RU

Lç$ 256 équations représentées symboliquement par

LA LOI DE LA GRAVITATION (eINSTEIn) 107

cette formule se réduisent d'ailleurs à 20 équations distinctes.

Ce n*est pas la loi cherchée puisque TEspace-Teraps n'est pas euclidien dans son ensemble, mais la loi R{iiv9 = convient dans une région de l'espace située à Tinfîni de toute masse; il faut donc chercher une relation tensorielle plus générale, comportant la précédente comme cas particulier, c'est-à-dire qui se trouve satisfaite lorsque Rjav<t = 0.

Partant du tenseur Rj*/», à quatre indices (du quatrième ordre), on peut construire un tenseur du second ordre, c'està-dire à deux indices (seize composantes) en imposant la condition que les indices <J et p soient toujours les mêmes (opération qu'on nomme contraction) ; ce nouveau tenseur, que nous désignerons par Rj^v est le tenseur de Riemann- Christoffel contracté ; à l'aide de ce tenseur contracté, on peut enfin former un tenseur d'ordre nul (une seule composante) : or tout tenseur d'ordre nul est un invariant. L'invariant en question, R, se trouve être une généralisation de la courbure de Gauss (p. 96), on peut donc l'appeler courbure totale d* Univers.

La loi R = 0, c'est-à-dire l'annulation de la courbure totale en tout point-événement ne saurait convenir non plus, car c'est une loi trop générale, insuffisante pour déterminer un champ de gravitation.

On n'a donc pas le choix, car pour que R.xv<t = soit une solution particulière, il n'y a qu'une loi générale possible, l'annulation du tenseur contracté

(21) Rv = 0.

C'est la loi générale de la gravitation dans le vide (appendice, note 12).

Lç tenseur R{xv, étant symétrique (R. = R/jx) n'a que

dix composantes distinctes; l'annulation des composantes donne donc dix équations. Mais on constate que six seulement de ces équations sont indépendantes ; c'était à prévoir parce que dix équations indépendantes détermineraient les dix gjjiv dans l'expression du carré de l'intervalle Js*, et par conséquent spécifieraient non seulement la structure de l'Espace-Temps mais encore le système de coordonnées. Or ce système doit rester arbitraire ; il est quatre fois indéterminé puisqu'il y a quatre coordonnées ; il faut donc qu'il y ait entre les giL, quatre relations qui soient des identités (appendice, note 12).

En définitive la loi de la gravitation dans le vide comporte six conditions. C'est une restriction considérable imposée aux géométries de l'Univers.

LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATIÈRE. — Les équations résumées par R;*- = décrivent les propriétés les plus générales de la structure géométrique de l'Univers aux points oîi il n'y a ni matière ni énergie électromagnétique, c'est-à-dire dans ce que nous appelons le vide. Il reste à résoudre un problème fondamental : la matière subit l'action d'un champ de gravitation mais nous savons qu'elle est aussi la source d'un champ de gravitation ; c'est ce qu'il s'agit d'exprimer. En d'autres termes, il s'agit de déterminer la loi qui doit remplacer la loi d'attraction proportionnelle à la masse et inversement proportionnelle au carré de la distance, la vieille loi de Newrton que Poisson a traduite einalytiquement par une équation locale, c'est-à-dire par une équation valable en chaque point d'espace: dans cette équation intervient la densité de la matière au point considéré.

La densité en un point est le rapport de la masse contenue d^^ns un volume d'espace infiniment petit, à ce volume lui-

LA LOI DE LA CRAVITATIÔN (eINSTEIN) 109

même: c'est la masse par unité de volume. Or la masse, c'est l'énergie divisée par la constante c^, et nous avons vu (p. 72) que l'énergie est inséparable de la quantité de mouvement. Mais l'énergie et la quantité de mouvement ne suffisent pas, dans le cas général, pour constituer un tenseur : il faut y joindre des grandeurs qui expriment les courants de matière, en d'autres termes, les courant^ de quantité de. de mouvement. On forme ainsi un tenseur, le tenseur matériel ou tenseur impulsion-énergie que nous désignerons par Tjxv (seize composantes) dont dix seulement dont distinctes car il est symétrique. C'est ce tenseur qui doit remplacer la densité qui figurait seule dans l'ancienne théorie : signalons d'ailleurs que la composante Tu de ce tenseur est, dans tous les cas où la matière est animée de vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière, considérablement plus grande que les autres composantes, et serait précisément égale à la densité de la matière, si l'on pouvait employer des coordonnées rigoureusement galiléennes.

