BBGQUEREL

objet soulevé puis abandonné à lui-même tombe-t-il ? *\ chacun est tenté de répondre : parce qu'il est attiré par la terre ". La physique moderne doit formuler autrement la réponse.

Le développement, dans le domaine de Télectromagnétisme, de la théorie des actions de proche en proche non instantanées a conduit à la théorie de Maxwell, vérifiée par Texpérience, et au principe de relativité restreint (voir chap. iv). Une conception semblable doit être admise pour la gravitation : l'attraction de la terre sur l'objet qui tombe est un effet indirect ; la propriété d'agir sur une masse matérielle ou sur un rayon lumineux appartient, en réalité, au champ de gravitation, c'est-à-dire à l' Espace- Temps qui ^se trouve modifié au voisinage de la matière ; ce n'est pas une action à distance, directe et instantanée, produite par un corps attirant.

T ÉGALITÉ DE LA MASSE PESANTE ET DE LA MASSE INERTE. — Le champ de gravitation possède une propriété extrêmement remaurquable qui n'appartient pas aux champs électrique et magnétique. Alors que dans un même champ électrique des charges différentes prennent des accélérations différentes, dans un champ de gravitation l'accélération acquise par un corps ne dépend ni de l'état physique, ni même de la nature du corps. Tous les corps, qu'ils soient lourds ou légers, tombent avec la même vitesse si les conditions initiales sont les mêmes. L'accélération est indépendante de la force qui s'exerce sur le corps (indépendante de son poids).

Ce fait, si familier, est extraordinaire.

Pour les ffubles vitesses, on a la loi du mouvement de Newton

force = masse inerte X accélération

c'est-à-dire que la masse inerte (masse au repos) est une constante propre au corps accéléré.

Si la force est le poids, on a

force = masse pesante X intensité du cKamp.

La masse pesante étant également une caractéristique du corps. t

On a donc :

,y, masse pesante >^^ • . •. ^ i i

accélération — , X mtensite du champ,

masse inerte

Puisque l'expérience prouve que, dans un même champ

de gravitation, 1 accélération est indépendante du corps, le

^ masse pesante , , ^ ,

rapport , est une constante pour tous les

msisse merte

corps et si l'oii choisit les unités de façon que ce rapport .soit égal à ], la masse pesante est égale à la masse inerte.

Il y a longtemps que la mécanique a enregistré ce résultat, mais personne ne l'avait interprété. L'interprétation est celle-ci : la même qualité de la matière se manifeste, selon les circonstances, soit comme inertie, soit comme pesanteur: en termes plus précis : LA FORCE DE GRAVL TATION EST UNE FORCE D'INERTIE.

Avec M. Einstein, imaginons une portion d'espace vide, si loin des étoiles et de toute matière qu'il n'y ait plus de champ de gravitation et que nous soyons dans le cas idéal où la loi galiléenne d'inertie est applicable. Il est alors possible, dans cette portion d'Univers, de choisir un système galiléen. Dans ce système supposons une chambre isolée a l'intérieur' de laquelle se trouve un observateur; pour cet

Komme il n*y a pas de pesanteur, pas de direction privilégiée.

Supposons maintenant que, par un câble fixé à un crochet au milieu de la toiture de la chambre, un être extérieur se mette à tirer avec une force constante. Pour un observateur immobile dans le système galiléen, la chambre va prendre un mouvement uniformément accéléré et sa vitesse croîtra d'une façon fantastique. Mais toute autre sera l'opinion de l'homme enfermé dans la chambre; l'accélération va projeter cet homme sur le plancher, pour lui il y aura un haut " et un " bas " comme dans une chambre sur la terre ; il constatera que tous les objets tombent avec une même accélération; sa première impression sera qu'il se trouve dans un champ de gravitation.

A la réflexion, il se demandera pourquoi il ne tombe pas en chute libre, ce qui ferait disparaître la pesanteur. Cherchant ce qui se passe, il découvrira le crochet et le câble tendu ; cette fois tout sera clair pour lui, il se dira : ma chambre est suspendue, au repos, dans un champ de gravitation.

