APPLICATION DE LA ROULETTE AU TRACÉ DE QUELQUES COURBES

La propriété fondamentale de la roulette, appliquée dans tous mes intégrateurs, de tendre toujours à se déplacer dans son plan, peut être utilisée dans la construction d'instruments destinés à tracer différentes courbes.

Toutes les courbes, pour lesquelles la loi déterminant Finclinaison de la tangente avec les axes, dans le cas des coordonnées rectangulaires, ou avec le rayon vecteur dans le cas des coordonnées polaires, est déterminée géométriquement, peuvent être tracées par un appareil à roulette, dans lequel l'orientation de celle-ci sera déterminée par un dispositif mécanique réalisant la loi géométrique donnée.

Le tracé de la courbe intégrale n'est qu'un cas particulier, dans lequel l'inclinaison de la tangente est déterminée en chaque instant par la loi, très générale il est vrai,

tanga^:/

où y est l'ordonnée d'une courbe donnée quelconque et a l'angle que fait la tangente à la courbe intégrale avec l'axe des x,

a) Spirale logarithmique, — Une courbe intéressante, à cause de ses applications dans le calcul graphique, est la spirale logarithmique. Gomme on le sait, cette courbe est représentée en coordonnées polaires par l'équation

r =: ae*' et sa propriété caractéristique est que la tangente à la courbe fait un

l36 LES INTÉGRAPHES.

angle constant avec le rayon vecteur. Cette propriété nous donne immédiatement la possibilité de tracer mécaniquement la spirale logarithmique au moyen d'une roulette. Supposons un cadre formé de deux glissières, et tournant autour d'un point fixe appartenant à l'axe de ce cadre ; sur les glissières se déplace un chariot portant une roulette, de telle sorte, que l'angle de la roulette et de l'axe du bâtis puisse prendre une valeur quelconque.

Il est évident maintenant que si l'on fixe l'étrier de la roulette de manière que l'angle de celle-ci avec l'axe du bâtis soit constant, et qu'on imprime à ce dernier un mouvement de rotation autour de son point fixe, ce chariot va se déplacer le long des glissières et la roulette décrira sur le papier la spirale logarithmique déterminée par l'angle initial.

On pourrait se servir d'un papier spécial au moyen duquel la roulette laisserait une trace; mais il est évidemment préférable d'avoir la courbe tracée par un tire-ligne.

Le problème se ramène donc à trouver un autre point du plan qui décrive aussi une spirale logarithmique; d'après les propriétés de cette courbe, on sait que les points où la tangente et la norniale rencontrent la perpendiculaire au rayon vecteur décrivent des courbes identiques à la spirale donnée; il serait assez facile au moyen d'un système de coulisses de placer le tire-ligne en un de ces deux points; mais cela entraînerait nécessairement des frottements et compliquerait l'appareil.

Il est plus simple pour la construction pratique, de placer le tire-ligne en un point quelconque du rayon vecteur; on obtient ainsi une courbe qui satisfait à l'équation générale

r =1 rte^? -h ^,

où b représente la distance du tire-ligne au centre de la roulette. La spirale logarithmique ne serait qu'un cas particulier de cette courbe plus générale, dans lequel le cercle asymptotique de rayon b se réduit à un point. Pour le calcul il suffit alors de retrancher ou d'ajouter une même quantité b à chaque rayon vecteur.

Comme on le voit par la fig, 90 qui représente le modèle de cet appareil, la roulette est portée par un cylindre A creux muni d'un repère et pouvant tourner entre deux joues B formant le corps

APPENDICE. l37

du chariot; on peut ainsi tracer les courbes correspondant à des spirales d'un angle quelconque, au moyen du repère et de la graduation gravée autour du cylindre.

Le chariot est porté par quatre galets horizontaux C,c qui roulent le long des deux glissières D,D formant le bâtis.

Le tire-ligne peut être fixé dans l'une ou Tautre des douilles E,E.

Fig. 90.

Le bâtis est supporté par une douille pénétrant dans un canon qui détermine le centre de la courbe ; ce canon fait lui-même partie d'un disque K muni de trois pointes que Ton fixe sur le papier.

