Cette lettre ne nous est pas parvenue

Pierre de Carcavi (?-i684), conseiller au grand conseil de Paris, puis, sous Colbert, bibliothécaire du roi. Il compte parmi les premiers membres de l'Académie des sciences. C'était un grand ami de Pascal, et Baillet a écrit dans sa Vie de Monsieur Descartes (t. II, p. 378), à la date de 16^9 : « M. Pascal n'avait point encore alors d'ami plus intime que lui (Carcavi), sans en excepter même M. de Roberval ni Messieurs de Port-Royal, qu'il ne connut parfaitement que depuis. Il lui en avait donné des marques depuis peu par le beau présent de la merveilleuse machine d'arithmétique qu'il avait inventée. »

J'admire bien davantage la méthode des partis que celle des dés ; j'avais vu plusieurs personnes trouver celle des dés, comme M. le chevalier de Méré l, qui est celui qui m'a proposé ces questions, et aussi M. de Roberval ; mais M. de Méré n'avait jamais pu trouver la juste valeur des parties, ni de biais pour y arriver, de sorte que je me trouvais seul qui eusse connu cette proportion.

Votre méthode est très sûre et est celle qui m'est la première venue à la pensée dans cette recherche ; mais parce que la peine des combinaisons est excessive, j'en ai trouvé un abrégé, et proprement une autre méthode bien plus courte et plus nette, que je voudrais pouvoir vous dire ici en peu de mots ; car je voudrais désormais vous ouvrir mon cœur, s'il se pouvait, tant j'ai de joie de voir notre rencontre. Je vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris.

Voici à peu près comme je fais pour savoir la

1. Antoine Gombaud, chevalier de Meré (i6io-i685), en qui Sainte-Beuve (Portraits littéraires, t. III, p. 89) a vu le type de l'honnête homme au xvne siècle, M. Ch. H. Boudhors a publié dans la Revue d'Histoire littéraire de la France (janvier-mars et avril-juin ic)i3) un remarquable travail sur les rapports de Meré avec Pascal.

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valeur de chacune des parties, quand deux joueurs jouent, par exemple, en trois parties, et chacun a mis 32 pistoles au jeu :

Posons que le premier en ait deux et l'autre une ; ils jouent maintenant une partie, dont le sort est tel que, si le premier la gagne, il gagne tout l'argent qui est au jeu, savoir, 64 pistoles ; si l'autre la gagne, ils sont deux parties à deux parties, et par conséquent, s'ils veulent se séparer, il faut qu'ils retirent chacun leur mise, savoir, chacun 32 pistoles.

Considérez donc, Monsieur, que si le premier gagne, il lui appartient 64 ; s'il perd, il lui appartient 32. Donc s'ils ne veulent point hasarder cette partie, et se hasarder sans la jouer, le premier doit dire : « Je suis sûr d'avoir 32 pistoles, car la perte même me les donne ; mais pour les 32 autres, peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez ; le hasard est égal ; partageons donc ces 32 pistoles par la moitié, et me donnez, outre cela, mes 32 qui me sont sûres. » Il aura donc 48 pistoles et l'autre 16.

Posons maintenant que le premier ait deux parties et l'autre point, et ils commencent à jouer une partie. Le sort de cette partie est tel que, si le premier la gagne, il tire tout Parlé

gent, 64 pistoles ; si l'autre la gagne, les voilà revenus au cas précédent, auquel le premier aura deux parties et l'autre une.

Or, nous avons déjà montré qu'en ce cas il appartient à celui qui a les deux parties, 48 pistoles ; donc, s'ils veulent ne point jouer cette partie, il doit dire ainsi : « Si je la gagne, je gagnerai tout, qui est 64 ; si je la perds, il m'appartiendra légitimement 48 ; donc donnez-moi les 48 qui me sont certaines au cas même que je perde, et partageons les 16 autres par la moitié, puisqu'il y a autant de hasard que vous les gagniez comme moi. » Ainsi il aura 48 et 8, qui sont 56 pistoles.

Posons enfin que le premier n'ait qu'une partie et l'autre point. Vous voyez, Monsieur, que, s'ils commencent une partie nouvelle, le sort en est tel que, si le premier la gagne, il aura deux parties à point, et partant, par le cas précédent, il lui appartient 56 ; s'il la perd, ils sont partie à partie, donc il lui appartient 32 pistoles. Donc il doit dire : « Si vous voulez ne la pas jouer, donnez-moi 32 pistoles qui me sont sûres, et partageons le reste de 56 par la moitié. De 56 ôtez 32, reste 24 ; partagez donc 24 par la moitié, prenez-en 12 et moi 12, qui, avec 32, font 44. »

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Or, par ce moyen, vous voyez, par les simples soustractions, que pour la première partie il appartient sur l'argent de l'autre 12 pistoles, pour la seconde autres 12, et pour la dernière 8.