Cet homme est-il dans Terreur ? nullement : il a parfaitement le droit de considérer sa chambre comme immobile, bien qu'elle soit accélérée relativement à l'espace galiléen. On voit que la possibilité de cette interprétation repose sur la propriété fondamenteJe d un champ de gravitation, de donner à tous les corps la même accélération, c'est-à-dire sur l'égalité de la masse pesante et de la masse inerte.

S*" LE BOULET DE JULES, VERNE. — Au lieu d'imaginer que la chambre de l'observateur est loin de toute matière, supposons-la» au contraire, en chute libre (sans rotation) dans le champ de gravitation d'un »stre« La

pesanteur y sera supprimée puisque tous les objets seront soumis à la même accélération que la chambre en tombant avec elle. Pour l'observateur de la chambre, il ny aura plus ni haut ni bas, et un mobile libre sera au repos ou animé d*un mouvement rectiligne et uniforme ; ce mobile se conformera à la loi de Galilée ; un système de référence lié à la chambre sera donc un système galiléen (bien que pour un observateur situé sur l'astre sur lequel tombe la chambre ce système soit accéléré) et l'homme de la chambre considérera rUnivers comme euclidien dans son voisinage.

Al" LE PRINCIPE D'ÉQUIVALENCE. — Ainsi, d'une part l'emploi d un système de référence en mouvement accéléré dans un Univers euclidien équivaut à créer un certain champ de gravitation dans lequel ce système pourra être considéré comme immobile ; d'autre part, l'emploi d'un système de référence lié à un corps en chute libre dans un champ de gravitation revient à supprimer ce champ. En tout point d'espace il est donc impossible de se prononcer entre les deux hypothèses suivantes : 1 ** il existe un état de mouvement accéléré sans champ de gravitation ; 2** le système est au repos mais il y règne un champ de gravitation s'exerçant sur toute portion d'énergie.

En un mot il est impossible de distinguer un champ de force d'inertie dû à un état de mouvement et un champ de gravitation. Il y a équivalence, selon l'expression d'Einstein, qui appelle champ de gravitation tout champ de force, que ce champ soit dû à un état de mouvement du système de référence ou au voisinage de masses matérielles.

L'univers réel n'est pas euclidien. — Pour un

observateur en chute libre, dans un boulet de Jules Verne, le champ de gravitation n'est supprimé que localernent,

C'est seulement dans une région peu étendue (théoriquement infiniment petite) que l'Univers est euclidien pour cet observateur. Le champ de gravitation subsiste à distance, parce que l'intensité de la pesanteur n'est constante ni en grandeur ni en direction; en supprimant le champ en un point, on l'accentue ailleurs : par exemple, relativement à un observateur qui tomberait en chute libre sur la Terre, le champ de la pesanteur serait doublé dans la région sjrmétrique par rapport au centre de la Terre.

Dans la nature, aucun champ de gravitation n'est uniforme ; aucun système de référence ne peut annuler un champ de gravitation dans toute son étendue. Il est impossible de trouver un système de référence dans lequel la lumière ait une propagation rigoureusement isotrope, dans lequel la loi d'inertie de Galilée puisse être rigoureusement appliquée. En un mot le système galiléen est théoriquement imaginable, et l'esprit le conçoit aisément parce que c'est le système le plus simple — de même que la géométrie euclidienne est la plus intuitive — mais ce n'est qu'une fiction et YUnioers réel, envisagé dans son ensemble, n*est pas euclidien.

La généralisation du principe de relativité.

— Puisque nos postulats fondamentaux ne sont pas rigoureusement vrais dans l'Univers réel, faut-il donc considérer le principe de relativité comme une abstraction en dehors des réalités? Doit-on renoncer à cette admirable synthèse et considérer l'invariance des lois de la nature comme une simple approximation ? Faut-il penser que cette invariance ne serait exacte qu'à la limite, dans un Univers euclidien et en n'envisageant que des systèmes de référence galiléens ?

Doit-on, au contraire, étendre le principe de relativité au cas de l'Univers réel et de système de référence absolument arbitraires ?

M. Einstein n'a peis hésité» Il a érigé en principe l'affirmation suivante :

Tous les systèmes de référence sont équivalents pour formuler les lois de la nature: ces lois sont covariantes** vis-è'Vis de transformdiions de coordonnées arbitraires.