La douille est solidaire de la traverse du bâtis, et celui-ci peut en outre pivoter autour des pointes a, a, de sorte que Ton peut relever l'appareil du papier sans changer le centre.

b) Courbe exponentielle. — La courbe bien connue déterminée en coordonnées rectangulaires par l'équation

peut également être tracée mécaniquement au moyen d'un appareil à roulette très simple, en se basant sur la propriété caractéristique delà constance de la sous-tangente.

L'appareil le plus simple consisterait en un bâtis glissant le long d'une parallèle à l'axe des x, soit en le montant sur galets, soit au moyen d'un assemblage à languette.

Ce bâtis porte lui-même un chariot pouvant se déplacer dans la direction perpendiculaire au premier mouvement; sur ce chariot est fixé l'étrier de la roulette, de telle sorte qu'il puisse tourner librement autour d'un axe vertical.

L'orientation de la roulette serait alors déterminée par l'incli-

liH LES INTÉGRAPIIES.

naison d'une tige pouvant coulisser dans une douille, fixée sur un bras rigide faisant partie du bâtis principal; le plan de la roulette serait alors toujours dans le plan vertical passant par cette tige.

La douille doit elle-même être mobile autour d'un axe vertical dont la trace sur le papier décrirait, pendant le mouvement, l'axe des X,

Pour tracer la courbe au moyen d'un tire-ligne, il faudra encore user d'un artifice : le plus simple serait de prendre deux roulettes, et de placer le tire-ligne au milieu.

QUADRATURE DES DIAGRAMMES OBTENUS PAR LE DYNAMOMÈTRE D INERTIE DE M. DESDOUITS.

M. Desdouits, ingénieur au\ chemins de fer de l'Etat, a imaginé un dynamomètre très simple et très ingénieux, destiné à l'étude des systèmes en mouvement, et qui a été appliqué avec succès à l'étude des eflbrts moteurs et résistants développés dans la traclion des trains de chemins de fer (* ).

Ce dynamomètre d'inertie enregistre la courbe des accélérations, en fonction du temps, dont les courbes intégrales représentent les courbes de vitesse et celle des espaces parcourus.

Nous laissons la parole à M. Desdouits, pour la description du principe et de la forme la plus simple de son dynamomètre.

(i Si, dans un système en mouvement de masse M, on considère isolément un élément de petites dimensions m, on peut, suivant la règle de d'Alembert, poser les relations d'équilibre entre les forces réelles et fictives qui le sollicitent, savoir : les forces de liaison qui rattachent la masse considérée au reste du système; l'action de la pesanteur appliquée en son centre de gravité, enfin les forces d inertie de ses différents points. Si les forces de liaisons sont telles qu'on puisse les déterminer en grandeur et en direction, l'action de la pesanteur étant également connue, les relations d'équilibre donneront la valeur des forces d'inertie : en d'autres termes, elles feront connaître l'accélération totale de la masse m.

(•) Revue générale des chemins de fer; octobre i 5S3.

» Dans le cas le plus général du mouvement des systèmes matériels, il faut et il suffit que raccélération de trois éléments de masse soit ainsi déterminée pour qu'on en puisse conclure l'état dynamique du système entier.

» Si nous admettons^ pour rentrer dans les conditions plus simples de la pratique, que le mouvement d'ensemble se réduise, soit à une translation dans un plan, soit à une rotation suivant une circonférence de grand rayon (*), tous les points du système au-

Fig. 91.

ront la même accélération. 11 suffira de considérer l'équilibre relatif d'w/i élément de masse m. L'accélération w de cet élément, ou sa force d'inertie mw étant déterminée, on en conclura la force d'inertie M«^ du système total, égale à la résultante des forces extérieures qui lui sont appliquées.

» La grandeur absolue de la masse dynamométrique m est évidemment arbitraire, et entièrement indépendante des dimensions et de la masse du système total. On peut la prendre aussi petite que l'on voudra, sans que la précision des mesures en soit en rien affectée. Qu'il s'agisse de déterminer les conditions dynamiques d'un train de chemin de fer lourdement chargé ou d'un navire du plus fort tonnage, cette étude n'exigera que l'emploi d'un appareil portatif.

