LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATIÈRE
— Les équations Rjx^ ^=^ 0, qui expriment la loi dans Iç
vide, remplacent Téquation de Laplace
AQ = (^ = r-i + r-^ + r— a) ^ potentiel newtonien.
\ ^x ^x ()jcV
Il s'agit maintenant de trouver Téquation qui doit remplacer Téquation de Poisson
Au = 4'î^Gp (p densité, G const. de la gravit, newt.).
La densité est l'énergie par unité de volume divisée par c . Or l'impulsion-énergie trouve son expression la plus générale dans un tenseur qui précisément se réduit à p dans le cas de la matière au repos, en coordonnées galiléennes. C'est ce tenseur qui doit remplacer p.
a) Le tenseur impulsion-énergie, — Les trois tenseurs d impulsion-énergie associés ont pour expressions
as as (po densité au repos ou densité propre)
as as
( 1 2-8) T:.v = ^ixTgvxT" = ^...gvxpo -~ -—
as as
T'*' et T.AV sont symétriques. En coordonnées galiléennes xi, X2, X:u xu = et, Ics composantes de T^ sont les suivantes.
rr., ] ^ \ I 1
l -^ pDx.lîx, 2 P«^X, i P|JX,I;X3 — — PV^^
— pVx, - P^x, - PV
^x^9 i^Xjt 1^X3 sont les composantes de la vitesse v de la matière au point xi, X2 xs, p est sa densité, égale à
b) La loi de conservation de V impulsion-énergie. — En coordonnées galiléennes l'expression de la loi de conserva-
tion s'écrit
(12-10) -7^ = (v indicemuet).
^JTv
Ces quatre équations (l^= 1, 2, 3, 4) ne sont autres que les équations bien connues de V hydrodynamique en l'absence d'un champ de force et dans les milieux dépour^ vus de frottement.
Nous remarquons que l'équation (12-10) est la /orme dégénérée de l'équation tensorielle
Cette équation tensorielle est donc l'expression générale de la loi, dans un Univers non euclidien. Nous avons d'ailleurs déjà dit que l'annulation de la divergence exprime la conservation.
c) La loi d'Einstein. — Du fait que les tenseurs TJ, et
R]l :r sl^ ont tous deux une divergence nulle, il ne
résulte pas forcément que ces tenseurs sont égaux (à un facteur constant près). Cependant si, avec M. Exldington, nous posons en principe que tout tenseur physique est l'aspect sous lequel nous apparaît un tenseur géométrique d'Univers, et si nous considérons la loi de conservation de l'impulsion-énergie conune une loi expérimentalement établie et rigoureuse, Tjl doit être identifié avec un tenseur conservatif ; comme le plus simple des tenseurs conservatifs est
Rjl — gJiR, nous sommes conduits à écrire
^l :r 8\J^ — *Tjl
X constante universelle
quitte à vérifier ensuite par l'expérience les conséquences de cette loi.
C'est la loi d'Einstein, mais Einstein a suivi pour l'établir une marche différente. Il a mis R|i« = sous la forme des équations classiques de Lagrange, a reconnu que certaines quantités /^ (au nombre de seize, mais en formant pas un tenseur) représentent une forme d'énergie, l'énergie de gravitation, et a ajouté simplement le tenseur impulsion-énergie T,^ k l'énergie de gravitation (il a remplacé il par t^ + T^). Il a ainsi obtenu la loi précédente. Cette loi impose la conservation de l'impulsion-énergie car, la divergence du premier membre étant identiquement nulle, la divergence du second membre est nulle.
Cette loi se déduit aussi du principe d'action stationnaire (méthode de MM. Hilbert et Lorentz).
La loi de la gravitation peut encore se mettre sous
d'autres formes
