INTRODUCTION

Deux types de G coiTespoiulant à deux types de G|A étant évidemment distincts, il ne reste à distinguer que les types correspondant à un même type de G | A.

Considérons un type déterminé de G correspondant à un système déterminé (2„) d'exposants. Prenons de nouveaux générateurs h,,i^{k = \ , .. ., [x\ 1,,= \, ...,v^) tels que les At^, b^/^ forment une base de A;t| Aa, quel que soit k, et que les équations de G| A ne changent pas. Soit (1^) le système des exposants des éciuations (S) transformées; pendant que le système des h parcourt tous les systèmes de générateurs satisfaisant aux deux conditions énoncées, (Z^) parcourt tous les systèmes (Z) correspondant au type donné de G.

Or les b s'expriment en fonction des a par des relations qui, en vertu de la première condition, auront nécessairement la forme

L'expression des deux conditions introduit entre les x un système de relations (C), et les exposants de (1^) s'expriment en fonction des a; et des exposants de (Sa) par un système de formules (T). La condition nécessaire et suffisante pour que (X^) et (S*) définissent le même type de G est que les formules (C) et (T) soient compatibles (').

La détermination des types revient en somme à chercher les invariants de la transformation définie par (C) et (T). J'ai rencontré par exemple dans les figures (n i) (ii i), (i i) (i 1 1 1), (i i)(i i)(i i) des expressions dont le caractère quadratique est invariant, et j'ai indiqué, pour les deux premières figures citées, la propriété du groupe à laquelle correspond cette invariance.

.). Au début de ce Travail j'ai donné l'expression la plus générale des générateurs basiques d'un g^» abélien en fonction des générateurs d'une base déterminée. Cette expression est utile pour la formation des conditions (C). J'ai cherché ensuite toutes les figures possibles des g^/, en supposant successivement que le central est d'ordre p'', p\ P',p- Dans les figures où certains des a,y sont >> i en peut les remplacer par des entiers arbitraires sans compliquer les calculs. J'ai déterminé ainsi tous les types des figures

(/■5)(i.), (rii)(ii), (/-OCiM),

(5)(u)(ri), (5)(i)(i)(.i), (*0(i)(ïO, (■'){-0(iO-

Certains types défigure {rs) (i i), (/i i)(i i) ont tous leurs diviseurs abéliens. La détermination des groupes ayant tous leurs diviseurs abéliens a déjà été faite (-). J'ai repris

( ' ) cf. De SÉguier, Eléments de la théorie des groupes iihstraùs, Cliap. IV.

(^j UiBNSiDE, Thcory, 11° 75; Miller el Moreno, Traiif. of tlic Ain. Matli. Soc., I. IV, igoj, p. 39S.

G LES GROUPES d'ordre //'.

cette question pour les groupes (Vov(]\o p'", ce qui m'a conduitàdéterminer certains types de figure (rs i) (' 0 ^^ incidemment à chercher l'expression la plus générale d'un système de générateurs quelconques d'un gyahélien en fonction de générateurs hasiques.

Certains types de figure (m) (i i t) ayant tous leurs gy"-^ ahéliens, je me suis proposé de déterminer tous les gy» métahéliens (') dont tous les gy"-= sont ahéliens; j'ai été amené ainsi a. étudier les figures (rs)(\ \ i), {rsi)(j i \), (rs) ('ii).

Tel est l'objet de la première Partier Dans une deuxième Partie, j'ai étudié les figures restantes des g,,».

Certaines de ces figures ont présenté quelque difficulté, à cause de la présence, dans le système (T) de congruences quadratiques. Aussi n'a-t-il pas toujours été possible, notamment dans la figure (i i)(i 1 1 1), de distinguer les types par une méthode purement arithmétique. Dans ce cas j'ai eu recours à des considérations théoriques pour simplifier d'avance autant que possible les équations de G, considérations qui m'ont d'ailleurs conduit à trouver une forme irréductible d'un nombre quelconque de variables, pour p = '2 ('-). On trouvera au contraire dans la figure (i i) (i i) (i i) un exemple d'une discussion purement arithmétique.

On trouvera, à la fin de ce travail, une liste des équations des groupes qui y ont ét(' déterminés.

6. J'ajouterai deux remarques indiquant le lien entre ce Travail et des travaux faits à d'autres points de vue.

[/ensemble des opérations consistant à remplacer les a,y par les b/,,^ dans les conditions indiquées (4) constitue un groupe, car l'inverse de chacune d'elles et le produit de deux quelconques d'entre elles appartiennent à cet ensemble. L'ordre de ce groupe est le nombre des systèmes de valeurs des x solutions de (C). Ce groupe est représentable en groupe de substitutions opérant sur les (2) et a chaque système d'intransitivité correspond un type distinct de G C).

Si, dans les formules (C), (T) on suppose

|)our

/, klji (/i^o).

ces formules déterminent alors le changement de générateurs le plus général conservant les équations de G|A^. L'opération consistant a remplacer les a,y par les h^i^[i,k'^ h) définit alors un automorphisme de G|Aa. Le nombre des systèmes de valeurs des 0-,^ .^/i {i, ^>- h) solutions des formules (C), (T) ainsi modifiées est l'ordre du groupe des automorpliismes de G | A^.

(') FiTrî, Trans. of ihe Am. Math. Soc. l. III, 1902, p. 33i.

C) cf. figure (11) (11 II), (i I i)(iii pour p = -2.