BECQUEREL
(13-1) se réduit à (13-11) dr
dt
= \/'(dt
dt est l'intervalle de temps mesuré, entre les deux événements considérés, par un observateur lié au centre | matériel mais situé très loin, pratiquement en dehors du champ. D'autre part l'intervalle de temps propre entre les deux événements est à^ qui est <C dt. Considérons deux horloges identiques A et B placées d'abord à côté l'une de l'autre très loin du centre et marquant la même heure, toutes deux mesurent /. Transportons l'horloge A à la
distance r du centre ; elle va mesurer j d^ <i l dt; elle
va donc marcher plus lentement et si on la ramène près de l'horloge B, elle aura pris du retard sur cette dernière.
Déplacement des raies spectrales. — Soit §5 l'intervalle, indépendant du champ de gravitation, entre deux phases égales de l'émission. L'observateur terrestre, qui est en un point où le champ est négligeable, mesure
cVy Vï
si la source est sur le soleil. Mais si la même soiirc^ est surla terre, il mesure S'f. Or 5/ > 5'c donc les raies du spectre solaire (et des spectres stellaires) doivent être légèrement] déplacées vers le rouge.
Note 14.
Les lois générales de l*electromagnétisme.
r GÉNÉRALISATION DES ÉQUATIONS DE M/ C- WELL. — Dans la théorie ordinaire (Univers euclidien 2t
coordonnées galiléennes) on a les équations de Maxwell- Lorentz (note 10). Nous allons chercher la forme tensorielle générale dont elles sont une forme dégénérée.
Soient Gi, G2, Gs les composantes du potentiel vecteur (unités électromagnétiques) et ^ le potentiel scalaire (unités électrostatiques) de la théorie habituelle. En vue de la généralisation, posons
( 9l = Gl, <?2 -— G2, ?3 = G3. <?4 = '|.
On a» avec cette notation (formules connues)
etc..
Ecrivons maintenant les équations de Maxwell-Lorentz (note 1 0) en désignant par u, v, w les composantes de la densité de courant (unités électromagnétiaues) et P la densité de charge (unités électrostatiques), (l'unité de charge étant choisie de façon que le facteur 4*^: disparaisse). Nous avons
i>Xi ÔX2 1>X3
«5X4 àx:i ^Xl
^Xi, ^Xi ÔX2
i>Xl i>Xi ôxj
/ ôX ^ ôN ôM
àXk ^ATî ^ATS
ôjci ^JC3 <^jri ^Z . ÔM ^L
<^jr4 ^Xl ^X2
t^ATi djr2 ôx-i
Soit maintenant un quadrivecteur covariant ?jx (arbitraire pour le moment) nous pouvons former sa dérivée covariante 9jav, la différence
^X, àx^
est un iensevr symétrique gauche, et d'après sa formation, nous avons les identités :
àx<T ÔjChl ^ATv
Puisque Fiiv, étant symétrique gauche, n*a que 6 composantes distinctes, au signe près, posons :
Fu Fil X
F31 — Fis — M
Fa 4 F48 Z
puis donnons à l-», v^ ^ les valeurs suivantes
l>^,v, (7 = 2. 3. 4; î^v, ff = 3.4. I; p, V. (7 = 4, 1,2;
les identités (14-6) se trouvent être précisément les formules (14-3). De plus, les composantes du champ électromagnétique sont formées à partir du potentiel vecteur (changé de signe) et du potentiel scalaire (éq. 14-2) exactement comme les composantes de F,xv sont formées à partir de ?,*(l4-5).
Nous pouvons donc interpréter le premier groupe de Maxwell : les composantes du champ électromagnétique constituent un tenseur symétrique gauche
formé à partir d'un quadri vecteur potentiel ^i* dont les composantes d'espace (changées de signe) sont les composéuites du potentiel vecteur et dont la composante de temps est le potentiel scalaire de la théorie ordinaire.
On peut vérifier, en transformant les composantes du tableau ( 1 4-7) suivant la loi de transformation des composantes d'un tenseur covariant, et en passant d'un système galiléen à un autre système geJiléen, qu'on trouve bien les forces électrique et magnétique du second système telles qu'on les obtient en relativité restreinte. Les forces électrique et magnétique constituent donc bien un tenseur.
Le tenseur contrevariant associé F"*' permet d'exprimer le second groupe de Maxwell (14-4); ce groupe s'écrit, en effet.
ÔF" , f»F"
àx,
ôx,
ÔX3
àx3
ôF^
ÔX2
ÔF^
ôxs
ôF^.
dx, '
àx, '
OU
ce qui prouve que u, v, w,P sont les composantes d'un
quadrivecteur contrevariant J'* car
est la forme
dégénérée de la divergence Fr qui est un quadrivecteur contrevariant.