Cette généralisation s'impose. En effet toutes les lois de notre science sont basées sur la constatation de coïncidences absolues dans l'Univers. Dans le langage de la relativité, ces coïncidences sont des intersections de lignes d'Univers, absolues et par suite indépendantes de tout système de coordonnées. Il est donc certain que les lois de la nature doivent pouvoir s'exprimer sous une forme intrinsèque, une forme qui reste la même quel que soit le système de référence, quelles que soient les coordonnées choisies pour repérer les événements.

Il fallait néanmoins une certaine audace pour généraliser ainsi le principe de relativité, car les observations les plus familières semblent contredire cette généralisation. Par exemple : dans un véhicule, un voyageur a été jeté à terre par suite d'un coup de frein trop brusque ; il paraît difficile de persuader à ce voyageur que les lois des phénomènes sont les mêmes dans un système de translation uniforme et dans un système accéléré. Voici l'explication : dans tout système de référence règne un champ de force, un champ de gravitation (au sens généralisé d'Einstein) ; les grandeurs caractéristiques de ce champ interviennent dans l'expression des lois ; c'est lui qui se manifeste par les

1 . Cela signifie que si ces lois sont données dans un système de référence, elles «ont données ei| n^êm^ temps dam tçut autre système, qvel qu'il soit

effets mécaniques de l'accélération. Dans le cas idéal du système galiléen, ce champ est nul: cest précisément r annulation du champ de force, qui se traduit par la loi d'inertie de Galilée et qui caractérise le système galiléen ; les lois générales doivent alors prendre, dans ce cas particulier, une forme simplifiée, disons plus exactement une forme dégénérée. Par exemple, les équations de Maxwell sont la forme dégénérée d'équations générsJes (auxquelles M. Einstein a pu remonter) où intervient le champ de gravitation: fait remarquable, les lois de l'électromagnétisme sous leur forme la plus générale sont d'une extrême simplicité; elles apparaissent à l'esprit comme plus claires que les lois de Maxwell (appendice, note 1 4). C'est sous la forme dégénérée que ces lois ont été établies expérimentalement, parce que sur la terre le champ de gravitation (pesanteur et force centrifuge) est trop faible pour que son influence sur les phénomènes électromagnétiques ait pu être constatée. Les lois de Maxwell et les formules de Lorentz (qui sont la conséquence de ces lois) doivent être rigoureuses dans un Univers euclidien, et si l'on prend des coordonnées galiléennes : on voit par là que la théorie de la relativité restreinte reste intacte, mais elle correspond à un cas idéal : celui où le champ de gravitation serait nul.

En résumé les équations qui expriment les lois physiques doivent pouvoir être écrites de manière à conserver la même forme dans un champ de gravitation quelconque cest-^i-dire quand on change d'une manière arbitraire le système de référence.

Cette condition de covariance limite considérablement les formes possibles pour les lois de la nature.

Le temps et les longueurs dans un champ de

GRAVITATION. — Dans un Univers de Minkowski, imaginons un système galiléen S, puis prenons un second système S formé par un disque plan dont le mouvement, par rapport à S, est une rotation autour d*un axe normal au plan du disque, passant par le centre de ce disque, et fixe dans le système S. Un observateur situé excentriquement sur le disque éprouve l'effet d'une force agissant radialement vers l'extérieur; cette force est interprétée par un observateur immobile par rapport au système S comme un effet d'inertie (force centrifuge), mais l'observateur entraîné avec S peut considérer son disque comme immobile et attribuer la force à un certain champ de gravitation. Ce champ possède^ d'ailleurs une structure fort différente de celle du champ qui s'exerce au voisinage d'une masse attirante, mais en vertu du principe d'équivalence nous l'appelons 'quand même champ de gravitation ou, si l'on veut, champ de gravitation géométrique.

