V. 1 2- 1 3y R|jiv — - ^{AvR ^ — ^ 1 |Av

Multiplions par ^^ ; remarquant que gr*g^^ = 4 (1 1 -1 0)t nous obtenons

(12-14) R = KT = xp„ (T = g^%v)

car on voit facilement, o[*après (12-9), que

T = g«^T,. = T|: = Tî + Tl4-T? + TÎ = aV = Po

valeur indépendante du système de coordonnées, puisque c'est un scalaire.

Remplaçant, dans (12-13), R par xT, la loi s'écrit

y LES ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE. — En mécanique classique, les quatre équations de l'hydrodynamique dans un champ de force peuvent se mettre sous la forme suivante, où pF,,... sont les composantes de la force s'exerçant sur l'unité de volume.

OXv \ c c c ,

en coordonnées galiléennes. En réalité il n'y a plus de telles coordonnées, mais c'est un fait dont on ne tient pas compte.

Les équations rigoureuses sont leç équations Tjlv=^0, qui s'écrivent d'après (11-31)

(12-19) "-^ = \^[Tl = \^'!ip,

(densité tensorielle).

Ce sont les quatre conditions (î^ = 1 , 2, 3, 4) auxquelles la matière doit satisfaire; elles déterminent l'impulsion et l'énergie communiquées à la matière par le champ de force.

Pour les comparer aux équations anciennes, comme en pratique l'Univers est presque euclidien et que les vitesses sont faibles, nous pouvons prendre des coordonnées très voisine s des coordonnées galiéennes, les choisir de manière

que V — S^^ ^ et admettre que T.l[ se réduit à Tl: nous obtenons l'approximation faite en mécanique ordinaire

Les forces. — Comparant (12-19) et (12-17) nous , ^ . . , U4; 24) (34; ,. ,.,

voyons que les trois symboles i.c'j.itM^c multiplies

par — c sont les composantes de la force principale, la

force d'inertie de la mécanique qui produit une action

proportionnelle à l'énergie (masse); la mécanique newto-

nienne néglige en général les autres " forces " j > qui sont

liées aux autres composantes du tenseur T^ c' est-a-dire aux quantités de mouvement et aux tensions internes.

Nous p ouvo ns aussi écrire Tjlv sous la forme \ 1 1 -32),

et faire y — S^^ ^ ^ous obtenons, en première approximation

(12.20) ^i;=ip'?-.

De sorte que

2 \ ^Xl ÔJC2 ^X^

Si ^ est le potentiel au sens de la mécanique classique, on a

et si, à l'infini Q = et g/,/, = 1 (valeur galiléenne)

6" LA LOI DU MOUVEMENT DU POINT MATÉRIEL LIBRE EST CONTENUE DANS LA LOI DE LA GRAVI- TATION. — Si Ton adopte des coordonnées devenant galiléennes à Tinfini, on trouve aisément que les équations des géodésiques se réduisent en première approximation aux équations du mouvement de la vieille mécanique, et l'on obtient en même temps (12-21), relation que nous venons de déduire de la loi de conservation, c'est-à-dire de la loi de la gravitation qui implique la conservation du tenseur Tjl.

Ce résultat laisse penser qu'il n'y a pas indépendance entre la loi de la gravitation et la loi suivant laquelle un mobile libre a pour ligne d'univers une géodésique. On peut le voir de différentes manières : voici une démonstration due à M. Jacques Rossignol.

Prenons des coordonnées telles que y — g= 1,

on a

explicitant TJ, et T"^ on obtient

^x\ds ds) \ ^ l ds ds

j Développant le premier terme, posant u" ^ — -y

et multipliant par u<r on trouve "*

—- — ou PoT- — W

qui I ^ exprime la conservation de la masse ; 2° réduit l'expression précédente à Téquation des géodésiques. Levant la

restriction y — g = 1 — = devient — - (u y — s) ^^ 0.

et Téquation des géodésiques ne change pas, car le 1 *' membre de cette équation est un tenseur.

On voit, par les résultats qui précèdent, que la loi d'Einstein contient toute la dynamique.

T LA LOI DE NEWTON. — Prenant, dans un champ statique^ des coordonnées très voisines de coordonnées galiléennes et devenant galiléennes à l'infini, négligeant toutes les quantités très petites, réduisant T|iv à T44 ^^^= P, confondant T44 = p et T = Po, tenant compte enfin de (12-21), on trouve que la formule (12-16) se réduit en première approximation à l'équation de Poisson

AQ = 4iîpG, avec la relation