(ll).

puis, par récurrence.

V.„r=»T, \]^ = wu, Z.^ = (V5 + Kri',"-'f, Y,^=iiv'-l':[-^l[t+\u[^]+zi'\l'l't-i-wy,

X,v=oi'2'J-'

V' « ( , I + (T<<M j + y' j I j + Tc« -1- 9VJ ( ) ~ '"' "'"' "*" ^''y

-H 9y«l' ( " ) + ff-"t' + V"' + ^"' '' + '-"'^ ( '-i ) I ^'' ' ^1 '

+ I 2 V «2 (• ( ' j + ov «•' f + ■/ o«^ (•- 1 2',""' i', 2', ,

Vili-S V( V( / , ,,,,3 \M-4 V( V Vî / ■"1 — (-.[t-t-"* —1 — 1— 1— l'-

+ v Ji'-t- v;«('^4- 2v «l'-

Or on trouve par récurrence

V;' '( " ] = ^ Un'{iV — l)[u-tv{w — l) -i- 2ll{2tV — 1) +4],

«(v((»' — I ) [ll{ 2(\' — 1 ) — 3],

r. !tv(n'— 1) [(!>• + l)((r' 4-1 ) — l0(3lV-H- 7 W'+ 7)],

'{w — l)(l2«'i'^(ii''-h n'-4- il' -)- l) -H 3o{4 J — "^t'^— 2)

+ io(2w — i) [(2- — i)'— 2«i' — 5(/'i'^J + i5«i'ir(tv — i) (4; — ô'n' — a))-

l48 l.ES GROUPES I/OUDIU; //'.

Si l'on tient compte des expressions connues des autres sommes et si l'on pose gP = érU^rci'f, on a

4- £' — r«^' 4- (; + «) (r — r-) H-/c^+ (/c ( 1 — y[/cc(i — (') + -''+/] + £"«i'M.« + 2v;<).

On voit que le changement de générateurs le plus général conservant la forme des équations de G est de la forme

e^— /"€"(]= cyb"" ce, fi—f'''e'''d-cy'b-^'a'", iiv' — 17/^0;

on trouve d'abord les relations de condition

l~m''\ r:=uv'\ Z,"=iiv', r=o, i' {11 ~ z) = i' {iiv — i; ), B;,= 9'«i/\

/( = v'r/ ( I + ■j'çr'+ trft II' -\- v//'(r,'r H- ç) — vr/ j', o(«^i''— i) = o,

H-,^.'' r=x;-x', /i"sH;-H'.

Ces conditions étant vérifiées et tous les exposants étant supposés <p, il en résulte pour les exposants des équations de G une transformation (T) définie par

>^v, = v»-(''-^, -/v'j = ?/(''•* (v(/' 4- v'c'), Z<7i= Il i>'^ (17 II — V5) H- vi'//,

X"i;^ 7/^^c'-h o«i'' ( ^ ) + trn" Il + v;"« — vr/' : -+- yjin>',

s'{y,~iiy) = o, E'h + y;^,~iiv'y, ypi+ e' {/i — h' ) 2iii A,„ yo[ -h d' h = A'^,.

Premieu cas : p > 5 .

Type I de G | | « | {Q — 0'^o — y — o, v = a :

•p, V ou V ^ o

47. Les équations de G seront, en sous-entendant, comme nous le ferons toujours, les équations communes à tous les types

ci' — d"7=zi, ci'—cfi, fi'—cfi', e-^bc — bd', f 'bf=bd'', d-'cd — ca^\

e^' ce = ccC, e ' de = t/a^,

et (T) prend la forme

;>^âi=«iî, -/ôj = ?<'ô 4- c'ô',

FIGURE (l)(l)(l)(l)(ll). l49

Siv est ^o, on peut faire v, = i , v', = o. Soit v, = v = i, v', = v'= o, on a

montrant les huit types

qui, pourrons: 3 mod 4, se réduisent à six, deux valeurs de o' dans la même parenthèse fournissant alors le môme type.

Si V eslEE^o, donc v"^o, on a nécessairement v,sho, et l'on peut faire Vj = i. Soit V, = V = o, v, = v' = I , on a

y = uv'^, v'^-Zt^zu, c''ôi = (5, ui'"' à[ = li 0 -Jr i'' à' ;

on voit donc que G a les types

les deux valeurs de S dans la même parenthèse fournissant le même type si p est ^i mod 4. et les trois valeurs de o' dans la même parenthèse fournissant le même type si/? est ^ I mod 3.