» Une forme tout à fait élémentaire de cet appareil est la suivante : une petite masse m formant pendule peut osciller dans un plan parallèle à la direction du mouvement : ce pendule prend à

(') Le mouvement d'un train de chemin de fer, soit en alignement droit, soit on courbe, rentre dans l'un ou l'autre de ces deux cas

j4o les INTëGRAPUES.

chaque instant une position angulaire, déterminée par la valeur de raccéléralion positive ou négative (v dont le système est animé (*). Pour un écart angulaire a, Faccélération de la pesanteur étant g^ on a :

tan{;a = — • g

» Un crayon monté dans le prolongement de la tige du pendule, et constamment poussé par un ressort, s'appuie sur la génératrice supérieure d'un tambour à axe horizontal {fig- 91); ce tambour étant animé d'un mouvement de rotation continu, la pointe du crayon trace un diagramme dont les ordonnées représentent l'accélération à chaque instant. On a, en effet,

AA'— r — OAtanffx = OA -•

ce qui donne pour l'accélération :

Cl' — V

el pour l'effort total appliqué au système

— est l'échelle des accélérations; ^rr- est l'échelle des forces. g ^^g

» Le mouvement du tambour enregistreur peut être commandé, soit au moyen d'une transmission qui produit un entraînement proportionnel aux espaces parcourus, soit par un mécanisme d'horlogerie qui donne des abscisses proportionnelles aux temps. Ce dernier mode de commande a le grand avantage de n'exiger aucune dépendance entre le dynamomètre et le mécanisme moteur ou les essieux. Il est aussi^ dans la plupart des cas, le plus favorable pour

(') Nous supposons ici un mouvement de translation rectiligne; c'est celui d'un train de chemin de fer en alignement droit. Pour le mouvement en courbe, on aurait à considérer séparément l'accélération tangentiellc et raccéléralion centripète dans un plan perpendiculaire; cette dernière est d'ailleurs déterminée par la connaissance du rayon de In courbe.

APPENDICE. l4l

l'analyse des résultats. Nous le supposerons employé d'une manière normale.

» Dans ces conditions, le diagramme représente la loi des accélérations en fonction du temps :

» La quadrature de ce diagramme, eflectuée par ordonnées successives, donne la loi des vitesses :

» Si Ton traduit cette dernière relation par le tracé d'une courbe, une nouvelle quadrature fournira la loi des espaces :

/ i'r// = / --^-dt z=L I de ^:=ie — ey.

)> On voit que, sans aucune complication de mécanisme auxiliaire, cet appareil fonctionne à la fois comme dynamomètre, comme lac hy mètre et comme stadiomètre.

» La forme très simple qu'on vient d'indiquer est susceptible d'une exécution pratique. Elle convient pour la mesure des efforts dont la valeur est grande relativement à la masse actionnée : ainsi, elle a été avantageusement appliquée à l'étude des freins continus, dont l'énergie atteint i5 à 20 pour 100 du poids du train.

» Elle serait, au contraire, d'une application médiocre pour la mesure de forces relativement faibles, comme celles qui se développent dans les circonstances ordinaires de la marche des trains, et dont la valeur ne dépasse guère 8 à 10 millièmes du poids total.

» L'écart du pendule ne serait alors que de quelques millimètres par mètre, et l'on ne pourrait obtenir une échelle convenable des ordonnées, qu'en donnant à la tige une longueur démesurée, ou en donnant des multiplications de mouvement, expédient qui laisse beaucoup à désirer. »

Pour des applications spéciales, M. Desdouits a construit d'autres appareils qui fonctionnent exactement suivant le môme prin-

M^' , l'ES INTÉGRAPIIES.

cipe, mais dont la sensibilité varie à volonté entre les limites les plus étendues (*).