Le quadrivecteur J''^ est le courant. Ses composantes d'espace constituent le courant de convection et sa composante de temps est la densité de charge.
En résumé les équations de Maxwell s'écrivent
La première équation est sous la forme requise par le principe de relativité; la seconde est la forme dégénérée de Fr ^^ J"*. Les équations générales valables dans un Univers euclidien en coordonnées arbitraires, valables aussi
dans un Univers non euclidien par application du principe d'équivalence, sont
(14-10) \ '' Ô;cv ^X^
T LOI DE LA CONSERVATION DE L'ÉLECTRI- CITÉ. — La dernière de ces équations s'écrit d'après (1 1-33), F'*" étant symétrique gauche.
d'où l'on tire
car *''*'' étant symétrique gauche, — 0. On a
donc Jï = (d'après 1 1 -29). ^^'^^^^
en coordonnées galiléennes, cette équation devient
Ox Oy àz C 0/
semblable à l'équation de continuité de l'hydrodynamique, elle exprime la conservation de l'électricité.
3" LE TENSEUR D'ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉ- TIQUE ET LA LOI GÉNÉRALE DE CONSERVATION DE LTMPULSION-ÉNERGIE. — Par application et généralisation tensorielle des expressions qui donnent les composantes de la force mécanique s'exerçant sur l'unité de volume contenant charges et courants, ainsi que le travail accompli par le courant dans l'unité de temps, on démontre
qu'il existe un tenseur d'énergie
(14-12) E; = -i-Y- F..P-+ I g;F«pF''j
dont la variation compense la variation du tenseur matériel
ce qui exprime la loi générale de conservation de Timpulsion-énergie. Dans l'expression de la loi de la gravitation» Ejl s'ajoute à T[l.
Mais l'énergie électromagnétique ne modifie pas la courbure totale R car l'invariant contracté E = Ej^I est nul. La courbure R est toujours égale à xT = jcpo. C'est là un fait capital qui montre que la matière ne peut pas être formée uniquement à partir du tenseur E!l» ce tenseur ne contribuant pas à la constitution de la densité matérielle.
Note 1 5.
La courbure de l'espace et du tbmps.
r LA COURBURE NON NULLE DANS LE VIDE.
— C'est précisément le fait que l'énergie électromagnétique n'influe pas sur la courbure totale qui nécessite une modification de la loi de gravitation admise jusqu'ici.
Toutes les équations où intervient la densité de la matière sont des équations macroscopiques car la matière est supposée continue. Si nous voulons écrire les équations microscopiques, nous devons faire disparaître le tenseur matériel T^ (qui correspond à l'aspect macroscopique dé la matièrej et ne conserver que le tenseur E!l qui sera
alors le tenseur exprimant l'énergie du champ des électrons. D'après la loi (12-12) la formule microscopique serait, en tout point
L'invariant contracté E^ étant nul, celui du premier membre R:^ —g^R^ — R devrait aussi être nul,
en tout point ; alors, dans la matière, la veJeur moyenne de R serait nulle elle aussi, et comme cette valeur moyenne est égale à xpQ il n'y aurait pas de matière ; résultat absurde. Il faut donc remplacer (15-1) par une formule dans laquelle le scalaire du premier membre soit nul. On n'a pas le choix, il faut écrire
cette équation exprime la loi de la gravitation, E.l étant le tenseur d'énergie du champ électromagnétique des électrons.
Si l'on forme la divergence des deux membres de ( 1 5-2), on trouve la relation
ôx
Partout où J" = c'est-à-dire en dehors des lignes d'Univers des électrons, la courbure totale est constante ; cette courbure est donc la même dans le vide et aux points où se trouve de l'énergie libre (énergie rayonnante.) Mais la courbure dans le vide n'est pas nulle car R = dans le vide, où E!l = 0, entraînerait RJl = (ou R-xv = 0)
et par suite la loi (12-12) seule compatible avec R^xv =^ dans le vide; on retomberait sur la loi qu'il faut précisément modifier.
D'après (15-2) la loi dans le vide s'écrit
rvjii» ~~ ^s&vK. ^^=
ou en appelant Ro la courbure dans le vide et posant
Ro = 4X (15-4) r;, = R5.v — Xg^, =
avec ^.=^0 mais très, petit,
loi déjà indiquée note 12.
La loi macroscopique de la matière considérée comme continue s'obtient immédiatement en remplaçant dans toute la théorie précédenmient donnée R^ par R 1 et R par
La divergence de R ^ — glR. est identiquement
nulle, et ce tenseur doit être identifié avec Tjl pour satisfaire la loi de conservation. La loi de gravitation dans la matière devient
( 1 5-5) RiAv = R|xv Agjiv = x- ( T,xv = — gjxT \
et la densité (au repos) est — (R — Rq) ( au lieu de — R ) •
T L*ESPACE FERMÉ. — Cherchons maintenant quel peut être Taspect ultra-macroscopique ou cosmique de l'Univers, en accord avec la loi (15-5). Prenant comme unité de volume un espace suffisamment grand (par ex. :
1 000 parsecs-cubes), soit p la densité moyenne de la matière, densité que nous supposerons constante. Nous pouvons, dans cet aspect d'ensemble, ne tenir compte que de la distribution générale de la matière, et faire abstraction des irrégularités locales.
