SYSTÈME D'INTÉGRATEURS

19. Il est évident qu'au point de vue mathématique tous les intégrateurs doivent présenter un certain lien de parenté, car tous ils ont pour point de départ la même formule d'intégration. It n^en est pas moins vrai que l'interprétation mécanique de cette formule peut varier entre des limites très étendues suivant l'ordre d'idées qui a servi de guide a l'inventeur.

Les lois d'intégration imposent aux organes mécaniques qui constituent l'intégrateur un certain mouvement que différentes combinaisons cinématiques permettent d'obtenir. Mais si l'on passait en revue tous les appareils existants, on serait conduit à établir un s}^stème général, dont les divers inlruments ne présenteraient que des cas particuliers (*). On pourrait même, en abordant la question par différents côtés, établir plusieurs de ces systèmes.

Nous ne voulons pas refaire ici l'historique des essais, plus ou moins heureux, dont cette classification a été l'objet; nous nous bornerons à examiner les caractères distinctifs du nouveau système que nous avons décrit dans les chapitres précédents.

20. Je dois dire en commençant que l'idée qui a présidé à la construction de ces appareils les caractérise amplement. Dès l'origine je m'étais proposé de rendre possible le tracé mécanique de la courbe intégrale et, à ma connaissance du moins, ces instru-

(<) Un brillant essai de ce genre a été fait par M. H.-S. Helc Shaw (voir Proceedîngs de l'institution des ingénieurs civils de Londres, i885 )•

66 LES INTÉGAArBES.

ments sont les premiers qui apportent la solution pratique du problème ainsi envisagé.

Dans tous les intégrateurs existants, nous vovons des surfaces, géométriquement définies, qui, appuyant Tune contre l'autre, accomplissent certains mouvements, tout en restant toujours en contact intime. L'une des surfaces entraîne Tautre par frottement. Différentes réactions peuvent se produire au point de contact; c'est justement le caractère de ces réactions qui a souvent servi à différentier les tvpes d'intégrateurs.

Les surfaces peuvent glisser partiellement les unes sur les autres, ou se dérouler sans qu'il v ait glissement. On doit évidenunent obtenir dans ce dernier cas des résultats plus précis, car il est impossible de prévoir exactement les réactions qui peuvent se produire pendant le glissement. Lorsqu'on considère les intégrateurs à ce point de \'ue purement mécanique, on les partage d'ordinaire en deux groupes :

1** Les intégrateurs dans lesquels le mouvement des surfaces en contact est accompagné de glissement;

2** Les intégrateurs dans lesquels les surfaces se développent les unes sur les autres en roulant sans glissement.

La majeure partie des appareils dont on fait usage, appartient au premier groupe; dans ce groupe figurent les planimètres Amsler- Lafibn, Wettli-Starke, etc. Dans le second groupe nous retrouvons les intégrateurs de James Thomson, Clerk-Maxwell, Hele- Sliaw, et difl^érents autres (*). Envisagés à ce point de vue, mes

(*) Pour faciliter la comparaisoQ du nouveau système avec les appareils connus, nous rappellerons sommairement la construction de quelques appareils les plus répandus. Nous prendrons comme types les planimètres genre Wettli-Starke et Amsler.

a) Planimétre linéaire de Wettli-Starke. — On mesure, dans cet appareil. Taire d'une courbe en comptant le nombre des tours d'une roulette, après avoir suivi avec une pointe la périphérie de la courbe donnée.

