Détermination de la ligne d*liorlzon

et de la projection du centre optique sur la glace dépolie

ou sur une photographie.

Avant d'appliquer les lois de la perspective précédemment énoncées à la solution de divers problèmes, nous devons rechercher tout d'abord les moyens de déterminer sur la glace dépolie ou sur une photographie la ligne d*horizon et la projection du centre optique. Tous les problèmes que nous aurons à étudier impliquent cette détermination.

La ligne d'horizon est, comme nous l'avons dit, la trace du plan horizontal passant par l'axe optique. La connaissance de cette ligne a une importance capitale pour la transformation des images perspectives en images géométriques. C'est sur elle que se trouve la projection de l'axe optique et que viennent concourir les fuyantes. C'est sur elle que doivent être reportées toutes les grandeurs à mesurer.

11 existe plusieurs moyens de déterminer la ligne d'horizon; nous les indiquerons successivement afin qu*on puisse les utiliser suivant les circonstances qui pourraient se présenter.

!• Détermination de la ligne d'horizon par la mesure de la hauteur de l'appareil au-dessus du sol. — Le moyen que je vais indiquer ici n'est pas d'une bien grande précision, mais comme il est très simple et n'implique aucun

calcul, je le décrirai tout d'abord. Il ne peut être utilisé qu'en terrain bien horizontal, tel qu'on en rencontre par exemple dans l'intérieur d'un édifice.

Ce moyen consiste simplement à mesurer la hauteur audessus du sol du centre de l'objectif de la chambre noire, supposée, bien entendu, parfaitement horizontale. Si, sur le monument photographié, nous avons placé un mètre ou une mesure quelconque permettant de déterminer son échelle de réduction, nous posséderons tous les éléments nécessaires pour déterminer sur la photographie le passage de la ligne d'horizon. Cette ligne coupe, en effet, tous les objets à une hauteur précisément égale à celle du centre optique de l'objectif au-dessus du sol ('). Or, nous connaissons cette hauteur. Supposons qu'elle soit de 1"',60. Grâce au mètre appliqué sur le monument, nous pouvons aisément tracer sur la photographie une hauteur de \'^,6Q au-dessus du sol. La ligne horizontale menée par cette hauteur est la ligne d'horizon. Elle s'élèvera, comme nous l'avons vu, à mesure que l'opérateur s'élèvera. Si l'on opérait d'un troisième ou d'un quatrième étage, au lieu d'être à l'",60 au-dessus du sol, elle en serait à 10" ou 15". Sa position variera extrêmement, par conséquent, suivant la position de l'appareil.

Le photographe qui a opéré comme il précède doit noter soigneusement au crayon sur le cliché photographique la hauteur du centre de l'objectif au-dessus du sol. S'il n'a pas

C*) Le meilleur moyen pratique à employer pour mesurer la hauteur du centre de Tobjectif au-dessus du sol, consiste à se servir de ces cannes métriques rentrantes qu'on emploie pour mesurer la hauteur des chevaux et dont j'ai eu déjà occasion de parler. Elles ont l'aspect d'une canne ordinaire, et, en raison de la tige mobile formant équerre qui les surmonte, quand elles sont ouvertes, on peut, comme je l'ai dit déjà, les utiliser en voyage pour une foule de mesures. Pour mesurer la hauteur du centre optique, on amène l'équerre au niveau du centre de l'objectif, et on lit immédiatement sur la canne la hauteur cherchée.

fait subir à son objectif de déplacements latéraux, la projection du centre optique sera au centre de cette ligne.

2* Détermination générale de la position occupée sur la glace dépolie par la ligne d'horizon et l'axe optique pour un appareil déterminé. — L'opération qui précède nécessite pour chaque station la recherche de la position de la ligne d'horizon. Les opérations qui vont suivre sont plus compliquées que la précédente, mais elles n'ont besoin d'être exécutées qu'une seule fois pour un appareil déterminé.