Les vitesses relatives des astres étant toujours très petites par rapport à la vitesse de la lumière, nous pouvons envisager un système de référence dans lequel la matière est en moyenne, au repos. T|av se réduit sensiblement à
Les équations (15-5) s'écrivent :
(15-6) { si Tonna pas [a = v = 4
gu ^= — ^^uP.
Prenant la position de l'observateur comme origine des coordonnées et adoptant des coordonnées sphériques, ces équations comportent deux solutions, dans chacune desquelles la coupe à temps constant est un espace à courbure constante positive.
y L'UNIVERS D'EINSTEIN. — Soit U le rayon de courbure. La solution d'Einstein est :
<// = — VW + sin' •/.(</<»* + «n' W)\ -H cdl\ avec
(15^) rp = 2K "'—Tjr
/ est un temps d'Univers absolu. L'espace et le temps sont séparés.
Le terme d'espace est
df = U'[ Jy; + sin' V^(S' + sin' W)]
extension, avec une dimension de plus (coordonnée 9) de l'élément de ligne sur la surface d'une sphère ordinaire (fig. 1 7).
dp = U'[t/x' H~ sin' X^T (0 angle azimuthal).
L'espace à courbure constante positive a deux formes
possibles, l'espace sphé" rique de Riemann et l'espace elliptique de Newcomb, Adoptant l'hypothèse de l'espace sphérique, dont le volume total est 2"^ U , la masse M totale de la matière mondiale serait M = 2tc-UV, d'oîi l'on déduit, d'après (15-8)
p,,.,;. (15-9) U = £iM.
Le rayon d'Univers serait déterminé par la quantité totale de matière. Comme ce rayon n est sans doute pas inférieur à 10"" cm., ce résultat nécessite l'existence de quantités de matière considérablement supérieures à celles que nous connaissons.
4^* L'UNIVERS DE DE SITTER. — La seconde solution de (15-6) est
ds^ = — \J'[(t/^ -+- sin'" vis' + sin' J^^] + c' cos'^ ydt\
avec
Cet Univers est profondément différent de celui d'Einstein. giri, étant égal à cos X (au lieu de la constante 1 ) l'espace et le temps restent unis, et il y a une courbure du temps.
De plus p = montre que la courbure d'ensemble de l'Univers n'est pas conditionnée par la matière mondiale (pas plus que le rayon de la terre ne dépend des accidents du sol). La matière intervient seulement pour produire des perturbations locales que nous négligeons ici, n'envisageant que la forme d'ensemble.
La zone du temps stationnaire, — Pour un point fixe dans t'espace (par rapport à l'observateur dont la position est prise pour origine des coordonnées), on a
dv = 0, J0 = O, J? = et
(15-12) ds = cosysdt ou J/=
cos X
Près de l'observateur X = et dt^= d^; t est le temps
de l'observateur. Mais loin de lui, l'élément de temps propre
ds est Jt = — alors que l'élément de temps de l'observateur
est toujours dt. Dans la zone r = ~-^^^( 7. ^^ ^ ) '^ temps
est «tationnaire pour l'observateur car dt est infiniment grand par rapport à Js,
Note 16.
Généralisations de Weyl et d'Eddington.
r THÉORIE DE WEYL. — Dans la théorie d'Einstein, Télectricité n*est pas rattachée à une propriété géométrique de la structure d'Univers, qui est entièrement représentée par les dix potentiels de gravitation g^^,
M. H. Weyl a uni, dans une même géométrie, le champ de gravitation et le champ électromagnétique.
Le développement progressif de la théorie de la relativité a consisté dans la suppression des axiomes et des restrictions non nécessaires. Or, jusqu'à présent, il subsiste une hypothèse arbitraire : nous avons admis qu'on peut toujours, en des points d'Univers différents, employer la même unité de mesure pour la comparaison des intervalles. A première vue cela parait évident : en un point d'Univers A, nous définissons une unité de longueur en choisissant une règle étalon, et cette règle sert aussi pour la mesure optique du temps si nous prenons comme unité naturelle la vitesse de la lumière ; il semble donc qu'en transportant en un autre point B une copie exacte de l'étalon choisi en A, on puisse, en B, mesurer les intervalles élémentaires et faire la comparaison avec les intervalles mesurés en A. Sans doute, nous pouvons opérer de la sorte si deux copies exactes de l'étalon transportées de A en B par des chemins différents sont toujours identiques en B. Or, rien ne prouve à priori, qu'il en soit ainsi, et si la longueur n'est pas intégrable, nous ne pouvons pas obtenir sans ambiguïté en B une longueur que nous puissions
considérer, par définition, comme représentant la même unité qu'en A.