Comme exemple, nous allons citer les observations sur le fonctionnement de divers freins continus. Les courbes intégrales obtenues par le calcul ne sont pas disposées sur les figures, comme nous avons eu l'habitude de le faire dans nos figures précédentes, mais le lecteur retrouvera facilement leurs relations avec les courbes données.

Voici le texte de M. Desdouits :

<( 11 a été fait aux chemins de fer de TÉtat une série complète d'expériences sur les divers systèmes de freins continus appliqués

I Machine G. V

freiné.

Poids non freiné.

total.

iC) l.

I Tender

8 Véhicules remorqués et foursons

(voitures

Total

dans des conditions exactement comparables à des trains de composition identique effectuant régulièrement les mêmes parcours à tour de rôle.

» De nombreux diagrammes ont été relevés sur ces trains : ils ont permis de faire une analyse détaillée du fonctionnement des freins et, dans plus d'une occasion, ils ont indiqué les améliorations à réaliser. Nous ne saurions entrer ici dans le détail de ces (essais. »

Nous nous bornerons à reproduire, à titre d'exemple, un diagramme relevé pour chacun des freins, dans des conditions moyennes. L'analyse de ce diagramme fait aisément ressortir les traits caractéristiques de chaque système.

(( Pour rendre la comparaison plus sensible, nous avons super-

(•) Voir La Lumière Électrique^ Vol. XII. Dubost : Dynamomètre d'inertie.

divers freins ('}, ainsi que l'indique la légende de \afig. 92.

(') Le montage 'lu frein Wc^Unglinusc c^I le rnùmc (|u rOoest.

Ij; frein k vide Hardy Ci\ k une scuk conduite, non auto

Le frein électrique Acliard présente les mimes tlispo^ chemin de fer de l'Est ; toulcr<>is, il a sulii dans le rour améliorations importantes.

Le frein Wcnger est disposé comme au chemin de fer d'Orléans. Pour nier, d'ailleurs, les essais n'ont commencé que tout

pi..

144 I^ES INTÉGRAFliES.

» Tous les diagrammes correspondent à une ^âtesse initiale de 6o^'" (•).

» La composition des trains est indiquée dans le tableau (col. i"^).

» Il résulte de ce tableau que la proportion du poids freiné au poids total est de "jô pour loo.

» L'échelle des diagrammes est :

Pour le temps : o"»,oo5 par sct^onde.

Pour les efforts

o«,oo26 par — du poids total.

^ loo ^

o"»,oo2o par — du poids freine.

lOO

» Serrage. — Le frein électrique est celui dont le serrage est de beaucoup le plus rapide. Son action est complète après un intervalle notablement plus petit que i seconde, à partir de Tins tant où a commencé la manœuvre. On peut dire que sous ce rapport important le frein électrique touche à la perfection.

» Le frein Westinghouse a encore un serrage rapide : la pression sur les sabots se manifeste instantanément, et croît progressivement pour atteindre sa pleine action , après 3 secondes environ.

» Dans Tappareil Smith-Hardy, le serrage se développe à partir de rinstant initial, suivant ime progression régulière, mais assez lente. Il n'est* guère complet (pour la totalité du train), qu'après 8 ou lo secondes, durée qui diflere peu de celle exigée pour l'arrêt total en supposant une vitesse moyenne. Nous n'avons pas été à même d'observer comment varie la durée du serrage pour des trains de diflférentcs longueurs, mais nous avons pu constater que l'action de ce frein dépend essentiellement de la manière de manœuvrer le robinet de réjecteur. On peut, en le manœuvxant brusquement, obtenir un serrage un peu plus rapide que celui de notre diagramme; mais ce résultat n'est obtenu qu'aux dépens de la valeur absolue du vide, et de Teflort d*enrayage.

» Le frein Wenger serre un peu moins rapidement que le Westinghouse et plus vite que le frein à vide.

(*) L^'è^lîiè des aires indique lc$alilé des vitesse» amorties.

» Effort absolu. — Nous nommons effort absolu la valeur qu^atteint la force retardatrice, lorsque le serrage est complet. Celte valeur dépend de la vitesse, à cause de la variation du coefficient de frottement. On peut convenir, pour plus de précision, de mesurer pour chaque frein l'effort absolu à une vitesse déterminée, par exemple, 5o^"*.