Dans les anciennes chambres noires carrées, où l'objectif était adapté au centre d'une planchette fixée invariablement à la chambre noire, la détermination de la projection de l'axe optique et. de la ligne d'horizon était très facile. L'axe optique se trouvait, en effet, au centre même de la glace dépolie, et, en faisant passer par ce centre une ligne horizontale divisant en deux parties égales la glace dépolie, on avait la ligne d'horizon cherchée. On ne saurait opérer de même avec les nouveaux appareils, dans lesquels l'objectif est fixé sur une planchette susceptible de se mouvoir en hauteur et en largeur. Alors même que l'objectif serait au centre de la paroi antérieure de la chambre, son axe optique ne passe plus au centre de la glace dépolie, ou du moins n'y passe que lorsque la glace dépolie occupe une certaine position. La glace dépolie étant beaucoup plus longue que large, lorsqu'on la retourne pour photographier un monument, en largeur, l'axe optique se trouve beaucoup plus bas que le centre de la glace. Il est donc indispensable de déterminer expérimentalement une fois pour toutes dans quelle position de la planchette porte-objectif l'axe optique passe par le centre de la glace dépolie.

La première condition pour y arriver est de tracer sur la planchette fixe de la partie antérieure de la chambre noire une graduation millimétrique, à zéro arbitraire. Dans notre

chambre, la graduation est faite sur deux bandes de cuivre, l'une en hauteur, l'autre en largeur. Mais ces bandes de cuivre peuvent être remplacées par des bandes de papier quadrillé qu'on colle sur le bois, et qu'on chiffre à la main de centimètre en centimètre. Un petit index fixé sur la planchette porte-objectif, dans le prolongement d'une ligne horizontale et d'une ligne verticale passant par le centre de la monture métallique de l'objectif, indique en millimètres par son déplacement le déplacement du centre de ce dernier.

L'appareil étant ainsi modifié, on le met parfaitement horizontal au moyen du niveau sphérique fixé sur la planchette, puis avec un instrument quelconque (niveau Burel, niveau Lyre, quart de cercle à niveau de l'auteur, etc.), placé à la hauteur du centre de l'objectif, on vise de la fenêtre où l'on est placé un objet remarquable, corniche, lames d'un volet, etc., placé devant soi dans le prolongement de la ligne de visée de l'instrument. On met alors cet objet au point sur la glace dépolie, d'abord placée dans le sens de sa hauteur, et l'on remonte ou descend la planchette porte-objectif jusqu'à ce que l'objet qui avait été visé avec l'instrument à niveau passe par le centre de la glace dépolie. On note alors à quelle division de la planchette correspond l'index. On répète la même opération en plaçant en largeur la glace dépolie, et l'on note le nouveau chiffre observé. On connaît ainsi à quelle hauteur on doit placer la planchette porte-objectif pour que la ligne d'horizon passe par le milieu de la glace dépolie pour les deux positions fondamentales de la chambre noire.

Il peut arriver, et cela arrivera fréquemment pour les monuments élevés, que pour les faire entrer dans le champ de l'instrument toujours maintenu horizontal, il faudra hausser considérablement la planchette porte-objectif. Dans ce cas, on devra noter, au moyen des divisions de la planchette, de combien on a élevé l'index correspondant au centre de l'ob-

ectif au-dessus du point correspondant au centre de la glace

92 PREMIÈRB PARTIE. — CHAP. V.

dépolie. Le nombre de millimètres observé indique de combien de millimètres au-dessous du centre de la glace dépolie est abaissée la ligne d'horizon. On opérera d'une façon analogue en cas de déplacements latéraux. 11 est du reste facile d'éviter ces derniers.

Lorsque, par les opérations précédentes, on a mis le centre de l'objectif vis-à-vis le centre de la glace dépolie, la projection du centre optique se trouve exactement au milieu de la ligne d'horizon.

3" Détermination de la ligne d'horizon et du centre optique par l'étude des fuyantes sur une photographie, — Il est très facile, dans beaucoup de cas, de déterminer sur une photographie, sans aucune mesure préalable, la position de la ligne d'horizon et du centre optique. En examinant la photographie d'un monument dont les parties latérales sont visibles, on voit que les lignes obliques du monument prolongées vont concourir toutes vers un seul point. Ce point de fuite principal représente généralement la projection du centre optique, et une horizontale menée par ce point représente la ligne d'horizon.