Supposons que l'observateur de S prenne deux horloges identiques marquant toujours la même heure tant qu'on les laisse au même point ; il place l'une au centre du disque et l'autre à une distance r du centre ; ces horloges ne vont paç rester synchrones, Ejcaminons-les, en effet, du

système galiléen S» de façon à appliquer les résultats de la relativité restreinte; celle qui est au centre est immobile* l'autre est en mouvement: le temps propre de cette dernière lest donc plus court que le temps du système galiléen, qui est le temps au centre. Si, au bout de quelque temps, on ramène au centre du disque Thorloge qui a séjourné à la distemce r, on constate qu'elle retarde sur celle du centre. Comme à chaque distance au centre correspond un temps propre, il n'y a aucune synchronisation possible pour les horloges du système S ; on ne peut pas définir un temps valable pour le disque tout entier, c'est-à-dire mesurable par des horloges immobiles par rapport a ce disque.

La même difficulté se présente pour les coordonnées d'espace. Imaginons qu'en appliquant sur la périphérie du disque une règle très courte prise pour unité de longueur, on marque deux points A, B et que le rayon soit mesuré avec la même règle unité. Pour un observateur placé au centre du disque (immobile et par conséquent appartenant au système galiléen) le rayon du disque n'est pas changé par la rotation, mais la longueur AB qui est parallèle à la vitesse est plus courte que si le disque ne tournait pas (contraction des longueurs) ; l'observateur est donc conduit à considérer la circonférence, qui contient un nombre déterminé de fois la longueur AB, comme plus courte, et il trouve que le rapport de la circonférence au .diamètre est inférieur au nombre t^, La géométrie de ce disque n'est plus euclidienne.

Cet exemple fait comprendre que, d'une façon générale, dans un champ de gravitation géométrique (dû à un état de mouvement accéléré) on ne peut plus définir les coordonnées habituelles d'espace et de temps. En vertu du principe d'équivalence il en est de même dans un champ

de gravitation permanent (dû au voisinaige de matière) c'est-à-dire dans un univers non euclidien. Dans un univers non euclidien, il n'y a plus de coordonnées galiléennes, car la possibilité de choisir de telles coordonnées est caractéristique d'un univers euclidien.

En présence de cette difficulté, M. Einstein a résolu la question par une admirable extension de la théorie des surfaces de Gauss.

Les surfaces et les coordonnées de Gauss. —

Tout au début du chapitre I nous avons, pour définir ce qu'on entend par système de coordonnées, envisagé une surface plane. Supposons maintenant une surface courbe qui ne soit pas développable sur un plan, par exemple la surface de la terre que pour simplifier nous supposerons rigoureusement sphérique ; si l'on s'interdit d'aller d'un point à l'autre de la surface en quittant celle-ci, c'est-à-dire si l'on ne considère que les points situés sur la surface même, celle-ci constitue, comme le plan, une multiplicité à deux dimensions — deux coordonnées, la longitude et la latitude définissent la position d'un lieu sur la terre — mais la géométrie de cette surface n'est plus la géométrie d'Euclide : il n'y a plus de lignes droites sur la sphère, et la plus courte distance d'un point à un autre est un arc de grand cercle; on ne peut plus se servir de coordonnées cartésiennes rectangulaires.

On voit que pour repérer les événements dans l'Univers réel, non euclidien, oii il n'y a plus de coordonnées rigoureusement galiléennes, nous nous trouvons, avec quatre dimensions au lieu de deux, dans la même situation que le géomètre qui veut repérer les points sur une surface courbe sans sortir de cette surface.

Gauss a montré qu'il est possible d'énoncer les lois de la géométrie d'une surface courbe quelconque (sphère, ellipsoïde, etc.) sous une forme indépendante du système de coordonnées. On comprend qu'en ajoutant deux dimensions on pourra, par une généralisation de cette théorie, énoncer les lois de l'Univers non euclidien à quatre dimensions.

Gauss est parti de l'idée qu'il doit être possible, par des opérations de géodésie sur la surface, de mettre en évidence la courbure de celle-ci en faisant simplement des opérations locales d'arpentage, par les procédés habituels de la géométrie euclidienne du plan. En effet, en tout point d'une surface, il existe un plan tangent et dans uneétendue limitée la surface peut être confondue avec son plan tangent : ceci est d'autant plus exact que l'étendue envisagée autour du point est plus petite, et devient rigoureux à la limite, pour une étendue infiniment petite.

Traçons sur la surface une famille de courbes arbitraires Xi (fig. 1 2) ; désignons chacune de ces courbes par un

chiffre et figurons les courbes jci = 1 , ATi = 2... entre deux de ces courbes, on peut imaginer une infinité de courbes représentant tous les nombres compris entre les deux nombres entiers qui dé- ' si^^nent les deux courbes envisagées.

