BECQUEREL

dl est donc proportionnel à / et indépendant de la direction du vecteur.

Les différentes surfaces limitées à un même contour devant conduire à une même valeur de ^A|x, Tintégrale de surface doit porter sur un rotationnel, d*où la seconde condition de Weyl.

Soit maintenant une règle extrêmement courte, de longueur généralisée / (note II). Déplaçons-la de dx\, dxz, \/r3, dxk. Fva étant le rotationnel d'un vecteur, ik>u8 pouvons écrire

( 1 6-9) — = ^idxi + Oidx2 H" 93<ic3 + Çic/x*,

les <P(i^ étant quatre fonctions de point, qui sont les composantes d*un quadrivecteur d'Univers.

Comme les ^^v, les opi* dépendent d'une propriété intrinsèque de Tespace-temps et du système employé. De même que les ^{j.y ne peuvent pas prendre des valeurs complètement indépendantes (loi de la gravitation), de même les ?tA doivent satisfaire une loi.

Intégrons (16-9), nous avons

(16-10) logZ+c*'*= I 9l<ici + 92û6c2 + ?3tic3+?4JjC4

la longueur sera indépendante du chemin suivi (intégrable) si le rotationnel des o^ est nul (condition d'intégra- î bilité)

Faisons l'hypothèse que les Çj* représentent le potenti électromagnétique (a un facteur constant près) ; l'annulatic

du ratatonnel exprime, d'après (14-10), que le champ électromagnétique est nul. Si cette condition est réalisée, les ^[Av suffisent pour déterminer la structure de TUnivers. Dans le cas contraire la structure est exprimée par 1 4 potentiels, les ^ixv qui décrivent les propriétés gravifiques, lés ÇiA qui décrivent les propriétés électromagnétiques.

La loi des <^^ est trouvée : c'est la généralisation tensorielle des équations de Maxwell. L'union de cette loi et de celle de la gravitation constitue la loi générale de la structure d'Univers.

Changer de système de jauges, c'est ajouter au second membre de (16-10) une fonction de point arbitraire, ou ajouter au second membre de ( 1 6-9) une différentielle totale. Les fjA ne sont donc déterminés qu'à des (onctions 9;^ près, pourvu que ces fonctions soient telles que Ç^^^ix soit une différentielle exacte. Cette indétermination du systèmo de jauges ne modifie en rien le rotationnel de sorte que les forces électriques et magnétiques sont indépendantes du système de Jauges.

Nous avons vu que la quadruple indétermination des coordonnées conduit à quatre identités qui ont pour conséquence la conservation de l'impulsion-énergie. De même, l'indétermination du système de jauges entraine une loi supplémentaire de conservation : c'est la conservation de l'électricité (note 1 4, n** 2).

2° GÉNÉRALISATION D'EDDINGTON. — La limitation de Weyl a pour but de donner un caractère absolu à la longueur nulle, de manière que la lumière ait une trajectoire bien définie (intervalle constamment nul).

Cependant M. Eddington a réussi à supprimer cette dernière restriction. Dans la théorie d'Eddington, la variation d'un vecteur par déplacement parallèle dépend non

seulement da chemin suivi, maisde Torientationdu vecteur pendant son déplacement L'Univers n'est assujetti qu'à une condition : celle de posséder une structure géométrique ; c'est le moins qu'on puisse supposer, et l'on ne saurait s'élever à un plus haut degré de généralisation.

Théorie géométrique. — Prendre au système de coordonnées signifie choisir 4 familles d'espaces pour diviser l'Univers en cellules; dans chacune de ces familles, chaque espace peut être caractérisé par un nombre. Un déplacement JxfL est donc un vecteur absolu, puisqu'il peut s'exprimer par des nombres purs, indépendants de tout système de jauges.

