INTRODUCTION
1. Un groupe d'ordre kp'" (p premier, /c premier à/;), contient toujours (') un groupe d'ordre//". Ce théorème met enévidence l'importance des groupes d'ordre yo'" (/> premier). Les groupes d'ordre p sont cycliques; les groupes d'ordre />'^ (nécessairement abéliens), p\p'' (^) et /j' (') ont été déterminés, ainsi que plusieurs types de groupes d'ordre p'" (m quelconque), par exemple ceux qui contiennent un groupe cyclique d'ordre /;'""' ('). Je me suis proposé de déterminer ici tous les groupes d'ordre // en même temps (|ue de nouveaux types de groupes d'ordre/?'".
Tout groupe d'ordre /?'" est résoluble C). On sait (") construire tous les groupes résolubles de degré donné, transitifs qui ne sont contenus dans aucun groupe résoluble transitif d'ordre plus grand et de même degré. Ici le problème est différent. Il s'agit de déterminer, non des groupes àe substitutions de</<?^/-^'donné, mais des ^//je* de groupes abstraits A' ordre. donné, -définis seulement par leurs e'^Ma/fo/if, c'est-à-dire par un ensemble quelconque de relations entre certains de leurs éléments, dits générateurs, équivalant à la Table de multiplication (') du groupe.
2. Pour la solution de ce problème, je me servirai principalement des théorèmes suivants.
(1) Sylow, m. a., l. V, \%-->; p- ■'>8'1-
(2) HiiLDKR, M. A., t. XLIII, 1893, p. 3oi; Voung, A. /., t. XV, tSgS, p. i3'2.
(3) Bagnera, a. D. m., %" série, t. I, 1898, p. iS;; t. II, 1899, p. 2O3. (*) BURNSIDE, Tlicory nf groups,x\" 65.
(5) SïLOW, loc. cit.
(') Jordan, Traité des substitutions.
(') Voir par exemple Blhnside, Tlieorr, p. 9.0. Cayi.ev, Phil. Mo^., t. Il, i8J4; A.J., t. I. P.
2 LES GROUPES D ORDRF, />".
Supposons (')que, dans les équations définissant un groupe G d'ordre fini, figurent deux séries de générateurs rt,, ..., a,^, 6,, ..., />,. et désignons d'une manière générale par X(a), X(6) des produits des a seuls ou des b seuls. Supposons en outre quêtes cqualions de (j aient la forme
Désignons par A le groupe défini par les équations A,(rt) = i et par B le groupe défini par les équations iij(b) = i.
I. On a chaque élément de G une fois et une seule fois dans la forme y.(a) j3( b), ''^(b) parcourant les éléments distincts de B, c'est-à-dire les produits que les équations \ij(^b) = i laissent distincts, et a(rt) parcourant les produits que les équations de G laissent distincts, c'est-à-dire les éléments distincts d'un groupe A' contenu dans G et défini par toutes les équations entre les a seuls qui résultent des équations de G. En sorte que V ordre de G est au plus égal au produit des ordres de A et de B et lui est égal toujours et seulement si G contient A.
II. Si G contient A et si Ton désigne par K^^(b) le complexe des éléments ^(a) '^(h)où '^(b) reste fixe, les complexes A [i(^) forment wi groupe engendré par les complexes Ab et défini au point de vue abstrait par Alij(b)^ A ou Bj(b);sii modA, c'est-à-dire isomorphe à B. On appelle ce groupe groupe quotient de G par A et l'on désigne par le symbole G | A. A tout diviseur B, de B correspond un diviseur A f de G contenant A et tel que A, | A soit isomorphe àB,.
III. Si B est cyclique, c'est-k-dire si les équations de G ont la forme
ki{a) = i, b"'=iX'(a), b-'a,b = A/{a),
pour que G contienne A il faut et il suffit que les équations
A,[A/(«)]:==i, A'-'(«)«/A'(a)=.A)"'H«), A'[A,(rO] - .V(a)
i^Afi^a") désignant b~^ailP) soient conséquences des seules équations A,(a) = J. Ces trois conditions seront dites respectivement conditions d'automorphisme ('-), de fermeture, de permutabilité , et en général conditions d'ordre, car elles expriment que l'ordre de G est rn fois celui de A.
IV ('). Un g^,"' (') Ga toujours des éléments normaux (c'est-à-dire permutables à tous
(') HiiLDER, M. A., t. XLIII, 1893, p. ioï. De Séglier, /. M., 5' série, l. VIII, 1902, p. 253.
(') X t\. X parcouranl les éléments d'un groupe G, on appelle automorpliisme de G toute subslitulion {x,fx) des élémeiils de G, telle que fxfj =fxy.
(') Sylow, loc. cit.
(*) Voici les principales notations dont je me servirai au cours de ce travail. J'écrirai un gjj pour un groupe d'ordre IN, p. p. c. m. pour un plus petit commun multiple, p. g. c. d. pour plus grand commun diviseur.
INTRODUCTION. 'i
les éléments de G) autres que l'unité et forment un groupe abélien appelé le central do G.
V('). Un gp» abélien G est toujours produit direct de groupes cycliques, c'est-à-dire produit de groupes cycliques n'ayant deux à deux aucun élément commun et tels que tout élément de l'un quelconque d'entre eux est permutable aux cléments de tous les autres. Les générateurs de ces groupes cycliques forment une base de G.
