SURFACE COURBE, NON EUCLIDIENNE

Deux dimeosions. Décomposition en maiOes bidimensionnelles arbitraires.

Dans une étendue infiniment petite autour de chaque point, la surface pçut être remplacée par son plan tangent.

Dans le plan tangent, la géométrie euclidienne du plan est applicable, par suite :

La distance élémentaire dl de deux points infiniment voisins ne dépend pas du système de coordonnées (est un invariant).

Cette distance s'exprime par la formule:

<iP = g\ idx\ H- gitdxidxi

avec

gtx — git

de sorte que les quatre g se réduisent à trois.

La géométrie euclidienne est caracté* risée par le lait qu'on peut trouver des systèmes de coordonnées dans lesquels les g ont les valeurs constantes

gil = git ^-= 1» git ==

en tout point.

(coordonnées cartésiennes rectangulaires).

Il existe des lignes de plus courte distance (telles que fdl soit minimum) appelées géodésiquca.

La courbure totale s'exprime en loQctioa des g et de leurs dérivées premières et secondes.; cette courbure est <in invariant.