Un plateau horizontal D (fig. 4^) mobile autour de son axe O, est monté sur un chariot à trois roues tt't''t ce chariot peut se déplacer facilement le long des rails r, r', r". Sur le même chariot est montée, entre des galets gy une tige G qui a un mouvement libre dans une direction perpendiculaire à celle du mouvement du chariot. Un fîl / fixé aux deux bouts de la tige, s'enroule autour de l'axe cylindrique du plateau, de sorte que lorsqu'on imprime un mouvement de translation à la tige, le plateau se met à tourner. Une roulette H, mobile autour d'un

CHAPITIB IV. — PHOPBIKTIiS DU NOUVEAU BVaTEKE D INTÉGRATEDRS. G7

inté^ateurs doivent être placés parmi ceux où le glissement n'a |)as lieu.

aiE horiianUl, repose sur le plateau, sur lequel elle est appuyée par le poids du cadre H, piTOtanl sur les poiats S, S'.

Le FooctionDeraent de ce plaaîmâtrc est bien simple. Supposons qu'il s'agisse de trouver l'aire de la courbe ABrcpr^seutée par la figure. Suivons avec ta pointe I* l'ordonnée ab (l'axe des a: passant par le point de contact de la roulette avec le

Fig. 18.

plateau ). Le plateau va glisser souj la roulette qui ne tournera pas. Suivons maiti tenant la droite ae. Le lîl Gommuniqucra te mouvement au plateau qui va tourner et entraîner dana son mouvement la roulette. Le nombre de tours de la roulette sera toujours proportionnel i. l'ordonnée variable ab. Si nous suivons la courbe avec la pointe, la roulette va se déplacer en glissant le long du rayon et sera ainsi en cuntact avec des points du plateau animés de diScreutcs vitesses. En résumé, si nous parcourons la courbe de a i c, le nombre des tout-s de la roulette, multiplié par une constante, donnera l'aire comprise entre cette partie de la courbe et l'axe des i.

L'appareil fait la sommation des éléments infiniment petits }-dx.

On voit aisément que le résultat de l'intégration, en admettant que l'appareil soit bien réglé, dépendra des dimensions de la roulette, de l'exactitude géomôtriqne de sa forme et de l'état de ta surface du plateau.

Le glissement de la roulette dans le sens perpendiculaire i son plan est une double source d'erreur ; en premier lieu, parce qu'on n'est jamais sur des réactions en diOéreols sens qui s'y produisent, et enfin, parce que la roulette, s'usant par le frottement, elle tend i devenir polygonalej ce qui change la loi de son mouvemebt, et par suite introduit une erreur dans le résultat.

Le professeur James Thomson a fait un intégrateur, basé sur

C8 LBS INTÉGBArBSB.

21. Le rôle de ta roulette. — Il est un autre poînl de vue, auquel on peut se placer pour définir les caractères dîstinclifs du nouveau système d'intégrateurs.

Lorsqu'on considère le rôle les différents organes qui constituent l'intégrateur, on reconnaît que c'est la roulette qui est l'oigne essentiel du système. La roulette se retrouve dans presque tous les appareils antérieurs aux miens. Mais le rôle qu'elle joue est différent. Ainsi, dans les pianimètres Amsler et Wettli-Starke, qui sont les représentants des deux groupes les plus répandus, l'intégrale est mesurée par le nombre des tours de la roulette.

Dans mes int<-grateurs cette grandeur a pour mesure le déplacement de la roulette dans une certaine direction. La trace de lu

cipe cinématique, qui se rapproche beaucoup, coniroe fonctionnement, de celui (lue je Tiens de décrire, mais i|ui présente ce cùlé caractiirislique qu'il a'j a fa*

de glissement et que les suiTaccs roulent les unes sur tes autres. Cet intégrateur est représenté scKématiquement sur la fig. 49. Nous le citons comme exemple des appareils où le glissement n'a pas lieu.

Il se compose de trois Éléments : plateau, sphâre et cylindre. La sphère, ou touchant les points Uu plateau animés de dilTércntcs vitesses, tourne et transmet son mouvement rotatoire au cylindre, qui Joue ici le rùlc de la roulette dans le planimétre Wettli-Starke. l.a sphère peut se déplacer le long du cylindre en roulant sur une génératrice.

