CHAPITRE X LA LOI DE LA GRAVITATION (EINSTEIN

Nature de la gravitation. — Les grandeurs si-k^

([x, V = 1 , 2, 3, 4) qui interviennent dans l'expression du carré de Tintervalle élémentaire et qui. dans le cas général, sont variables d'un point d'Univers à un% autre, sont lès grandeurs caractéristiques du champ de gravitation (au sens généralisé d'Einstein). Ce sont ces dix potentiels de gravitation qui doivent figurer dans l'expression des lois physiques pour conserver à celles-ci leur forme, quel que soit le système de référence.

Dans le cas particulier d'un Univers euclidien,- et si de plus les coordonnées sont gcJiléennes. les g^^ ont en tout point-événement les valeurs constantes :

^11=^22 = ^33= 1, gu=l,

g s*v = si [A est différent de v,

et le champ de gravitation disparait; c'est le cas étudié en relativité restreinte. Les formules de transformation des coordonnées galiléennes — de celles-là seulement — sont les formules de Lorentz.

Un champ de gravitation, au sens généralisé, comporte un certain arbitraire puisqu'on peut le modifier à volonté par le choix des coordonnées, dont les g,*v dépendent. Néanmoins il y a une chose indépendante de tout choix de coordonnées ; c'est la structure géométrique de l* Univers ;

à cette structure correspond un champ de gravitation permanent, connexe de la présence ou du voisinage de la matière, auquel se superpose un champ de gravitation géométrique introduit par le choix du système de référence.

Puisque, dans le voisinage de masses matérielles, tous les corps prennent la même accélération malgré leurs poids* différents, // faut porter son attention, non pas sur la prétendue force attractive '* qui est variable avec le corps, mais sur Vétat de mouvement, c est-à-dire sur la ligne d* Univers qui, étant la même pour tous les corps placés dans les mêmes conditions initiales, doit être une cstractéristique de l'Univers lui-même.

C'est bien une caractéristique de l'Univers car il est facile de démontrer que c'est une géodésique (voir tableau p. 99). Dans un Univers euclidien, et en coordonnées galiléennes, le mouvement d'un mobile abandonné à lui-même serait rectiligne et uniforme, la ligne d'Univers serait une droite d'Univers, ligne qui jouit de la propriété de longueur maximum (p. 57); toujours dans un Univers euclidien, remplaçons les coordonnées gcJiléennes par des coordonnées arbitraires, c'est-à-dire introduisons un champ de gravitation géométrique quelconque ; il est bien évident, puisque l'élément de ligne ds a une longueur indépendante du système de coordonnées, que la propriété de longueur maximum est conservée. Alors, le principe d'équivalence (p. 85) nous permet d'affirmer qu'il en est de même dans un champ de gravitation permanent, c'est-à-dire que dans l'Univers réel, non euclidien, la ligne d'Univers d'un mobile abandonné à lui-même est encore la ligne de longueur maximum, c'est-àdire celle des géodésiques qui est déterminée par les conditions initiales du mouvement ; c'est là l'énoncé le plus général de la loi d'inertie,

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On voit bien maintenant qu'il serait faux de dire : la force de gravitation est une force attractive; un corps abandonné à lui-même n'a pas un mouvement conforme à la loi d'inertie par ce qu'il subit une force appliquée. Cette ancienne conception est inexacte car un corps abandonné à lui-même est un mobile libre et se meut toujours suivant la loi d'inertie, mais cette loi n'est plus celle de- Galilée puisque dans un champ de gravitation permanent, c'est-àdire dans l'Univers non euclidien, il n'y a plus de système galiléen, plus de droites d'Univers.

La structure géométrique de l'Univers est liée à la présence de la matière et plus généralement de l'énergie. La courbure imposée par cette structure aux géodésiques, lignes d'Univers des mobiles libres, se traduit dans nos observations par un état de mouvement accéléré ; le champ de gravitation est un champ de force d'inertie, mais cette force nous a donné Villusion d*une force attractive appliquée, parce que, en fait, elle possède à nos yeux une telle apparence et que la loi de Newton, qui exprime cette prétendue force attractive, s'est trouvée être une excellente approximation dans la pratique.

Les tenseurs. — Dans la théorie de la gravitation, l'intervalle élémentaire dont le carré (voir tableau, p. 99), qui est une grandeur indépendante du système de coordonnées (jci, ;c2, X3, JCi), s'exprime par

c/s* = giidxi + giidxidxi + . . . + gtiJjfi

joue un rôle fondamental.