Or, pour ne plus faire de mystère, puisque vous voyez aussi bien tout à découvert, et que je n'en faisais que pour voir si je ne me trompais pas, la valeur (j'entends la valeur sur l'argent de l'autre seulement) de la dernière partie de deux est double de la dernière partie de trois et quadruple de la dernière partie de quatre et octuple de la dernière partie de cinq, etc.

Mais la proportion des premières parties n'est pas si aisée à trouver : elle est donc ainsi, car je ne veux rien déguiser, et voici le problème dont je faisais tant de cas, comme en effet il me plaît fort :

Etant donné tel nombre de parties qu'on voudra, trouver la valeur de la première.

Soit le nombre des parties donné, par exemple, 8. Prenez les huit premiers nombres pairs et les huit premiers nombres impairs, savoir : 2, 4, 6, 8, 10, 12, i4, 16, et t, 3, 5, 7, 9, 11, i3, i5.

Multipliez les nombres pairs en cette sorte : le premier par le second, le produit par le troi-

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sième, le produit par le quatrième, le produit par le cinquième, etc. ; multipliez les nombres impairs de la même sorte : le premier par le second, le produit par le troisième, etc.

Le dernier produit des pairs est le dénominateur, et le dernier produit des impairs est le numérateur de la fraction qui exprime la valeur de la première partie de huit ; c'est-à-dire que, si on joue chacun le nombre de pistoles exprimé par le produit des pairs, il en appartiendra sur largent de l'autre le nombre exprimé par le produit des impairs.

Ce qui se démontre, mais avec beaucoup de peine, par les combinaisons telles que vous les avez imaginées, et je n'ai pu le démontrer par cette autre voie que je viens de vous dire, mais seulement par celle des combinaisons. Et voici les propositions qfti y mènent, qui sont proprement des propositions arithmétiques touchant les combinaisons, dont j'ai d'assez belles propriétés.

Si d'un nombre quelconque de lettres, par exemple, de 8 : A, B, C, D, E, F, G, H, vous en prenez toutes les combinaisons possibles de à lettres, et ensuite toutes les combinaisons pos-

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siblcs de 5 lettres, et puis de 6, de 7 et de 8, etc., et qu'ainsi vous preniez toutes les combinaisons possibles depuis ia multitude, qui est la moitié de la toute, jusqu'au tout : je dis que, si vous joignez ensemble la moitié de la combinaison de 4 avec chacune des combinaisons supérieures, la somme sera le nombre tantième de la progression quaternaire à commencer par le binaire, qui est la moitié de la multitude.

Par exemple, et je vous le dirai en latin, car le français n'y vaut rien :

Si quotlibet litterarum, verbi gratia octo : A, B, C, D, E, F, G, H,

sumantur omnes combinationes quaternarii, quinquenarii, senarii, etc., usque ad octonarium : dico, si jungas dimidium combinationis quaternarii, nempe 35 (dimidium 70) cum omnibus combinationibus quinquenarii, nempe 56, plus omnibus combinationibus senarii, nempe 28, plus omnibus combinationibus septenarii, nempe 8, plus omnibus combinationibus octonarii, nempe 1, factum esse quartum numerum progressionis quaternarii cujus origo est 2 : dico quartum numerum, quia 4 octonarii dimidium est.

ig8 LES LETTRES DE BLAISE PASCAL

Sunt enim numeri progressionis quaternarii cujus origo est 2, isti :

2, 8, 32, 128, 5i2, etc., Quorum 2 primus est, 8 secundus, 32 tertius, et 128 quartus, cui 128 aequantur :

4- 35 dimidium combinationis k litterarum, + 56 combinationis 5 litterarum, + 28 combinationis 6 litterarum, 4- 8 combinationis 7 litterarum, •f 1 combinationis 8 litterarum.

Voilà la première proposition, qui est purement arithmétique ; l'autre regarde la doctrine des partis et est telle :

Il faut dire auparavant : si on a une partie de 5, par exemple, et qu'ainsi il en manque 4, le jeu sera infailliblement décidé en 8, qui est double de [\.

La valeur de la première partie de 5 sur l'argent de l'autre est la fraction qui a pour numérateur la moitié de la combinaison de 4 sur 8 (je prends 4 parce qu'il est égal au nombre des parties qui manque, et 8 parce qu'il est double de 4), et pour dénominateur ce même numérateur, plus toutes les combinaisons supérieures.

Ainsi, si j'ai une partie de 5, il m'appartient,

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sur l'argent de mon joueur, 35/128 ; c'est-à-dire que, s'il a mis 128 pistoles, j'en prends 35 et lui laisse le reste, 93.

Or, cette fraction 35/128 est la même que cellelà : 105/384 laquelle est faite par la multiplication des pairs pour le dénominateur, et la multiplication des impairs pour le numérateur.

Vous verrez bien sans doute tout cela, si vous vous en donnez tant soit peu la peine ; c'est pourquoi je trouve inutile de vous en entretenir davantage. Je vous envoie néanmoins une de mes vieilles Tables. Je n'ai pas le loisir de la copier ; je la referai. Vous y verrez comme toujours que la valeur de la première partie est égale à celle de la seconde, ce qui se trouve aisément par les combinaisons.