L*intégrabilité de la longueur (généralisée : voir note 1 1 . n" 13) est la restriction qui subsiste et qu'il faut supprimer.
Le champ de gravitation correspond à la non-intégrabilité de la direction. Soit en effet A'* un q uadri vecteur ; faisons -lui décrire un circuit fermé par ** déplacement parallèle " (note 11, n** 16) c'est-à-dire tel que la dérivée covariante AT soit constamment nulle.
(16-1) ^VS""iA« = 0.
La variation de ce vecteur est
Posons dS'" = — c/S" = dxJxa ; JS est un tenseur symétrique gauche qui fait correspondre à l'aire élémentaire une direction positive de parcours sur le contour qui la limite. L'équation précédente s^'écrit
( 1 6-2) B A'* = \ff Re- A^^S'''
de même ^^'^ = \ f TrLAçJS^'
La condition nécessaire et suffisante pour que la variation soit nulle est que le tenseur de Riemann-Christoffel soit nul, c'est-à-dire que l'Univers soit euclidien. La non-
192 APPENDICE y
intégrabilité de la direction caractérise donc le champ(,' gravitation. Mt-V
De même, la non-intégrabilité de la longueur doit cari^ tériser un champ d'une autre nature. Ne serait-ce pas fe champ électromagnétique ? q
Puisque nous ne sommes pas certains qu*on pui89e défi^ nir une unité valable en tous les points, nous devons défini! une unité en chaque point-événement de l'Univers ; nouis appellerons jauge l'unité d'intervalle choisie en chaqu<|^ point. Le système de jauges est arbitraire comme le sy*! tème de coordonnées : il faut, dans le cas le plus géné^ rai, diviser l'Univers en cellules par un système quelconque de coordonnées et dans chaque cellule infiniment petite adopter une jauge. Les jauges sont seulement soumises, à, la condition d'être infiniment peu différentes dans deux cellules infiniment voisines, ce qui est possible car l'ambi-'i guïté disparait à la limite pour un déplacement infiniment | petit. Lorsque les jauges étaient supposées les mêmes pai^ { tout, dix mesures d'intervalles ds autour d'un point pei j mettaient de déterminer les dix gjxv et de décrire le champ de gravitation ; maintenant 1 4 mesures vont être nécessaires pour déterminer les gi^v et 4 potentiels " supplémentaires qui paraissent bien correspondre aux composantes du quadrivecteur potentiel électromagnétique. Les 1 4 potentiels ^ixv et <P|x définissent la géométrie du système de coordonnées et du système de jauges, et contiennent en eux la structure de l'Univers.
Faisons décrire a un vecteur Aji, par déplacement parallèle, un contour fermé infiniment petit, limitant JS'* ; d'après (16-1) sa variation est
( 1 6-3) JA, = ^R l. Ae JS" = -1- R,v,o A^ JS %
dAiy. est orthogonal à A.u, parce que, R^v^p étant symétrique gaàche en V* et p, on a
( 1 6-4) A^dA,. = -i- R,v,e A^ A^cS^' = 0.
La longueur généralisée du oecteur napas changé, seule
Ha direction a varié. C'est la restriction admise dans la
théorie d*£instein. Supprimant cette restriction, nous devons
femplaccr Ruv9? par un tenseur d*un type plus général
R;xv<r?. Or on peut écrire
Bjiv<rp= — ( R|*vffe — Revffii) sym.gaucheent^etp,
Fjjiv(ip^= ~z\ R|iiv(ip"T" RpvffsiJ sym, en l* et p.
( 1 6-6) dA, — ^ *R:.v,^ A^ JS^' = y(B,xva? + F;..,p)A^(/S^'.
Comme la variation doit être annulée quand on décrit le circuit une seconde fois en sens inverse du premier parcours, tous ces tenseurs doivent être symétriques gauches en V et cj.
Soit / la longueur généralisée de Aa ; on voit que
(/ + dtf = (A, + JA,) ( A'^ + JAO = /* + 2 A" JA,.. ( 1 6-7) lldl = *R, ,ç A^A? JS'^ = F,.,, A^ A^ JS^
M. Weyl a adopté une limitation • il a supposé que F|iv<r9 est décomposable en gjxçFv» ; 2° que Fvt est le rotationnel d'un vecteur. D'après la première condition, (16-7) devient
( 1 6^) lldl = F..(g;,A'A^)dS>'' = Fv.f JS-