Ces courbe? sont çeulepient assujetties à la condition de ne

Fie. 12.

pas «e couper, de façon qu'il ne passe qu'une des courbes xi par chaque point; de la sorte, à chaque point de la surface correspond une coordonnée xi bien déterminée.

Traçons de, même une seconde famille de courbes ar2, les courbes X2 coupant les courbes xi. Chaque point delà surface est maintenant entièrement défini par les valeurs de ses deux coordonnées xi et X2.

Deux points P et P infiniment voisins ont pour coordonnées respectives jci et X2, JCi + c/xi, X2-\-dx2. Les coordonnées de Gauss reviennent, en somme, à un numérotage, à la coordination de deux nombres, faite de manière que deux points infiniment voisins soient représentés par des nombres infiniment peu différents.

Dans une étendue infiniment petite autour d'un point P, nous confondons la surface avec son plan tangent et les courbes avec les lignes droites qui leur sont tangentes (fig. 13); nous sommes ainsi ramenés, en chaque point, à un système de coordonnées rectilignes mais obliques ; une formule bien connue de la géométrie euclidienne donne la distance dl du

point de coordonnées xi, X2 au point infiniment voisin de coordonnées xi + c/xi, Jf2 + c/x2

dl^ = gndx] + gi2dxidx2-+' gzidxidxi + g22dxl

ou (17) dP = giidxi'+-2gi2dxidx2-h g22dxl

Fie. 15.

parce que g2i — ^12.

Si Ton s'est donné les courbes xi et les courbes xa. on peut, en chaque point P, de coordonnées xi et X2, mesurer avec une règle les distances (pl) (pi) (PO qui séparent

le point P de trois points extrêmement voi-

Ti* sins de lui P, P', F (fig. 14) et corres-

. pondant à des valeurs connues des différences

p f-* P de coordonnées (^JCi) , (^^2) , etc.. ; toutes

\ ces grandeurs étant extrêmement petites

^ nous pouvons pratiquement les considérer

Fie. 14. comme infiniment petites, c'est-à-dire écrire

(S/)' = (dl) , etc.. et appliquer, pour les

trois distances, la formule (17). Nous avons donc trois

équations permettant de calculer gn, gi2, ^22 qui sont ainsi

obtenus par des mesures ordinaires d'arpentage.

Conformément à la géométrie euclidienne ordinaire, les g sont bien déterminés en chaque point ; ils sont indépendants des points P , P'', P' choisis pour les mesures d'arpentage. Mais, d*un point P à un autre, les g sont variables ; ce sont des fonctions des coordonnées xi et Xi, (c'est-à-dire des grandeurs qui dépendent des valeurs de Xi et X2). C'est seulement dans le cas d'une surface euclidienne qu'on peut trouver des lignes xi et X2 telles qu'on ait

(18) dP = dx\+dxl

c'est-à-dire gii = ^22 = 1 , gia =

en tout point. C'est ainsi que dans le plan, on peut prendre pour Xi et X2 des droites rectangulaires, c'est-à-dire employer des coordonnées cartésiennes rectangulaires [chap. I, équation (I)]. L'équation (18) est caractéristique d'une surface euclidienne^

Dans le cas général, les g étant en chaque point des fonctions de Xi et JC2, l'arpentage permet de calculer les

g et de déterminer comment ils varient en fonction des coordonnées. Gauss a montré que la géométrie d'une surface est entièrement déterminée quand on connaît ces fonctions et que les lois de cette géométrie s'expriment d'une façon indépendante des coordonnées.