» Dans nos expériences, les efforts absolus ont oscillé autour des coefficients suivants :

Frein Westinghouse 1 8,5 du poids freiné.

— Smith-Hardy i8 » — (»)

— Wenger i5 »

— Âchard i5 » —

» On remarquera que ces chiffres définissent les conditions de montage de chacun des freins sur nos trains d'essais, bien plutôt que la valeur des systèmes en eux-mêmes; au point de vue de la puissance absolue, tous les systèmes sont en réalité équivalents, et la limite de leur énergie est déterminée par la seule condition de l'adhérence.

» Effort effectif. — L'effort effectif, pour chaque frein, est la valeur de la force constante qui, appliquée au train pendant toute la durée de l'arrêt, aurait permis d'amortir la même vitesse dans le même parcours : c'est, en d'autres termes, le quotient de la demi-force vive initiale par la longueur de l'arrêt.

» La valeur de la vitesse initiale est fournie, pour chaque diagramme, par la quadrature de l'aire totale comprise entre la courbe et l'axe des abscisses. L'espace parcouru s'obtient par le calcul de l'aire de la courbe intégrale.

» On trouve ainsi, pour l'effort effectif des divers freins, dans les arrêts que nous avons pris pour type :

Frein Westinghouse. ia,i du poids total et i5,9 du poids freiné.

— électrique ii » — i{,5 —

— Wenger 10,2 — i3,4 —

— Smith-IIardy. . 9,2 — ia,i —

(*) La valeur de rcffort absolu est difficile à déterminer pour le frein Hardy, à cause de son grand retard au serrage. On ne peut la déduire que des diagrammes d'arrôts effectués à très grande vitesse.

l46 LES 1NTÉGRAPUES.

y> On remarquera le relèvement du coefficient du frein électrique dû à la promptitude de son serrage.

» Desserrage. — Le frein électrique présente pour le desserrage, comme pour le serrage, une grande supériorité. La durée du desserrage complet est inférieure à toute appréciation.

» Pour les freins Westinghouse et Smith-Hardy, le desserrage complet n^exige pas moins de 4 à 5 secondes.

» Le frein Wenger paraît desserrer dans un temps plus considérable. Nous ne saurions toutefois conclure d'une manière absolue à cet égard, ce frein ayant été introduit tout récemment, et sa manœuvre n'étant pas encore bien connue des agents.

» On remarquera sur les diagrammes que, dans le cas du frein électrique, l'ordonnée s'élève beaucoup dans les derniers instants de l'arrêt, tandis que pour les autres freins elle s'abaisse progressivement, pour tomber à zéro à l'instant même de l'arrêt. Ce fait tient à la manière dont la manœuvre s'effectue suivant les cas.

)) Avec le frein électrique, le desserrage étant assuré dans un temps inappréciable, le machiniste peut maintenir la pression des sabots jusqu'au dernier tour de roue de la locomotive, et ne la faire cesser qu'un instant avant l'arrêt absolu, sans avoir à craindre de réaction fâcheuse dans l'ensemble du train. L'accroissement rapide qu'on observe dans la valeur de l'ordonnée correspond à l'augmentation du coefficient de frottement, phénomène sur lequel les travaux de M. le capitaine Douglas Galton ont attiré l'attention, et qui ressort très nettement de l'examen de nos diagrammes.

» Pour les freins pneumatiques, au contraire, il est nécessaire de commencer le desserrage plusieurs secondes à l'avance, pour permettre au train de se détendre avant l'arrêt. Si, par suite d'une fausse manœuvre ou de toute autre cause, le serrage total est maintenu jusqu'à la fin, on observe le même accroissement de l'ordonnée que dans le cas du frein électrique ; mais il se produit à l'arrêt, ou quelques instants après, des secousses plus ou moins violentes. Ces secousses sont complètement évitées dans la manœuvre du frein électrique. »

Le deuxième exemple que nous donnons ici se rapporte au mouvement d'un train en marche normale.

