CHAPITRE V. — LES APPLICATIONS
La courbe élastique qui correspond à l'aire ainsi obtenue, remplira toutes les conditions voulues.
d) Poutre encastrée aux deux extrémités (Jlff. 62). — Si la poutre était simplement appuyée en A et B, l'aire des moments,
pour un poids unique aurait la forme d'un triangle A'B'C. Mais, comme les moments deviennent négatifs aux points d'encastrement, la droite A'B' va changer de position, et venir par exemple en AB. L'aire des moments sera composée de trois triangles dont deux négatifs AA'Q et BB'T, et un positif, QC'T.
Il s'agît de trouver les valeurs de AA' et de BB'.
Supposons que le problème soit résolu et que AA' et BB' donnent les valeurs réelles des moments négatifs aux deux points d'en* castrement. Soit Im V la première, et Un II' la seconde courbe
()8 LES INTEGBAPHES.
intégrale. Cette dernière représente la courbe élastique, laquelle doit avoir ses éléments extrêmes sur la même horizontale II IF.
On satisfait à cette condition seulement dans le cas où le point T se trouve sur la même horizontale que I, c*est-à-dirc dans le cas où la droite I V est une horizontale. Ceci implique que la surface poinlillée doit être égale à zéro :
— AA'Q -f- QCT - BBT = o.
En outre, comme les ordonnées de la seconde courbe intégrale représentent les moments statiques de Taire pointillée, et comme la dernière ordonnée, passant par IF est égale à zéro, le moment statique de cette aire, par rapport à l'axe vertical passant par B doit être égal à zéro.
Nous obtenons ainsi, par la discussion des propriétés des deux courbes intégrales I F et II IF, les deux conditions suivantes, auxquelles doit satisfaire l'aire AA'QC'ÏB'B T QA : I® Celte aire doit être égale à zéro;
?." Son moment statique par rapport à BB' doit être égal à zéro.
Cela suffit pour trouver facilement les valeurs de AA' et BB'. On peut considérer la surface pointillée comme la somme algébrique des aires du triangle positif A'B'C et du trapèze négatif AA'B'B. Ces deux aires doivent être égales, pour satisfaire à la première condition.
La deuxième condition nous indique que le moment statique du trapèze négatif -+• le moment du triangle négatif doit être == à zéro et comme les deux aires sont égales, le centre de gravité du trapèze, doit se trouver sur une même verticale que le centre de gravité du triangle. Ceci indique comment on peut trouver la forme du trapèze AA'B'B. Son centre de gravité doit se trouver sur la droite S'S, passant par L, centre de gravité du triangle A'B'C On trouve un point appartenant à la droite A'B' en menant KV perpendiculaire à AB, par le point K milieu de AB et prenant KV tel que KVAB soit égal à l'aire du triangle A'B'C. Pour trouver un autre point appartenant à la droite A'B', nous
AB prenons BE = —; menons la droite EV, que nous prolongeons