Vous verrez de même que les nombres de la première ligne augmentent toujours ; ceux de la seconde de même ; ceux de la troisième de même.

Mais ensuite ceux de la quatrième diminuent ; ceux de la cinquième, etc. Ce qui est étrange.

Je n'ai pas le temps de vous envoyer la démonstration d'une difficulté qui étonnait fort M..., car il a très bon esprit, mais il n'est pas géomètre (c'est, comme vous savez, un grand

défaut), et même il ne comprend pas qu'une ligne mathématique soit divisible à l'infini et croit fort bien entendre qu'elle est composée de points en nombre fini, et jamais je n'ai pu l'en tirer. Si vous pouviez le faire, on le rendrait parfait.

Il me disait donc qu'il avait trouvé fausseté dans les nombres par cette raison :

Si on entreprend de faire un six avec un dé, il y a avantage de l'entreprendre en 4, comme de 671 à 625.

Si on entreprend de faire Sonnez avec deux dés, il y a désavantage de l'entreprendre en if\.

Et néanmoins ik est à 36, qui est le nombre des faces des deux dés, comme 4 à 6, qui est le nombre des faces d'un dé.

Voilà quel était son grand scandale, qui lui faisait dire hautement que les propositions n'étaient pas constantes, et que l'arithmétique se démentait. Mais vous en verrez bien aisément la raison par les principes où vous êtes.

Je mettrai par ordre tout ce que j'en ai fait, quand j 'aurai achevé des Traités géométriques où je travaille il y a déjà quelque temps.

J'en ai fait aussi d'arithmétiques, sur le sujet

desquels je vous supplie de me mander votre avis sur cette démonstration.

Je pose le lemme que tout le monde sait : que la somme de tant de nombres qu'on voudra de la progression continue de l'unité, comme i, 2,

3, 4, étant prise deux fois, est égale au dernier,

4, mené dans le prochainement plus grand, 5 ; c'est-à-dire que la somme des nombres contenus dans A, étant prise deux fois, est égale au produit de A in (A + 1).

Maintenant je viens à ma proposition :

Duorum quorumlibet cuborum proximorum differentia, unitate demptà, sextupla est omnium numerorum in minoris radice contentorum,

Sint dua? radiées R, S unitate différentes : dico aequari summae numerorum in S contentorum sexies sumptae.

Etenim S vocetur A ; ergo R est

Igitur cubus radicis R, seu A 4- 1, est

Cubus vero S, seu A, est A 3 ; et horum differentia est

id est

igitur si auferatur unitas,

Sed duplum summas numerorum in A seu S contentorum aequatur, ex lemmate,

A in A + i , hoc est A 2 + A :

igitur sextuplum summae numerorum in A contentorum aequatur

Sed

3 A 2 + 3 A seq. R 3 — S 3 — i ; igitur

R 3 — S 3 — i aeq. sextuplo summae numerorum in A seu S contentorum.

Quod erat demonstrandum.

On ne m'a pas fait de difficulté là-dessus, mais on m'a dit qu'on ne m'en faisait pas par cette raison que tout le monde est accoutumé aujourd'hui à cette méthode ; et moi je prétends que, sans me faire grâce, on doit admettre cette démonstration comme d'un genre excellent ; j'en attends néanmoins votre avis avec toute soumission.

Tout ce que j'ai démontré en arithmétique est de cette nature. Voici encore deux difficultés :

J'ai démontré une proposition plane en me servant du cube d'une ligne, comparé au cube

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d'une autre ; je prétends que cela est purement géométrique, et dans la sévérité la plus grande.

De même, j'ai résolu le problème : De quatre plans, quatre points et quatre sphères, quatre quelconques étant donnés, trouver une sphère qui, touchant les sphères données, passe par les points donnés, et laisse sur les plans des portions de sphères capables d'angles donnés, et celui-ci : De trois cercles, trois points, trois lignes, trois quelconques étant donnés, trouver un cercle qui, touchant les cercles et les points, laisse sur les lignes un arc capable d'angle donné.

J'ai résolu ces problèmes pleinement, n'employant dans la construction que des cercles et des lignes droites ; mais, dans la démonstration, je me sers de lieux solides, de paraboles ou hyperboles. Je prétends néanmoins qu'attendu que la construction est plane, ma solution est plane et doit passer pour telle.

C'est mal reconnaître l'honneur que vous me faites de souffrir mes entretiens, que de vous importuner si longtemps ; je ne pense jamais vous dire que deux mots, et si je ne vous dis pas ce que j'ai le plus sur le cœur, qui est que plus je vous connais, plus je vous admire et vous ho-

nore ; et que, si vous voyiez à quel point cela est, vous donneriez une place dans votre amitié à celui qui est, etc.

Pascal 1.