Type II de G\\a\ ( 5 = (ji' = o, o = i, y = o, p =: — v, a- = v + v', v ou v' ^ o). Les équations de G seront

ci'=zdi' = i, ei' = ar\ fi'—a', e^be—ba'', f ^ bf = ba''' , d ^cd=ca-^,

e - ' ce = ca''+"'', e ' de = ba'', ■

et (T) devient, en tenant compte des conditions

-/k'v, = V, y it'~j\^ ^jw>u'-hy', XT, EiST+ J(?< — i) H- (v4- v')r/'M + v{|"/r— /i";: + «"'7),

Siv est ^o, on peut faire v, = i, v'j = o; en supposant v, = v = r, v', =: v'=; o, on a

130 LES CROIJI'ES DORDIiKy^".

on peut toujours faire ':, = o (le coelTicicnt de jk étant 2U~') et l'on voit que les types sont

T=:o, Ô = O, (l, (', <^), è'zzio; T =: o, â = O, I , . . . ,

les trois valeurs de S dans la parenthèse fournissent les mêmes types si/>estïsE2 mod3. Si V est sEso, donc v'^o, on a nécessairement v,seeo et l'on peut faire v, = i; soit donc

v' = v'= I, on a

ir'zi^ T + |(m — i) + su~' + j(u^^ — i), 0, = diâ, d\ ^ ou' u' + ou',

on peut toujours faire T|= o et l'on voit, si o est eeeso, les types

les cinq valeurs de o' dans la parenthèse fournissent le même type s\ p est ^i mod 5; si â est ^ o, on peut toujours faire ^\ — o et l'on a les types

les trois valeurs de o dans la même parenthèse fournissent le même type si p est, ^ I mod 3.

jypc 111 de G I ! a { { 9 := œ := o, 5' :=: I , — y = — p ;r: 0- r= V j^ o, v' = O ).

Comme on peut prendre cC pour a, ou peut toujours supposer v = i et écrire les équations de G

ci'~\, di'—a, ei'^cfi, f'—ba''', e'^be — ba, f'^bf^b, d-^cd=zca-\

e~' ce = ca, e^' de =z dà^.

En tenant compte des conditions générales auxquelles il faut joindre y^^u'-v'^, u'e=o% (T) devient

•'-■. n'. = rî'i>'2.

T, = T(''-» H- r," ((''-' — :;i/) -h ç"t''-'-i-/, ôi= ;r'-|-dc-', Oj = a i''^;

le coefficient de j dans t, étant 2, on voit qu'il y a les trois types

FIGURE (l)(l)(l)(l)(ll). l5l

Types VI et Vil de (\\\a\ (0'—{i,i'-),{i,i'), 9 = o, o = i, v' = o, y = v9', -p = (7 = v^o).

Comme on peut prendre a" pour a, on peut toujours supposer v = i et écrire les équations de G

c''=J, cli'=za'^\ ei'^iV, /f'=b'^a'-'\ e~'be=ba, J-'bf—h, d-'cd = ca-\

e~'ce = ca, c ' de r= dbd}.

En tenant compte des conditions générales auxquelles il faut joindre -fj^u^v"^, m'eeeeo, (T) devient

T,s TM +i(/(« — i) + r;' u{u — 5) + ;■'«'+ r, 5, s — u^' z + oV, 5', = S'ii^;

le coefficient de j dans t, étant 2, on voit qu'il y a, pour chaque valeur de 0', trois types,

les deux valeurs de 0' dans la même parenthèse fournissent le même type si p est ^ I mod 4.

Deuxième cas : /; = 5.

48. Il n'y a, dans ce qui précède, à modifier pour chaque type de G | j a { que la transformation (T).

Type l de G | j a j.

La transformation (T) sera

Sfve,y/^o, on peut faire v, = i, v, = o; en supposant v, = v = i, v, = v'= o, donc y^EU-v'^, m'îe^o, les formules de (T) deviennent les mêmes que pour/) > 5 et ^^i mod/|.

Si y est '=0, donc v'^o, on a nécessairement v,seo et l'on peut faire v', = 1, soit donc v, = v'= I, donc y s^M, (T) devient :

En prenant 0 + p'' ^ o, on peut faire S, = o en disposant de «', on a donc les types :