Il est évident que la distance dl de deux points déterminés, infiniment voisins l'un de l'autre, est un invariant, c'est-à-dire a une valeur indépendante du système de coordonnées,* puisque cette distance peut être assimilée à un élément de ligne droite dans le plan tangent. Considérons maintenant deux points Pi et P2 et une ligne courbe quelconque tracée sur la surface entre ces points : la longueur de l'arc de courbe entre Pi et P2 est (comme nous l'avons dit p. 54) l'intégrale

dl; l'arc de courbe élémentaire dl, assimilé en chaque

point de la courbe à un élément de droite dans le plain tangent en ce point, est donné par la formule (17); il a une valeur indépend£uite des coordonnées choisies: l'intégrale, c'est-à-dire la longueur de l'arc de courbe est, par suite, un invariant pour toute transformation de coordonnées. Sur toute surface, il existe des lignes de plus courte distance qu'on nomme les géodésiques (sur le plan ce sont les droites, sur la surface d'une sphère ce sont les grands cercles, etc.). Si l'on exprime mathématiquement qu'une ligne jouit de la propriété d'être la plus courte entré deux

quelconques de ses points, c'est-à-dire que l'intégrale I dl

(ou maintenant l'en ne spécifie plus les deux points Pi et P2) est minimum, on obtient une équation qui est l'équation générale des géodésiques. Dans un changement du système de coordonnées, l'équation des géodésiques reste la même, à condition, bien entendu, que les g aient les nou-

velle« valeurs g correspondant aux nouvelles coordonnées jci et xji. Les propriétés des géodésiques sont exprimées sous une forme indépendante du système de coordonnées; il devait bien en être ainsi car la propriété de longueur minimum qui les caractérise est absolue ; elle est évidemment indépendante du fait qu*il plait au géomètre d'adopter telle ou telle décomposition de la surface en mailles à deux dimensions.

On peut aller plus loin et caractériser l'individualité de la surface en chaque point ; il existe, en effet, un élément qui s'exprime au moyen des g et de ce qu'on nomme en mathématiques leurs dérivés premières et secondes. Cet élément est invariant^ c'est4i-dire a une valeur numérique indépendante du système de référence employé ; c est la courbure totale

Ri et R2 étant deux rayons de courbure qu'on appelle les rayons de courbure principaux.

Pour un plan. Ri et R2 sont infinis et la courbure totale est nulle en tout point. Pour un cylindre, l'un des deux rayons de courbure est infini (à cause des génératrices rectilignes) et l'on a encore R = 0.

Si l'on suppose R constant et négatif on a les lois de la géométrie de Lobatchefski.

Si R est constant et positif, on a la géométrie de Riemann, applicable à la surface d'une sphère.

Extension de la théorie de Gauss. — Dans

l'Univers réel, nous ne pouvons plus employer des coordonnées galiléennes; puisque nous ne pouvons plus défi-

hir les coordonnées habituelles d'espace et de temps» de même qu'en géométrie des surfaces courbes» . il n y a plus de coordonnées cartésiennes rectangulaires.

En géométrie, on décompose une surface courbe en mailles bidimensionnelles» avec des coordonnées xi« X2 arbitraires. De même l'Univers peut être décomposé en cellules quadridimensionnelles, avec quatre coordonnées arbitraires xu xu X3, xi,. Dans le cas général, il n'y a plus ni longueurs ni temps; xi, X2, xs, jr4 sont quatre * coordonnées d'Univers ". La méthode est calquée sur celle de Gauss, avec deux dimensions de plus. Au lieu de deux familles de courbes xi et X2, on a quatre familles d* ** espaces " (non euclidiens) tridimensionnels xixzxs X1X2X4, XiX3X4, XiXzXk ; en chaque point d'Univers, ou événement, se coupent quatre espaces.

Il ne faudrait pas croire qu'une pareille coordination n*ait pas de sens, les coordonnées ne signifiant plus rien au point de vue des longueurs et du temps. Nous avons en effet insisté sur le fait, qui est la base même de la généralisation du principe de relativité, que les réalités physiques correspondent aux rencontres de lignes d'Univers de portions de matière ou d'énergie. Ces rencontres s'expriment par des valeurs communes des coordonnées, quel que soit le choix de ses coordonnées ; tous les systèmes sont donc également bons pour exprimer les lois de la nature, et la description de l'Univers peut se faire en coordonnées arbitraires, tout comme la géométrie des surfaces ; peu importe que ces coordonnées ne soient ni des longueurs ni des temps. Le principe de relativité généralisé peut maintenant s'énoncer : Tous les systèmes de Gauss (généralises) sont équioalents pour formuler les lois de la nature.

Tient-on cependant à conserver les notions d'espace et