<i Le diagramme {fig. gS) a été relevé entre deux intcrvatles consécutifs de stations : d'Azay à Rivarennes, de Rivarennes à lluismes (Hgne de Tours aux Sables : a24'"7 — a 1 7*°3 — 2o6*'"6).

Fig. 93.

» Le trajet d'Azay à Rivarennes est en proRI facile : palier ou rampes de o",ooi à o™,oo3. Celui de Rivarennes à Huismes est formé presque en entier par la succession d'une rampe de o^jOiS et d'une pente de mùme inclinaison et de longueur à peu près égale, séparées par un court palier; courbes de 5oo™ à looo™.

>> Le train formé de 8 véhicules, d'un poids moj'en de 1 1 tonnes, est remorqué par une machine à 4 roues couplées, de a™ de diamètre.

V Poids total, i38 tonnes. — Poids remorqué, 78 tonnes.

l48 LES INTÉGRAPHES.

)) L'échelle des diagrammes est :

Pour les temps : o™,oo25 par minute.

Pour les forces : o™,ooi5 par — du poids total.

lOO

» Toutes les phases de la marche se dessinent sur le développement du diagramme.

» En a, au départ d'Azay, on observe une ordonnée de valeur considérable, correspondant à V effort de démarrage (démarrage au petit régulateur, la marche en avant à fond de course).

» En 6, diminution notable de l'ordonnée, par suite de la résistance due au passage du train sur l'aiguille de sortie de la gare, disposée pour donner accès sur la voie d'évitement.

» En c, le mécanicien ramène sa marche vers le point mort, puis il ouvre le régulateur en grand.

jï De d en e, l'effort moteur est maintenu un peu au-dessus de la valeur de l'effort résistant ; la vitesse va en croissant progressivement jusqu'à 60**"* environ.

» En e, fermeture du régulateur. A partir de ce point, l'ordonnée accuse la résistance propre du train.

» En y, action du frein pour l'arrêt à l'aiguille de Rivarennes, où doit avoir lieu un croisement.

» En g^ mise en marche de la machine suivie de l'action du frein, à deux reprises.

» (L'égalité des aires positive et négative, à partir du passage à l'aiguille, indique que Varrêt complet a été effectué réglementairement).

ï) De A en A:, arrêt à Rivarennes.

» En A:, démarrage. A partir de ce moment, la marche est maintenue à un cran élevé, pour lancer le train et lui permettre ensuite de gravir la longue rampe de o™,oi5.

» En / (arrivée au palier) fermeture du régulateur.

» En m, action de la contre-vapeur pour modérer la vitesse dans la descente : cette action est supprimée en n,

» En/?, à l'approche de la station de Huismes, action du frein pour l'arrêt.

» De q k r, arrêt à Huismes.

» Toutes les circonstances intéressantes de la marche sont ainsi

APPENDICE. l40

enregistrées et contrôlées. — La quadrature du diagramme, combinée avec les indications de pentes fournies par le profil en long détermine la corrélation de tous ces faits avec la vitesse et avec la position du train sur la ligne.

» Nous avons fait cette opération pour la section du parcours comprise entre Rivarennes et Huismes.

» On reconnaît sur Fépure que le train a été lancé à partir de la station à une vitesse de 42"'" à 43*^™. Pendant la montée de la rampe, cette vitesse est tombée progressivement à 25'*". A partir du palier, elle est remontée rapidement jusqu'à une valeur de 72"", à partir de laquelle on a fait usage de la contre-vapeur, qui l'a ramenée un peu au-dessous de cette limite; enfin la vitesse a été amortie aux approches de la station par l'action du frein.

» La longueur du trajet, déduite de l'épure, ne présente pas de différence appréciable avec celle qui résulte du kilométrage officiel. Ce résultat vérifie de la manière la plus concluante l'exactitude du fonctionnement de l'appareil.

» Nous pourrions relever sur le même diagramme des données dynamiques importantes, tant sur la résistance propre du train que sur la valeur effective des efforts produits dans le démarrage, dans la marche aux divers crans de la coulisse, dans l'action de la contre-vapeur.