On est conduit, de plus, à envisager des êtres mathématiques appelés tenseurs (appendice, note 1 1 ). Un tendeur est un ensçmble de grandeurs de même natqre insç-

parables les unes des autres qui sont dites composantes du tenseur ", Le calcul diifférentiel absolu ", créé par Riemann et Christoffel, développé par MM. Ricci et Levi-Civita (antérieurement à la théorie de la relativité) donne les règles (voir appendice) qui permettent de définir les tenseurs et de calculer les composantes d'un tenseur dans un nouveau système de coordonnées lorsqu'on connaît ces composantes pour un premier système et que, bien entendu, la transformation de coordonnées qui relie les deux systèmes est donnée.

La propriété fondamentale des tenseurs est la suivante : quand toutes les composantes d'un tenseur sont nulles (ou sont respectivement égeJes aux composantes d'un autre tenseur) dans un système de coordonnées, dles sont encore toutes nulles (ou égales aux composantes de l'autre tenseur) dans tout autre système de coordonnées, arbitrairement choisi. C'est là une propriété qui donne une individualité propre à un ensemble de grandeurs possédant le caractère tensoriel.

Par suite, une loi formulée par Vannulation d*un tenseur (annulation de toutes ses composantes) ou formulée par légalité de deux tenseurs est indépendante de tout système de coordonnées.

Le principe de relativité exige que toutes les lois puissent être mises sous la forme tensorielle. Il en résulte immédiatement que la vieille loi de la gravitation, la loi de Newton, ne peut pas être rigoureuse, car on ne peut pas la mettre sous la forme requise.

La loi DE LA GRAVITATION. — La structure d'Univers, en présence d'une distribution donnée de matière, est absolue, car elle ne sam^ait être changée par le fait Qu'il

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plaît au mathématicien d'adopter tel ou tel système de coordonnées.

Par suite, lorsque les potentiels de gravitation g[A> changent avec le choix (arbitraire) du système de coordonnées, les valeurs de ces potentiels doivent rester compatibles avec une même structure d'Univers. C'est dire que les gjxv sont nécessairement assujettis à certaines liaisons.

Les équations les plus générales exprimant les liaisons qui doivent exister entre les dix potentiels de gravitation pour que ceux-ci, dans un changement arbitraire de coordonnées, se modifient en restant compatibles avec une même structure d'Univers (quelle que soit d'ailleurs celle-ci) doivent être, comme toutes les lois physiques, des relations tensorielles.

Ces relations constituent la loi de la gravitation.

Pour résoudre ce problème, M. Einstein n'a eu que les données suivantes :

I * A distance infinie de toute matière (ou de tout rayonnement) l'Espace-Temps doit être euclidien.

2" La loi de conservation de l'impulsion et de l'énergie sous sa forme (tensorielle) la plus générale doit être satisfaite.

II est remarquable que ces conditions aient suffi pour déterminer la loi.

LOI DE LA GRAVITATION DANS LE VIDE. — Le tenseur fondamental de l'espace-temps est formé par les gi^^ ;- il a pour composantes les seize gy^^

tenseur gi^^

gli

gi2

gn

mais ce tenseur est symétrique (^21 = gn, gn = gis, etc..) de sorte qu il n'y a que dix composantes pouvant prendre des valeurs différentes.

A partir de ce tenseur fondamental, on forme un autre tenseur, appelé tenseur de Riemann-Christoffeh dont les composantes ont une expression très compliquée (voir note II); nous désignerons ce tenseur par la notation abrégée ïVx.T ; les lettres l^., v, œ, p mises en indices désignent l'un quelconque des indices 1 , 2, 3, 4 ; ces mêmes indices [J-, v, 7, p figurent aussi parmi les indices des g et parmi ceux des coordonnées qui interviennent dans l'expression développée de R;xvff. Nous ne pouvons guère expliquer en langage ordinaire pourquoi p est écrit en haut alors que les trois autres indices sont écrits en bas ; disons seulement qu'il existe deux lois de transformation dès composantes tensorielles lorsqu'on change de coordonnées : la loi de contrevariance et la loi de covariance ; quand un indice est de caractère contrevariant, on l'écrit en haut, quand il est de caractère covariant on récrit en bas.

Comme dans le cas du tenseur g;Av, mais avec deux indices de plus, pour chaque valeur 1 , 2, 3. 4 des indices on a une composante du tenseur, de sorte qu'en donnant successivement à toutes les lettres Ps '', ^, P chacune des valeurs 1 , 2, 3, 4 et faisant toutes les combinaisons possibles, on obtient 256 composantes*

On démontre que V annulation de ce tenseur, c'est-a-dire 1 annulation de toutes ses composantes est la condition nécessaire et suffisante pour que V espace-temps soit euclidien,