M. Eddington a montré qu'en supprimant toute restriction, et conservant seulement la condition (évidemment nécessaire) que l'Univers ait une structure géométrique, et possède en chaque point un Univers euclidien tangent, la formule (16-2) est remplacée par

(16-12) ZA' = ^ C r*R^.,Ay S^'

où Rj!,„ tenseur de Riemaim-Christoflel généralisé, est absolu, c'est-à-dire indépendant de tout système de jauges. Dans ce tenseur, les symboles de Christoffel du tenseur ordinaire sont remplacés par des 83rmbole8 généralisés, qui sont absolus, parce qu ils s'introduisent sans que le système de jauges intervienne. On a

(16-13) >:j=s^:Us;,

Sv^ étant un tenseur symétrique en ;i. et v (non absolu). Contractant R^v». on obtient la généralisation de R^^. Les deux tenseurs absolus *Kt„ et *R„ traduisent les

propriétés intrinsèques du continuum. On n'en voit pas d'autres jouissant des mêmes propriétés,

Poui introduire les gy^^, il faut adopter un système de jauges. Nous définissons la longueur / d*un déplacement A^ par

(16-14) fz=g^^A}^A\

l est un invariant à l'égard du système de coordonnées ; g:Av est un tenseur symétrique. Un système de coordonnées étant adopté, les A** sont des nombres purs ; mais / dépend, par les gii^, du système de jauges ; la longueur n*est pas un invariant absolu, c'est une convention purement géométrique.

Posons

et soit ?;xv la dérivée covariante du quadrivecteur 9,x. On peut écrire

(16-17) R;av = BjJiv -\- Fvjii.

Biiv est symétrique et Ffxv symétrique gauche. On démontre que

(16-18) F:.v = ?:xv — cpv:x = 7^ — r^' (rot. de Çjt).

Ox. OX.J.

Les tenseurs B;x. et F|av sont des tenseurs absolus. Le tenseur R^v^e se divise de même en deux tenseurs

(16-19) R;AVffp ^^^^ BjjiVTp "T" F{tvaç,

le premier symétrique gauche en [J. et p, le second symé-

trique en î^ et p, symétriques gauches tous deux en v et ff. Mais aucun de ces tenseurs n'est absolu, car les ^^v interviennent pour abaisser l'indice p.

La variation d*un vecteur est ainsi mise sous la forme (16-6) et l'on a la formule (16-7). sans aucune restriction.

Invariants absolus. — Il n'existe pas de fonction invariante absolue des potentiels, mais on peut trouver des densités invariantes absolues.

R étant le scalaire g'"^' R;*v, Il existe peut-être encore une densité invariante absolue dérivée de RiAvr?»».

Le nombre des caractères d'Univers distincts dont les combinaisons peuvent s'exprimer par des nombres purs, indépendants de tout système de coordonnées et de jauges ne dépasse probablement pas 6.

Weyl a fait remarquer que c'est seulement dans un Univers à nombre pair de dimensions que les tenseurs fondamentaux donnent naissance à des densités invariantes absolues. On ne saurait imaginer un univers à nombre impair de dimensions, car il n'aurait aucun caractère absolu.

En plus de ces densités absolues, qui sont des caractéristiques absolues de TUnivers en chaque point, ily a un invariant absolu simple lié à un déplacement A** : c est

d'autres combinaisons plus compliquées pourraient être imaginées.

IDENTIFICATIONS PHYSIQUES. — Le système de jauges naturel, — Si nous voulons que la longueur

(ïorm. 16-14) cesse d'être une convention géométrique pour devenir une entité physique, il faut que / soit un invariant absolu. Or il n'existe qu'un invariant absolu lié à un déplacement A** et qui soit une forme quadratique : c'est R^vA^A'. Nous sommes donc conduits à considérer cet invariant comme donnant une mesure naturelle de la longueur et nous devons poser

D'oîi

(16-21) • B,.v = AgH^v. •

/^ étant une constante universelle, qui noi^ laisse d'ailleurs libres d'adopter telle unité de longueur que nous voulons en un point d'Univers déterminé. Le choix étant fait en un point, les jauges en tous les points sont fixées par

La différence qui sépare B-xv du tenseur R,xv de la théorie d'Einstein provient des termes issus de Sj^^. Nous allons voir que ce tenseur Sjîv détermine les phénomènes électromagnétiques ; plus le champ électromagnétique est faible, c'està-dire plus l'espace est vide, plus B;*. est voisin de Rjtv. Dana le vide, l'équation fixant le système de jauges est

(16-22) Rjxv — X^^, = 0.