.'{. Je distinguerai d'abord les g^/« d'ordre déterminé par Xauv figure. Voici le sens de ce terme.
Soit A, = A le central de G. Le groupe quotient Gj A a de même un central A.] A,, A., étant 5G. Si Ao est ^G, G|A.j a un central A,, [A., A,, étant <G, et ainsi de suite. Si G I Ap,, est abélien, on a A^, = G. Considérons alors la série
Ai,:=i, A| = A, A,, ..., A^...,, Aji^rG
dite série spéciale àe G, et désignons par A,|a,^ (f = i (/.;/,= i, ..., v,) une base du
groupe abélien A, | A,|.
Soit, pour simplifier l'écriture, «.y =ay. Si a,y est d'ordre yo" /. inodA,,, c'est-à-dire si la première puissance de a,y qui est dans A,, a pour exposant />V, on appelle 7?^w/'e du groupe abélien A,|A,, le symbole
(a,-,a,-,. . . a,-,,.) «,-, Ja,-,>. . .^ a/.,,.
q{ figure de G le symbole
Il est clair que la figure de G | A/, estJJ(a,, a,o ...a,,,) et que k,, {k = i, ..., u.) a
^our générateurs les a,y où i est <A. On sait que l'on a v^^n (-), et, si i est <^k, ^'■j^i^-kjA')' ^»c'^ q"*' soienty,-,7V
Si A, B. . . . désignent dos complexes d'éléments appartenant à un groupe G, j'appellerai p. p. c. m. de A, B, . . . et je désignerai par le symbole ■ A, B, . . . | le groupe que forment dans G tous les produits d'éléments appartenant à A, B, .... Le produit.r '/"' j;/, .r et/ étant deux éléments de G, est un commutateur, j'appellerai commutant el je désignerai par C le p. p. c. m. des commutateurs. Si G contient un groupe A, je désigneiai par le symbole (G, A) Viiidice de A dans G.
Lorsque le module d'une congrucnee serap, je le sous-entendrai toujours. .le désignerai par s l'unité pour/3 = ■'. et <) pour /) impair, par i' l'unité pour /> = 3 et o pour p ^ i, par e" l'unité pour p = 5 et o pour p /i &, par i une racine primitive de p, par N un nombre arbitraire non carré moi\p.
(') Frobenius et Stickki.bekoer, Cr., t. 80. 1879, p. 217.
(') YouNG, toc cit.
(') De SÉGiiEii. Klémeiits de la théorie def groupes abutrails, n° 94.
4 LES GROUPES D OHDRE />".
L'ordre (l'un groupe de figure ]^ (a,, a,, ...a/.,,) étant /j'", m =^a//., on obtiendra toutes
les figures possibles d'un groupe d'ordre />"' donné, en faisant prendre à a successivement
toutes les valeurs depuis i jusqu'à m — \, puis pour chaque valeur de a faisant prendre aux V, et aux a,y. tous les systèmes de valeurs compatibles avec les conditions
^uX^kj^i < /■■). «/li a/2 = - • -^ a<v.,
4. Supposons donnée la figure de G, on en déduit un système (S) de relations nécessaires entre les a,y . En effet, quels que soient i et j,, a^"''' est égal à un produit d'éléments de A,, ; et, comme A, j A,| est central de G | A/| , tout produit a,y' a^^' a,; rt^,j(i < ^- ) est égal à un produit d'éléments de A,,. Alors, en appliquant les théorèmes I et III, on voit que l'ordre de G sera/)'" toujours et seulement si les conditions d'automorphisme, fermeture, perinutabilité sont vérifiées dans l'adjonction de chacun des a,y au groupe défini par les équiitions de (S) où ne figurent que les précédents.
Ces conditions étant supposées remplies, G sera d'ordre/)'" et défini par (S). Pour que G soit bien de la figure donnée, il faut et il suffit que, quel que soit i, tout élément normal de G| A,, appartienne en vertu de (S) à A,| A,|. Cette condition sera dite condition de figure.
La remarque suivante permet de simplifier les calculs. Les é(iuations (S) de G|A s'obtiennent en remplaçant dans (S) tous les a^ par i. Supposons connus les divers
systèmes (Sp) définissant tous les types distincts de figure IT (a,, a,o .. .a,-.,,)- On peut
toujours supposer que les Aûr,y(t>> i) ont été choisis de manière que (S) soit l'un des systèmes (S' ). Le système (S) se compose alors :
i" Des équations obtenues en multipliant les seconds membres des équations de (S') par des produits quelconques des Œj, je les appellerai équations (I); ^
2" Des équations a;°'= i et des équations exprimant que chaque Uj est permutable ii tous les a,y, je les appellerai équations (II).
Les seuls exposants indéterminés sont ceux des a^ dans les équations (I). Les conditions d'ordre étant supposées vérifiées, comme Gj A est déjà de figure donnée, la condition de figure s'obtiendra en exprimant simplement que tout élément normal de G appartient à A, en vertu des équations (I).
En écrivant le système (S), je sous-entendiai ordinairement les équations (H).
Chaque type de G | A pour lequel les conditions d'ordre et de figure sont compatibles, conduit ainsi à une forme générale de (S) où les exposants dea^ restent indéterminés dans des limites fixées par les conditions d'ordre et de figure. Aux diverses déterminations du système (S) des exposants des Uj correspondent divers types de G, distincts ou non.
