CHAPITRE V. — t-ES APPLICATIONj

jusqu'à R, FR est égal à AA' el la position du point A' est ainsi déterminée. On s'explique facilement, par un calcul élémentaire, le sens de ces opérations.

Dans tous les exemples cités, nous avons adopté un poids unique comme charge. Mais les solutions indiquées sont générales et peuvent s'appliquer facilement à toutes sortes de chaînes. On peut aussi les étendre aux poutres reposant sur plusieurs points d'appui.

Toutes les constructions indiquées dans ce paragraphe pour

trouver la forme de la ligne élastique et la grandeur des moments d'encaâtremenU ne sont exactes que dans le cas où le moment d'inertie est constant pour toutes les sections de la poutre.

Les procédés indiqués peuvent être appliqués à une charge répartie d'une manière quelconque. Prenons, par exemple, une poutre AB {Jig- 63) encastrée à ses deux extrémités et chargée partiellement, de B à L, d'une manière continue et uniforme. La surface des moments est alors limitée par une droite AM et par un arc de parabole MmB. Pour trouver la position de la droite ZZ', nous déterminons, avant tout, l'axe SS passant par le centre de gravité de l'aire AJVImBA et la grandeur de cette aire. Nous divisons cette grandeur par AB et nous obtenons ainsi la longueur CD, que nous portons en ordonnée au centre de la poutre. Nous joignons ensuite le point E (se trouvant à la distance ; / de A) avec D, et prolongeons ED jusqu'à R. Une horizontale, tracée par R, détermine le point Z', et ZZ' est la position de la droite cherchée.

U0» LEf I5TCCB1PBES.

<. — TacouE DES Tomx.

36. La théorie graphiqae des voûtes se base sur le tracé de la courbe des pressions. Cette théorie ne donne pas les moyens de calculer une %'oûte d*a\'ance; elle donne seolement la possibilité d'essayer si une voûte projetée se troove en équilibre. On procède ordinairement de la manière sni%-ante. On détermine les dimensions de la voûte d'après les données fournies par la pratique et l'on cherche ensuite, en traçant la courbe des pressions, si Ton a satisfait aux conditions de Téquilibre.

Soit TQPNM ijig' 64), la section d'une demi-voûte et de sa surcharge. Admettons, pour simplifier le problème, que la voûte elle-même, ainsi que la surcharge, soient faites d'une matière homogène.

Si nous enlevions en réalité la moitié de la voûte, il faudrait appliquer à sa place une force R pour maintenir l'équilibre. Cette force, la poussée horizontale, combinée avec les poids élémentaires successifs de la voûte, forme la courbe des pressions H^C, dont nous n'avons pas besoin de décrire la signification mécanique.

On obtient ordinairement cette courbe de la manière suivante.

On porte sur une verticale, le poids total de la demi-voûte, soit HF, ensuite on porte sur une horizontale passant par H la valeur de la poussée horizontale HO'; on considère le point O' comme pôle, et l'on trace un polygone funiculaire qui enveloppe la courbe H^C. Chaque côté de ce polygone donne la position de la résultante de la poussée horizontale et du poids de la partie de la voûte se trouvant à droite. Ainsi, le côté passant par g donne la position de la résultante de la poussée R et du poids de PNMQ. Sa valeur est représentée par OT.

La voûte se trouvera en équilibre

i^ Si l'on peut tracer une courbe des pressions, qui ne sorte pas du tiers intérieur de la hauteur des voussoirs;

2^ Si la courbe des pressions rencontre les joints sous un angle qui ne dépasse pas celui qui est imposé par le coefficient de frottement; ^

3® Si les forces agissant sur chaque joint ne sont pas trop grandes, par rapport à la résistance de la matière dont la voûte est construite.

GllAPITRE V. — LES APPLICATIONS. roi

La première condition exige que la courbe des pressions soil ren-

fermée entre les courbes HK cl FD qui partagent la Uauleur radiale

l*n LCf 19TE6BArBC£.

d« b TC^ute en trois parties éfûes, Ctsl h o o M i éq wBBge fies couditioof imposa» par la pratique et se réswKUit ea ceci : 7/ Ji'ei/ /Mif admiâfible guun poùU qmeleomqme dmjimi toii iommus à un effort de tension.

Les Jig* X, jr, z. ^. placées en bas de ^/ig» 64, expliquefoot mieux ces relations. Soit IX' on des joints. Si la Ibvce V a;rît an centre de granité /^cas x) da plan matériel du joint, ce plan va se déplacer parallèlement â lainméme et prendra la position poîntiDée.

Si nons appliquons la force V on pen pins haut (cas^r), alors Taxe neutre, qoi se tronrait dans le premier cas à llnfini. Ta se rapprocher et le plan da joint, en tournant antonr de cet axe, prendra la position inclinée, indiquée en jr^ ÉTidemment, la pression par unité de surface sera plus grande près de L que près deL^

Si nons faisons encore monter le point d^application de la force V, nous arrirerons à une position telle (cas z)^ que Taxe neutre viendra toucher la section, et alors la pression par unité sera nulle en L'.

Si nous continuions à faire monter le point d^application de V, nous arrirerions au cas ^, où les efforts de tension entrent déjà en jeu près du point U, ce qui est inadmissible, parce que le joint de la voûte s'ouvrirait en ce poînt-Ià.

Ainsi, le cas z donne la limite de la position du point d^applîcation de la force V, et cette limite se trouve au tiers de la hauteur du joint, à partir de Textrados. En faisant descendre V, on trouve sur le joint une autre limite du même genre.

Après avoir fait ces quelques remarques générales, nous pouvons passer à l'application de la courbe intégrale. Il est évident que la courbe des pressions est la seconde courbe intégrale de la courbe donnée PQ, en prenant NM comme axe des abscisses et la poussée horizontale comme unité de construction.

Il faut donc commencer par tracer la première courbe intégrale pour l'aire MNPQ. Nous ne savons pas encore en quel point, entre H et F, est appliquée la poussée horizontale; admettons que c'est au point II, point limite supérieur de la clef. Nous ne connaissons pas la valeur de la poussée horizontale et nous sommes obligé d'admettre une unité de construction arbitraire OH.

Nous commençons par tracer la première courbe intégrale, a partir du point H. Le premier élément de cette courbe sera parai-