G,=0% SG^=0% SG.=C^ SW

se résument maintenant dans l'affirmation que la somme des vecteurs impulsions d'Univers, somme entendue au sens géométrique reste constante dans un système matériel isolé. Elle est indépendante du système de référence, alors que la quantité de mouvement et l'énergie varient d'un système de référence à un autre. Le principe de la conservation de l'impulsion d'Univers a seul un sens absolu.

RELATIVITE GENERALISEE

Note 11.

Les tenseurs.

r TRANSFORMATION DU DÉPLACEMENT ÉLÉ- MENTAIRE. — Passons d'un système de coordonnées (xi, JC2, Jr3, Xk) a. un autre (jci. jr2, X3, xO l'élément de ligne se transforme d'après les quatre équations

j / ^Xi j i^Xi j ,^Xij . ^x[ j

dxi — — axi-i- ~— ctx2 ~ir — - ors -h — ajC4.

OXi 0x2 ^JCs ûjci

qu'on résume sous la (orme abrégée

(11-1) dx:=Y,^dx..

Là Oy.

c étant le même indice dans les deux membres et la sommation étant faite, pour chaque indice c, en remplaçant v successivement par 1 , 2, 3, 4.

T QUADRl VECTEURS. — Tout groupe de quatre quantités A' qui se transforment suivant la même loi que les c/x"

LÀ Or.

constitue un quadrivecteur ou tenseur de premier ordre contrevariani. On met l'indice en haut (sauf pour dx* qui est cependant contrevariant).

Tout groupe de quatre quantités Bv (indice en bas) qui se transforment suivant la loi

LÀ Or-

constitue un quadrivecteur ou tenseur de premier ordre covarianL

On voit facilement que

( 1 1 -4) i: A^Bv = 2 A'-B: = invariant.

Un invariant, appelé aussi scalaire, est un tenseur d'ordre nul.

Remarque, — La sommation est faite par rapport à l'indice qui figure deux fois sous le signe 2. Cet indice n*a pas de signification propre puisque dans l'expression complète d'une même composante on lui donne successivement les valeurs 1 , 2, 3, 4 : on l'appelle indice muet, La lettre qui le désigne peut être à volonté remplacée par une autre pourvu que la nouvelle lettre ne figure pas déjà dans le terme considéré. Dans la suite nous supprimerons le ^ ; il sera sous- entendu qu'on doit toujours sommer par rapport aux indices muets, faciles à reconnaître d'après ce qui vient d'être dit.

3"* TENSEURS D'ORDRE SUPÉRIEUR. — Seize grandeurs qui se transforment suivant la loi

(11.5) A'"'=^-^^^'^^A'" (S2 8ou8-entendu)

sont les composante^ d'un tenseur du second ordre con/rçvariqnU

RELATIVITÉ iGÉNÉRALISÉE 155

Seize grandeurs qui se transforment suivant la loi

forment un tenseur du second ordre covariant.

On généralise aisément pour définir des tenseurs d'ordre n. Un tenseur d'ordre n possède 4" composantes (dans une multiplicité à 4 dimensions). Un tenseur qui participe à la fois des deux modes de transformation est dit mixte : il est contrevariant vis-à-vis de certains indices et covariant vis-à-vis des autres.

Ey • A'^ — — ^^^^A^"

ÔJC. ^X<r ^Xx

Un tenseur tel que Ai*v«rp... = Av|X(rp.,. est dit symétrique par rapport à [x et v. Un tenseur tel que Ai*/... = — Avji... est dit symétrique gauche par rapport à î^- et v. Un tenseur symétrique gauche d'ordre 2 possède six composantes distinctes (au signe près) ; il n'y a pas de tenseur symétrique gauche d'ordre supérieur à quatre (du moins dans une multiplicité quadridimensionnelle).

4" MULTIPLICATION. — Si l'on multiplie deux à deux les composantes d'un tenseur d'ordre n et celles d'un tenseur d'ordre n , on obtient un tenseur d'ordre n -f- n .

5^* CONTRACTION. — Partant d'un tenseur mixte, on peut former un tenseur d'ordre inférieur de deux unités en égalant un indice de caractère covariant et un indice contrevariant. Ex. : soit A^.,(T ; imposons la condition ^7 = t, nous obtenons A^vv qi4i n'est plus que du sçcond ordre et peut ^ç

représenter par A|*v. Une multiplication suivie de contraction se nomme multiplication intérieure,

&" PROCÉDÉS POUR RECONNAITRE LE CARAC TÈRE TENSORIEL. — a) Lorsqu'un groupe de quantités A(iav.., aP...) déterminées par n indices est tel que

(11-7) A(y/^..^!3...)B:;::: = invariant

pour un choix arbitraire d'un tenseur Bap!!! à n indices, dont n covariants et n contrevariants, on peut affirmer que A(lJ.v,..ag...) est un tenseur contrevariant d'ordre n et covariant d'ordre n .

Ex. : Si A([Av)B'*C' = invariant, A(P'V) est un tenseur A.*..

ce résultat est encore exact si pour un quadrivecteur quelconque B** le produit intérieur A(l«''v)B'*B' = invariant, à condition que A(p.v) = A(v[J.).

fc) Un groupe de quantités dont lé produit intérieur par un quadrivecteur arbitraire est un tenseur est lui-même un tenseur.

Elx. : si AÇ\J''i)B' est un quadrivecteur covariant, A(lJ.v) est un tenseur covariant.

7" TENSEURS FONDAMENTAUX. — Dans l'expression de l'invariant ds'

( 1 1 -8) ds = g^^dx]f.dx^

dx-j. est un quadrivecteur covariant arbitraire ; donc d*après 1 une des règles précédentes gjxv, qui est symétrique, est un tenseur covariant. C'est le tenseur covariémt fondamental. Le tenseur contrevariant fondamental g^.^ s'obtient en écrivant le déterminant des ^i*v, formant le mineur de chacun des giAv et divisant ce mineur par la valeur ^ du déterminant.

RELATIVITE GENERALISEE

D'après une propriété de» déterminants on a : (11-9) ^;i.vg" = 1 ou selon que l-»* = v ou [^ ^ v.

Posons g^ng^ ==^ ^|1, g|l est le tenseur mixte fondamental. Il jouit de la propriété d'avoir les mêmes composantes (égales à 1 pour p. == v et à pour [i. ^ v) dans tous les systèmes.

Remarquons qu'en contractant ce tenseur nous obtenons

(11-10) f^ = g\ + gi + gl-^gï = A.

Remarquons aussi que g.^ est un opérateur de substitution, car

, (IM1) g;A^ = A^ + + + 0.

8** TENSEURS ASSOCIÉS. — Les trois tenseurs fondamentaux permettent de transformer les tenseurs par multiplication intérieure, c'est-à-dire de construire de nouveaux tenseurs en faisant passer à volonté un indicé de bas en haut et inversement. Les trois tenseurs contrevariant, mixte et covariant

(1 1-12) A"'. A;=g,.A'"(aestmdicemuet).A^, = g,.A:

sont dits tenseurs associés.

Tout tenseur d'ordre pair permet de former un invariant appelé inoariant contracté ; il suffit d'amener la moitié des indices en haut, la moitié en bas et de contracter complètement.