C'est précisément la loi de la gravitation d'Einstein, qui est obtenue ainsi par des considérations aussi générales que possible, absolument indépendantes de celles qui ont été exposées précédemment. Ce résultat nous montre que, dans le vide, l'Univers est effectivement jaugé conformément au système de jauges naturel, ou encore qu'en transportant les

étalons d'un point à on antre pour la comparakon des intervalles on emploie, dans le vide, le système naturel.

Propagation de la lumière. — Une perturbation lumineuse issue d'un point occupe dans Funivers un cône qui doit satisfaire une équation de la (orme

Comme ce cône est bien déterminé et n'a aucun rapport avec un S3rstème quelconque de coordonnées ou de jauges, il est nécessaire que ax^ soit un tenseur absolu : ce ne peut être que R^x.. On a donc

( 1 6-24) *Ry..Jx^dx. = B:.Jx:.dx. = 0. .

Nous voyons que, dans la théorie d'Einstein, oii la propagation de la Iftmière s'exprime par

ds = gyi^dXy^dXy = 0,

rUnivers est jaugé conformément à l'équation (16-21), partout oii la lumière se propage, c'est-à-dire en tout point (sauf à l'intérieur de l'électron). X pourrait être une fonction de point, mais la loi de la gravitation^dans le vide nous montre que c'est une constante.

Le fait que, dans nos observations, la liunière a une propagation parfaitement définie prouve que nous effectuons nos mesures avec le système de jauges naturel. Il est vrai que dans un champ électromagnétique il existe une ambiguïté concernant la longueur, mais cette ambiguïté disparaît pour un déplacement infiniment petit, et si nous transportons nos étalons d'un point à un autre dans un domaine très petit pour comparer des intervalles, nous employons le système naturel à une quantité du second ordre près.

Eddington a donc réussi à supprimer la difficulté qui avait conduit Weyl à poser F^^Tp = ^ixpFv». La longueur

nulle peut ne pas rester nulle par déplacement parallèle ; peu importe» puisque le c6ne lumineux est défini par la seule équation invariante absolue qu'on puisse former.

La courbure constante. — Prenant les scalaires des deux membres de (16-21). on a, en tout point

qui, dans le vide, devient

Il est évident que ^^ n'est pas nul, car il n*y aurait plus de système de jauges naturel. Nous sommes donc directement conduits à la conception de la courbure constante et de l'espace fermé. La constance de la courbure est imposée par la condition qui détermine le système de jauges : cela revient a dire que le système naturel consiste à prendre pour jauge en chaque point le rayon de courbure d'Univers ; ou encore que tout objet est une portion déterminée et constante de l'Univers ; que tout électron doit avoir pour rayon une fraction constante du rayon de courbure d'Univers au point où il se trouve. Si le rayon d'Univers changeait d'un point à l'autre — par rapport à un sur-étalon que nous ne saurions d'ailleurs imaginer — l'électron, nos instruments, nous-mêmes, tout changerait dans le même rapport ; par conséquent le rayon de courbure doit nous apparaître comme constant.

R a la même valeur partout. Si l'on conserve le point de vue de la théorie d'Einstein, en séparant le champ de gravitation et le champ électromagnétique, et si l'on appelle courbure le scalaire R qui ne fait pas intervenir les S^^, on doit considérer les électrons comme des déformations locales. L'électron devient une région de forte courbure, bien que.

avec le système naturel. R ait la même valeur que dans le vide. Cela signifie que les S^, qui font différer B^v(= ^g^u^) de R;iv doivent être considérables dans l'électron; autrement dit, le champ électrique doit y être colossal.

