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Xi et y 2, et proposons-nous d'exprimer la distance des deux points Al et A 2 en fonction de leurs coordonnées : d'après le théorème de Pythagore (le carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des Ccirrés construits sur les deux autres côtés), on a

AiAi = AiD H-A.D

ou, en désignant par / la distance A1A2 des deux points.

Dans ce système de coordonnées, le carré de la distance de deux points est égal à la somme des carrés des différences de leurs coordonnées.

La géométrie des figures tracées sur notre feuille de papier plane est à deux dimensions, puisque deux coordonnées (deux quantités variables d'un point à un autre) sont nécessaires et suffisantes pour déterminer la position d'un point du plan. Un plan est une ** multiplicité bidimensionnelle " .

Passons maintenant à la géométrie des figures tracées, non plus seulement sur un plan, mais dans l'espace ; il nous faut introduire une troisième dimension : à la longueur et

à la largeur vient se ^ joindre la hauteur.

Prenons dans l'espace un plan de référence P (représenté en perspective sur la figure 3).

Dans ce plan nous pouvons, comme précédemment, choisir un point origine O et deux axes de coordonnées Ox, Oy. Soit Ai un point quelconque de l'espace ; de ce point abaissons une perpen-

I . Il en est de même, d'ailleurs, d'une surface courbe, mais la géométrie des surfaces courbes n est plus la géométrie d'Euclide. Nous reviendrons plus tard sur cette question.

Fie. 3.

! LÉS NÔtlÔNS ANCIENNES D*ESPACE ET DÉ TEMPS 15

J diculaire AiMi sur le plan P ; le point Ai - est entièrement défini par les coordonnées xi et i/i de sa projection Ml sur le plan, auxquelles il faut joindre sa distance zi = AiMi, au plan (considérée comme positive d'un côté du plan et comme négative du côté opposé). Le point Ai a donc trois coordonnées jci, i/i, zi (coordonnées cartésiennes rectangulaires) ; en d'autres termes, l'espace est une multiplicité tridimensionnelle ".

La construction que nous venons de faire revient a la suivante : par un point O de l'espace, choisi comme origine des coordonnées, nous faisons passer trois plans rectangulaires xOy, xOz, yOz qui se coupent suivant les droites rectangulaires Ox, Oy, Oz. Les distances jci, ^i, zi, d'un point Al de l'espace aux trois pla^ ^Oz, jcOz, xOy, choisis une fois pour toutes, sont les coordonnées cartésiennes de ce point.

Par une extension facile de la formule (!)• le carré de la distance de deux points Ai et A2 de l'espace a pour expression, en fonction des coordonnées xu y\* Zi et X2, y 2, Z2 de ces deux points

Un premier système de coordonnées Oxyz ayant été choisi et tous les points de l'espace ayant été d'abord rapportés à ce système, nous pouvons changer de système en adoptant ensuite un second système Oxyz. Supposons que ce second système soit immobile par rapport au premier. Six quantités sont nécessaires et suffisantes pour définir la position relative des deux systèmes d'axes : ce sont trois longueurs (les coordonnées de l'origine O' du second système prises dans le premier système) qui déterminent la position relative des deux origines O et O , et trois angles

qui définissent l'orientation relative des axes des deux systèmes. En géométrie analytique, on établit les formules qui permettent, connaissant ces six quantités, de passer d'un des systèmes à l'autre, c'est-à-dire d'exprimer les coordonnées nouvelles jc , i/ , z d'un point en fonction des coo^ données anciennes x, y, z du même point (et inversi|h ment). J

Tous les systèmes de coordonnées (en nombre infini) immobiles les uns par rapport aux autres, constituent, à vrai dire, un seul et même système de référence (terme à retenir pour la suite), car on peut les supposer tous liés à un même corps de référence rigide. Par exemple, pour les phénomènes terrestres, il est naturel de prendre la terre comm[e corps de référence et d'adopter un système quelconque de coordonnées lié à la terre .

Le groupe de transformations de Galilée.

— Supposons maintenant que, connaissant les coordonnéçs d'un point dans un premier système de coordonnées S yOxyz\ on demande les coordonnées du même point de l'espace dans un second système S (O xy z) en mouvement par rapport au premier système.

Ici s'introduit une notion nouvelle : mouvement signifie changement de position, et ce changement implique la notion de temps ".

Considérons un système S (O xy z) en mouvement rectiligne et uniforme par rapport au système S (Oxy^) c'est-à-dire se mouvant comme un ensemble rigide, par raiv port à S, en ligne droite et avec une vitesse constante v.

1. II est vrai que la terre, dont l'écorce présente des marées, n'est pas un Corps rigide, mais précisément on évalue les oscillations de l'écorce terrestre en les .rapportant à un corps de référence fictif supposé rigide, le géolde.

Pour n'envisager que le cas le plus simple, nous suppose- 1 rons que les axes des x et des x sont confondus et paral- , lèles à la direction de la vitesse (fig. 4), que les axes des kl/ et des y, desz' ^) ^

et des z sont parallèles, et qu'on compte le temps / à partir du moment où les deux origines O et O sont jen coïncidence.

Les formules de transformation sont évidentes:

pendant le temps /, le point O s'est déplacé, à partir du point O, de la longueur t)i (par définition même de la vitesse qui est

égale au quotient du trajet parcouru par le temps employé à le parcourir) ; donc, à l'époque /, la coordonnée x d'un point, quel qu'il soit, est inférieure à la coordonnée x du même point dans le système S, de la longueur parcourue par O c'est-à-dire de t>i ; d'autre part les y et les z restent constamment égaux aux y et aux z ; on a donc (avec cette disposition particulière des axes des deux systèmes S et S )

Fie. 4.

Ce sont les formules de transformation qui permettent de ; passer du système S au système S . Ces trois relations défi-