UNIVERS NON EUCLIDIEN
Quatre dimensions. Décomposition en cellules quadridimcnsionnelles arbitraires. ^
Dans un domaine quadridimensionnel infiniment petit autour de chaque pointévénement. l'Univers peut être remplacé par son Univers euclidien tangent, qui est un Univers de Minkowski.
Cet Univers tangent est (dans une étendue suffisamment petite) l'Univers de tout observateur en chute libre, rapportant les événements à un système de référence qui lui est lié.
Dans r Univers euclidien tangent, la relativité restreinte est applicable, par suite :
L'intervalle élémentaire ds entre deux événements infiniment voisins ne dépend pas du système de coordonnées (est un invariant).
Cet intervalle s'exprime par la formule :
ds* = gi 1 dxf + gtidxi dxi
-+• g\zdxidxz H- . . . -f- gxidxl
avec g^^ = ^v|A
de sorte que les seize g se réduisent à dix.
La relativité restreinte (Univers euclidien) est caractérisés par le fait qu'on peut trouver des systèmes de coordonnéss dans lesquels les g ont les valeurs constantes
^1 \ "^ git ^^ ^33 ^ 1 1 gi% = I
g,^^, = 0, si v-^ (:*, V = r, 2, 3, 4)
en tout événement, (coordonnées galiléennes).
Il existe des lignes d'Univers de plus grande longueur (telles que fds soit maximum) appelées géodésiaues.
Il existe un invariant qui s exprime en fonction des g et de leurs dérivées premières et secondes. On l'appelle courbure totale d'Univers en chaque point»
événement.
Une différence se remarque entre les propriétés géométriques d'une surface et celles de l'Univers. Dans le cas d'une surface, Jr, qui est le carré d'une longueur, est une quantité toujours positive ; dans le cas de l'Univers, ds peut être positif ou négatif ; si ds est positif, l'intervalle ds représente un temps multiplié par c; sids est négatif, l'intervalle représente une longueur dans l'espace. Sur une surface euclidienne dl est la somme de deux carrés (dl^ = dxi + dxi ) ; dans l'Univers euclidien de Minkowski, ds s'exprime au moyen de quatre carrés (ds = — dxi^ — dx2 — dxti" + dxi, avec dxi^ = cdt) mais les carrés des trois composantes d'espace sont précédés du signe — , alors que le carré de la composante de temps a le signe + : cette différence de signe est, suivant l'expression de M. Eddington, " le secret des différences que présentent les manifestations de l'espace et du temps dans la Nature ".
Lorsque ds représente l'arc de courbe élémentaire (c'està-dire infiniment petit) d'une ligne d'Univers, ds est toujours positif (deux événements infiniment voisins sur une ligne d'Univers forment un couple dans le temps; voir p. 51) et ds est le temps propre élémentaire multiplié par c ; ce n'est pas une distance spatiale. La propriété de maximum des géodésiques d'Univers (au lieu de minimum comme en géométrie) est la conséquence de ce fait.
Malgré cette différence l'analogie de propriétés, d'une part entre le plan et l'Univers de Minkowski, d'autre part entre une surface courbe et l'Univers réel, est telle que nous avons le droit de dire que l'Univers de Minkowski est eucii- . dien et que l'Univers réel est courbe.