» Nous devons nous contenter d'avoir signalé cette étude que nous ne pouvons aborder ici avec les développements qu'elle comporte. »

Je crois qu'il ne serait pas diflîcile de combiner, avec le dynamomètre d'inertie de M. Desdouits, mon intégrateur à roulette et cylindre qui ferait automatiquement la totalisation des indications du dynamomètre.

l5o LES INTÉGRAPUE8.

NOTE RELATIVE AUX ÉTUDES DE 6. CORIOLIS SUR LE TRACÉ MÉCANIQUE DE CERTAINES COURBES.

CorîoHs a étudié (*), en i836, la forme que prend un fil tendu, enroulé autour d'un cylindre et adhérant par frottement à sa surface. Appliquant la propriété des courbes ainsi obtenues, d'après laquelle la direction des tangentes en chaque point est toujours celle de la partie du fil tendu avant qu'il s'enroule, il a indiqué le moyen de donner à ce fil la forme de plusieurs courbes dont l'équation difTérenlielle se prêtait à la traduction mécanique. Cet appareil répond, comme on voit, à un cas très particulier. Nous reproduisons la description entière de ses appareils :

(c Si l'on conçoit qu'un fil tendu s'enroule sur un cylindre, et que le frottement y soit assez fort pour empêcher ce fil de glisser le long de la surface contre laquelle il est enroulé, la courbe formée par le fil sur la surface du cylindre, développée ensuite sur un plan, jouira de la propriété que la direction de sa tangente sera toujours celle de la partie du fil tendue en ligne droite avant qu'elle s'enroule.

» Si donc on peut donner au fil, dans cette partie, une direction qui résulte de l'équation différentielle d'une courbe, celle-ci se trouvera tracée sur le cylindre, en prenant pour abscisses les arcs comptés sur la base du cylindre.

» Cette considération conduit à un tracé assez simple de plusieurs courbes.

» On voit de suite que l'exponentielle dont l'équation est

dy y dx

dx^ a dy '

peut se décrire en enroulant sur un cylindre un fil tendu, qui passe toujours par un point fixe. Ce point doit être à la distance a de la génératrice du cylindre, qui se trouve dans le plan tangent mené par ce point.

» J'ai fait construire, d'après cette remarque, une machine au

( ' ) Journal de Liouville, i836, p. 5.

APPENDICE. l^I

moyen de laquelle un fil tendu par un léger poids s'enroule ou se déroule autour d'un cylindre, en passant par un petit trou percé dans une plaque mobile, qu'on approche ou qu'on écarte à volonté du cylindre. Une aiguille et un cadran indiquent les tours et fractions de tours, dont on a tourné le cylindre. Ce sont ces quantités que représentent les exposants. Une échelle placée contre la génératrice du cylindre, sur laquelle se trouve toujours le point où le fil s'en sépare^ indique, à partir du zéro de l'échelle, les exponentielles qui répondent aux exposants indiqués sur le cadran. On conçoit comment cette machine opère facilement tous les calculs d'intérêts composés. La marche de l'aiguille répond aux durées des placements, et les nombres qu'on lit sur l'échelle, au point où le fil se sépare du cylindre, indiquent ce que sont devenues les sommes placées, ou ce qu'elles doivent être pour l'escompte.

» La chaînette, dont l'équation différentielle est

ou bien

se dessine d'une manière analogue à la logarithmique. Il suffira de placer, dans un plan tangent au cylindre, une poulie dont le centre soit sur la génératrice de contact et dont a soit le rayon. En faisant dérouler sur cette poulie le fil qui s'enroule sur le cylindre, il s'y pliera suivant une chaînette. » Si l'on avait l'équation différentielle

ou bien en faisant

)) On décrirait encore assez facilement la courbe qui répond à cette équation au moyen du relief de la courbe dont l'ordonnée

■ Sa LKS INTÊGRAPOee.

