BECQUEREL
IL — Dynamique de la relativité.
r LA MASSE EST FONCTION DE LA VITESSE.
— Dans un système S, un point matériel est supposé i en mouvement avec la vitesse v à l'instant /.
Introduisons un second système S animé de la vitesse v par rapport à S. Dans S , a l'instant considéré, le mobile a une vitesse . nulle ; pendant le temps infiniment court qui suit, nous pouvons dans le système S appliquer les équations de la dynamique classique puisque le mobile p£urt du repos dans ce système.
Soient mo la masse initiale ou masse au repos du point matériel; F^', F y', Fz', les composantes, mesurées par un observateur du système S , de la force que subit ce point ; nous avons
(10-10) mo^^=Fx\ rno-^ = Fy\ mo-^ = Fz.
ai dt ai
Pour avoir les équations de la dynamique dêms le système
S, il faut chercher comment se transforment -77^ > — 7^^? ji f , , , ^' ^'
q et Fx\ Fy\ Fz en fonction des mesures faites dans le
système S.
Adoptons la disposition d'axes habituelle, en prenant Ox et Ojc parallèles à v. Les formules de Lorentz permettent
de calculer —7^ • • • en fonction de v et de -— 7 • • •? dp j^ ^ d^
en tenant compte de ce que — - = i; à l'instant t considéré.
On trouve "'
("loin 4jLz=z~^^ ^ j/ 1 d y ^ d z \d z
Pour obtenir la transformation des F,', F^', Fz nous considérons le cas d'une force électrique ; supposons que dans • S règne un champ électrique X, Y, Z ; pour les observateurs de ce système, il s'exerce sur une particule de charge e une force
X, Fy = eY Fz — eZ.
Appliquons (10-3), en y faisant M — N = O, et remarquons que e est un invariant : nous obtenons
substituant dans (10-10) les valeurs de l'accélération (10-1 1) et de la force (10-12) il vient
mod X i^
«» de "
mod y j^ a dt ^^
mod z j2
« dt ^'-
Bien qu'établies dans le cas particulier de la force élce* trique ces équations s'appliquent à une force quelconque, car si une force mécanique (par exemple la tension d'un ressort) fait équilibre à l'action exercée par un champ électrique, c'est un fait sur lequel tous les observateurs doivent se trouver d'accord. Il est donc nécessaire que les composantes de la force mécanique se transforment comme celles de la force électrique.
On trouve ainsi une ma^se longitudinale —r et une
masse transversale — > la masse étant définie comme coeffident d'inertie. '^
Mais les équations (10-13) peuvent s'écrire:
d /modx dt\ a Ji
80U8 cette forme symétrique, la restriction due au choix particulier des axes est levée ; les équations sont absolument générales. ¥xdU ^ydt, Fzdt sont les composantes de l'impulsion dG ; on a donc, en intégrant et prenant la quantité de mouvement nulle au repos
THo
la masse définie comme capacité d'impulsion est
2° UINERTIE DE LInERGIE. — Multipliant les équations (10-14) par dx, dy, dz et ajoutant, on obtient
d{^A=d(,mâ)=¥.dx+ Fydy-hF^ = aW
JW étant l'énergie fournie au point matériel. On a donc
La variation de masse est proportionnelle à la variation d'énergie cinétique.
a) Masse de Vénergie rayonnante. ~ Considérons un train d ondes planes tombant normalement sur une surface noire S. L'énergie ^W absorbée pendant le temps ^t exerce
une pression p = — - (égale à la densité de l'énergie) ; elle communique au corps absorbant une impulsion
ÔG = pS>lt = ^-
L'énergie rayonnante W possède donc une quantité de mouvement G = — c'est-a-dire une masse (capacité d*im-
pulsion) — ^- On a la relation (10-16) avec une constante nulle. ^
h) Un corps qui rayonne éprouve une perte de masse
égale à la masse —^ de Vénergie rayonnée W. — Prenons
un cas simple : une lame plane normale a Ox rayonne par . ses deux faces, avec la même intensité, des ondes planes se propageant de part et d*autre normalement à son plan.
Dans un système de référence S par rapport auquel elle était immobile avant de rayonner, la source envoie, de part et d'autre, des quantités de mouvement électromagnétiques égales et opposées ; elle reste donc immobile.
Soit W une certaine quantité d'énergie rayonnée ( — de
chaque côté), mesurée par un observateur du système S.
Pour un second observateur S animé, par rapport à la source, d'une vitesse v parallèlement à Ox, l'énergie se transforme d'après (10-8) (où ? = et ? =^ t^).
Cet observateur mesure
W=JLW/,__y a 2 \ c
pour l'énergie envoyée dans la direction et le sens de v et
dans le sens opposé,
La quantité de mouvement qui s'est propagée, pour S , dans le sens de v est
( — v) est la vitesse de la source pour S . D'après la- con-
servation de la quantité de mouvement, 1-( — v) est la
a c quantité de mouvement perdue par la lame. Comme la vitesse n*a pas changé, cette variation provient d'une variation de masse de la lame
z pour l'observateur S
et -o pour l'observateur S immobile par rapport à la source, c"
La lame a donc éprouvé une perte Je masse au repos
- .> précisément égale à la masse de l'énergie rayonnée. c"
c) L'énergie potentielle totale d'un électron est égale à sa masse au repos multipliée par c . (M. Langevin). — Assimilons l'électron à une sphère de rayon a possédant une charge superficielle e.
L'énergie potentielle du champ électrostatique h est :
JV
^^ drSd^ = |-"
Soient ^ = - — i la densité superficielle de charge, p la
pression de Poincaré, nécessaire a admettre pour expliquer que la charge ne se dissipe pas. La pression p fait équilibre à la tension 2^? résultant de la répulsion mutuelle des éléments qui composent la charge.
On a donc
Il en résulte une énergie potentielle W2 égale au produit de p par le volume de l'électron.
2— — -TCap — — —
L'énergie potentielle totale de l'électron au repos est ainsi
Or la jnasse de l'électron est "^ — ; on a par suite
mc=yj. c 3 a ^
Généralisation, — Dans tous les cas où l'on peut calculer l'énergie totale W d'un système, on la trouve égale à me . On est donc conduit à généraliser et à donner les lois énoncées page 66.
3" L'IMPULSION D'UNIVERS. — Soit (t l'élément de temps propre d'un point matériel ld^= — ds). Les dérivées
dx dg dz cdt 4' d' 4' <t'
se transforment conone les composantes dx, dy, dz, cdt d'un déplacement élémentaire, puisque d^ est un invariant. Ce sont donc les composantes d'un quadrivecteur, la vitesse généralisée.
Multiplions par Tinvariant mo (masse au repos) les composantes de ce quadrivecteur ; nous avons les composantes de Y impulsion d* Univers,
dx du dz dt
ma— y mQ-~y ma -—y nioc~—
d^ J" . dt c/r
qui s écrivent, puisque oT — ^dt et m — —
(10-19) m— y m-^y m— y me.
dt dt dt
Les trois premières composantes (composantes d'espace) sont les composantes de la quantité de mouvement ; la quatrième (composante de temps) est l'énergie divisée par c.
La conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie qui, pour un système de points matériels isolé, s'écrivent :