Matière et électricité, — Pour identifier la substance contenue dans l'espace, nous devons chercher les tenseurs géométriques qui correspondent aux tenseurs phjrsiques. Ces tenseurs n ont d'ailleurs pas besoin d'être absolus car nous utilisons le système de jaiiges naturel (aux faibles erreurs près dues à l'ambiguïté résultant de la non-intégrabiiité des longueurs) et nous n'avons aucune raison de penser que les lois de notre science se conserveraient toutes dans un système de jauges arbitraire.

, Tout d'abord, rien n'est changé à la loi de la gravitation dans la matière, car la généralisation de Weyl-Extdington n'introduit pas de nouveau tenseur à divergence nulle auquel on puisse identifier T!^.

Le tenseur F^v des forces électrique et magnétique doit satisfaire le premier groupe des équations deMaxwell généralisées, et ces équations deviennent des identités (14-6) si Fnv est le rotationnel d'un vecteur. Nous voyons qu'il n'y a qu'un seul tenseur géométrique que nous puissions identifier avec le tenseur des forces électrique et meignétique, c'est celui que nous avons précisément désigné par F,x> (16-17). Le vecteur ?;x. dont Fjxv est le rotationnel, est le potentiel.

Le vecteur courant-densité de charge doit satisfaire à la loi expérimentcJe de conservation de l'électricité. Il faut donc que J]II = ; cette équation devient une identité si J'* est la divergence d'un tenseur symétrique gauche contrevariant ; nous devons donc identifier J'* avec la divergence

de F'*'' ; nous obtenons ainsi le second groupe de Maxwell. U électron, — Nous avons vu (note 14, n 3) qu'il est impossible de construire un électron et par conséquent de la matière à partir du champ électromagnétique seul ; on sait d'ailleurs que l'électron ne peut exister qu'en admettant des forces de cohésion non-maxwelliennes (pressions de Poincaré). 5/ Von admet la continuité dans la structure géométrique de l'Univers, il est possible de calculer en chaque point le scalaire T du tenseur total d'énergie c'est-à-dire la densité de substance ". L'expression est d'ailleurs assez compliquée. Le résultat intéressant est le suivant : il est permis de penser que les forces de cohésion, jusqu'alors mystérieuses, qui permettent l'existence de l'électron sont les S^^^ qui ajoutées aux composantes

] > du champ de gravitation constituent les forces absolues

(éq, 16-13). L'union du tenseur de gravitation g^,

et du tenseur d'électricité SJ,v (ou plutôt d'un tenseur ?,xv<t k partir duquel sont formés les S^v) ou plus simplement, si l'on admet la restriction de Weyl, l'union de ^i*v et de 9;ji suffit pour rendre compte de l'existence des électrons et de la matière, alors que le champ de gravitation et les forces maxwelliennes F:xv ne suffisaient pas.

Le potentiel électromagnétique a en lui quelque chose de fondamental qui disparait quand on en prend le rotationnel pour obtenir la force électromagnétique observable (Eddington). ,

Toutefois dans le problème de la matière, il ne parait p£i8 exact de supposer une structure d'Univers continue, car l'expérience nous a révélé l'étrange loi des quanta. Les

204 APPENDc-:

lois du continu ne sont probablement pas applicables à l'électron, mais on ne voit pas oîi intervient une discontinuité dans la constitution de l'électron*

Les généralisations de Weyl et d'Eddington complètent la théorie d'Einstein sans l'altérer. On peut, dans la description géométrique de l'Univers, considérer séparément le tenseur B;av (ou g^iv) qui décrit le champ de gravitation et le tenseur F;iv qui décrit le champ électromagnétique : c'est ce qu'avait fait Einstein ; 1* " intervalle d'Einstein est absolu, puisque c'est l'invariant absolu Bav d[rii<£rv. L'œuvre d'Elinstein reste donc intacte; elle n'est atteinte en rien par l'ambiguïté que l'existence du champ électromagnétique apporte dans la comparaison des longueurs.