On démontre (voir une démonstration intuitive dans l'appendice, note 1 2) que, pour que la loi générale de conservation de l'impulsion-énergie et que la loi de la gravitation dans le vide R;av = soient satisfaites, il doit y avoir, à un facteur constant près, égalité entre le tenseur Ti^m et

le tenseur R^^v r-giAvR (R est l'invariant dont il a été

question plus haut, la courbure totale de Tespace-temps). On doit donc avoir en tout point

\JL1L) R|Av — ^[AvR ^= — y-TjAv

y- étant une constante universelle.

Cette loi peut encore se mettre sous la forme suivante

T étant un invariant qu'on construit à partir de T;av, et qu'on trouve égal à xpo, po étémt la densité au repos de la matière au point considéré, c'est-à-dire la densité qui serait mesurée par un observateur immobile par rapport à la j

matière .

Dans le vide T;iv et T sont nuls, puisqu'il n'y a pas de matière et l'on retrouve bien la loi dans le vide R|xv = 0.

LOI DE NEWTON. — Si. dans les dix équations représentées par (22) ou (23), obtenues en donneuit aux indices l^ et V les valeurs 1 , 2, 3, 4 (les seize équations se réduisent à dix parce que les tenseurs sont symétriques : R^v = Rv,t et Tixv = Tvjji) on néglige les quantités qui pratiquement sont très petites, on trouve, en première approximation mais non comme loi exacte, la loi de Newton, et la constante y* se trouve déterminée en fonction de la constante connue G qui intervient dans l'expression de l'ancienne loi.

LA DYNAMIQUE. — Nous avons dit que, dans le vide, les dix équations R;av = se réduisent à six conditions, à cause de quatre identités qui correspondent à la quadruple indétermination des coordonnées.

En tout point où il y a de la matière présente, les quatre mêmes identités sont encore vérifiées, car elles résultent de la définition mathématique du tenseur R,*-,. Comme, d'autre part, la loi de la gravitation exprimée par (22) ou (23) traduit une relation entre Ri^v et T.xv, les quatre identités se transforment en quatre équations entre les grandeurs qui

1 .^ La densité varie avec la vitesse, puisque la masse et le volume dépendent de la vitesse.

2. Les équations sont des relations entre des grandeurs inconnues et des srao'

La loi de la gravitation (einstein) 111

forment ie tenseur impulsion-énergie. Le degré d'indétermination des coordonnées, c'est-à-dire le nombre de dimensions de l'Univers impose donc à la matière un nombre égal de conditions qui doivent être nécessairement remplies. Il se trouve que ces quatre conditions constituent la loi fondamentale de conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie (voir appendice, note 12).

Si l'on demandait ** la loi d'Einstein est-elle bien d'accord avec les lois de la mécanique " il faudrait répondre : c est elle qui résume la dynamique tout entière. Cette loi contient, sous sa forme la plus générale, la loi de conservation de la quantité de mouvement, de l'énergie et de la masse ; on démontre (voir note 1 2) qu'elle contient la loi du mouvement du mobile libre (la ligne d'Univers du mobile libre est une géodésique) : c'est la loi de l'inertie car gravitation et inertie sont une seule et même chose, Hle contient toute la dynamique du point matériel.

deurs connues : ce sont des conditions imposées aux grandeurs inconnues, ces conditions, si elles sont suffisantes, déterminent les inconnues. Dans une identité, les deux membres expriment une seule et même chose et peuvent se ramener à une même expression ; autrement dit les termes d'une identité se détruisent deux à deux.