esl ç(:c). Pour cela, il suffirail d'avoir d'abord {Jig- 94) ""^ règle AMX., dont un c6té AX serait droit, et l'autre, AM, fermerait la courbe dont 9(^) — r serait l'ordonnée, r étant le rayon du cylindre. Ensuite, on ferait tourner le cylindre en appliquant contre sa base la règle AX. Si le fil qui s'enroule reste dans le phin vertical PM, ce qui est facile à obtenir en l'appliquant contre un plan fixe, et qu'il passe ainsi sur la courbe AM en M, il est clair qu'il formera sur le cylindre une courbe telle qu'en se déroulant sur un plan elle satisferait à l'équation différentielle

ci-dessus, puisque la sous-iangenie l'M serait t'gale à •^{x)-, x étant l'abscisse mesurée sur la base circulaire du cyKndre.

» Il ne serait pas impossible non plus de décrire les courbes données en général par l'équation

B Pour cela on concevrait d'abord une surface exécutée en relief, ayant pour ordonnée

1) Ce relief tiendrait à une règle AX, comme tout à l'heure, contre AM, mais il n'y serait iixé que dans le sens des x; dans celui de l'axe A.e^y, que je suppose ici vertical, c'est-à-dire parallèle à l'axe du cylindre, il serait parfaitement libre de monter cl de descendre. Le mécanisme, pour cela, peut se disposer de plusieurs manières, très faciles à exécuter,

A Pendant qu'on tournerait te cylindre, en faisant avancer la

APPENDICE. l53

règle qui lient au relief dans le sens de l'axe des x^ et la pressant contre la base du cvlindre, on aurait soin de tenir le relief à la main, à une hauteur telle que l'axe des x fût toujours à la hauteur du point où le fil quitte le cylindre, c'est-à-dire au point décrivant la courbe en question. Alors, si le fil tendu en quittant le cylindre va passer par le point où la surface du relief est rencontrée par une perpendiculaire fixe PM, la courbe suivant laquelle il se pliera sur le cylindre, en la rapportant aux arcs de cercle pour abscisses, aura cfiectivement pour équation

car la sous-tangente sera toujours

» On devra placer le solide du relief en dehors de l'espace APM, et faire passer le fil à l'extrémité d'une tige PM, qtii, par l'action d'un poids ou d'un petit ressort de pression, sera forcée d'appuyer en M, contre le relief.

» On peut s'arranger facilement pour que le petit poids /?, qui tiendra le fil tendu, serve en même temps à appliquer la tige PM contre la surface. Il suffira de conduire d'abord le fil à travers un très petit trou percé à l'extrémité M de la tige, puis de le renvoyer horizontalement à l'autre extrémité N, où il passera sur une poulie tenant à cette même tige, pour revenir passer sur une autre poulie fixe en dessous de p et tout auprès, et pour soutenir le poids p; celui-ci tirera la tige de N en M avec la force 2/?, et de M en N, avec la force plus petite

p{\ 4-cosa),

a étant ici l'angle dont la tangente est égale -^- La tige sera donc

toujours pressée contre le relief.

» Pour que ce moyen de description de courbe soit praticable, il faut que le fil, une fois appliqué sur le cylindre, ne s'y dérange pas par Tefi^et de la flexion qu'il y prend. 11 y a pour cela une relation nécessaire entre le rayon r du cylindre et la nature de la

l54 LES I5TÉGBAPHE8.

courbe représentée par Féquation

dv ..

» Soient M un point quelconque, MM' un élément, et r le ravon de courbure en M de la courbe AMB formée par le fil enroulé sur le cvlindre. Deux tensions contraires sollicitent Télément MM' à ses deux bouts ; ces deux tensions donnent lieu à une résultante dont la direction coïnciderait avec le rayon r, si le frottement dans le sens du fil était nul : quelle que soit Tintensité du frottement^ la direction de cette résultante sera située dans le plan osculateur de la courbe ÂMB, et fera avec le plan tangent en M, au cvlindre, un certain angle &. Cela posé, pour que le fil ne glisse pas sur la surface du cylindre, il faudra évidemment que Ton ait

ung£ > :x,

(1 étant le rapport du frottement à la pression. On devra donc choisir le rayon r de manière que Tinégalité tang ^> ^ soit toujours satisfaite. »