La sphère sert d'intermédiaire entre le cylindre et le platean. Cet intégrateur a été applique par sîr William Thomson, dans sa machine k calculer les marées.

6) Pianimétre Amtler. — Cet admirable instrument est tcllemeat connu et si

CakMTIB IT — PBOratVTKS DC KOCTKHC STSTAvB D'iyTKGUTtCU. 69

roalcUe sur la surface contre laquelle elle est appuvée, est la courbe intégrale, et ce sont les ordonnées qui donnent, i un facteur constant près, la valeur de l'intégrale. On mesure le déplacement de la roulette dans la direction des y. Le nombre de tours de cet organe ne donne que la longueur développée de la courbe intégrale.

Si l'on s'oppose an mouvement de translation de la roulette, c'est la surface qui se déplace, mais les conditions de Tintégration restent les mêmes.

Nous pouvons tirer de cette considération des conséquences

nipinda que DOns ponvooi nous dispeas«r de le décrire en dcUil «t la fig. Sa rappellera si consUncIiOD.

I^ poiat G TMU fiie *ar le plin du dessio. el l'on snil le contour de la conrbe donnée avec le pointe P. Le nonilire de laun de la roulette r mesure, t un factenr ronslant prit, le r^oliat de l'intégra lion, c'est-i^dire l'aire de la conrl>e donnée.

Pip. io.

Il c»t facile de voir qae, pendant l'upcration, U roulette se déplace dans dilTêrcntes directions et qu'elle est obligée de glis»cr ta partie et en partie de se dérouler. Il n'y * que deui positions dans lesquelles elle glisse sans rouler on roule sans Riisser. Le premier cas 1 lieu quand la roulette se déplace perpendiculairement 1 la direction de son plan de rotation, et l'autre quand elle le suit e:

LES IXTCCBAPHES.

im[>ortantes pour déterminer les cooditioDS qoi doivent être remplies par la roulette dans les int^ratears genre Amsler et Wettlî- Starke d'une part, et les miens de l'autre.

Pour rendre le raisonnement que nous allons faire, plus facile â suivre, considérons la figure schématique 7^ comme iypc des appareils décrits dans les chapitres précédents, et nous verrons immédiatement que :

a) Dans le premier groupe, le rayon de la roulette doit être déterminé, et il ne peut varier sans changer le résultat de Fintégration, sans modifier la constante de Tappareil.

b) Dans mes intégrateurs, la grandeur de la roulette ne joue aucun rôle. Le rayon pourrait varier pendant Taccom plissement même de Tintégration sans influencer aucunement le résultat définitif : le déplacement de la roulette dans la direction des^. La roulette pourrait même avoir une forme elliptique ou, en général, quelconque ; elle pourrait changer de forme pendant l'intégration; pourvu que sa phériphérie puisse se développer d'une manière continue sur la surface donnée, le résultat ne sera pas influencé. Il importe uniquement que le plan de la roulette se place toujours dans un plan parallèle aux directrices et que les changements de direction puissent se produire sans glissement.

Ces propriétés constituent un avantage au point de vue de la précision des résultats obtenus, parce que l'usure du bord de la roulette ne peut avoir d'influence sur le résultat final.

Cette usure est surtout fâcheuse à cause de son irrégularité qui finit par donner à la roulette une forme plus ou moins polygonale.

22. Le dispositif général indiqué par la Jig, 7 met en évidence encore une autre propriété intéressante des nouveaux intégrateurs. Dans les intégrateurs antérieurs, la régularité de la surface sur laquelle se promène la roulette est d^une importance capitale. On voit par contre, en examinant Xdijig, 7, que dans le nouveau système cette condition n'a aucune importance, au point de vue théorique, et que la surface peut affecter une forme quelconque, pourvu que les conditions indiquées en b) soient satisfaites (*).

( * ) Nous considérons ici le cas spécial de la roulette appuyée contre un plan. Quand on prend des surfaces cylindriques, les choses se passent autrement.