Si- le monument présente plusieurs faces, les fuyantes vont converger en deux points différents; en réunissant ces deux points par une ligne, on a la ligne d'horizon; mais la détermination de la position du centre optique sur cette ligne conduit à des constructions assez compliquées, et souvent même cette position reste indéterminée.

On peut le plus souvent, sans prendre la peine de prolonger les fuyantes, et avec une simple règle et une équerre, savoir où se trouve sur une photographie de monument la ligne d'horizon, et, par conséquent, à quelle hauteur au-dessus du sol se trouvait l'objectif de l'opérateur. Ce cas se présente lorsque l'image comprend des lignes fuyantes entre lesquelies se trouvent des parties, portes, fenêtres, par exemple, devant avoir par construction la môme hauteur. En descendant

parallèlement à elle-même, de haut en bas sur la photographie, une équerre, on voit que les objets de même hauteur se trouvent d'abord coupés très obliquement par l'équerre. A mesure que cette dernière descend, Tobliquité diminue, et il arrive un moment où toutes les parties situées au même niveau, par exemple le rebord des fenêtres d'un étage, se trouvent coupées à la même hauteur par l'équerre : cette dernière est alors sur la ligne d'horizon. Si l'on continue à la descendre, les lignes passant par les objets de même hauteur commencent à redevenir obliques, et l'obliquité croît à mesure que l'équerre descend.

On peut résumer ce qui précède en disant que sur une photographie contenant des lignes fuyantes, la ligne d'horizon est celle qui coupe à la même hauteur les objets placés sur le monument au même niveau. Une seule ligne — la ligne d'horizon — jouit de cette propriété.

Les indications qui précèdent ne sont guère applicables qu'à des photographies de monuments; elles ne le sont qu'exceptionnellement à des photographies de paysages. Généralement les personnages ne peuvent servir parce que le photographe, pour embrasser plus d'espace, a soin de se placer sur un point élevé. Lorsque l'élévation de son appareil au-dessus du sol ne dépasse pas la hauteur d'un homme ordinaire, on voit, en opérant, comme il a été dit précédemment, avec une équerre, que certaines parties des personnages situées dans les différents plans, l'œil ou l'épaule par exemple, se trouvent à la même hauteur. La ligne passant par ces points de même hauteur serait approximativement la ligne d'horizon.

4« Détermination de la ligne d'horizon par le calcul trigonométrique. — Si nous mesurons avec un instrument quelconque, par exemple avec notre quart de cercle placé sur le pied de l'appareil à la hauteur de l'objectif, un angle vertical a sous lequel un point A est vu au-dessus de l'ho-

rizontale de la station, on aura pour la longueur AB sur la photographie

AB = tanga x f,

f étant la longueur focale principale de l'objectif.

Jl suffira donc de porter sur la photographie la longueur verticale AB ainsi trouvée et faire passer par B une ligne perpendiculaire : cette dernière sera la ligne d'horizon cherchée.

Ce moyen serait suffisamment exact pour les objets situés dans le voisinage du plan vertical passant par l'axe optique,

Fig. 22.

c'est-à-dire passant près du centre de la photographie; il ne le serait plus pour un objet éloigné de ce centre. Si l'objet en était très éloigné, il faudrait mesurer en dehors de Tangle vertical a l'angle horizontal p fait avec l'axe optique de l'objectif par la direction dans laquelle est vu cet objet. La formule précédente deviendrait alors

f AB = tanga X — —• ^ cosp

On pourrait encore déterminer la projection du centre optique sur une photographie, en mesurant les distances angulaires respectivement comprises entre trois points figurant sur la photographie, et dont la position serait connue. On obtiendrait le centre optique et la ligne d'horizon par la construction d'angles capables. On opérerait ' absolument comme dans le problème dit de la carte.

Je n'ai pas eu occasion d'expérimenter ces deux dernières méthodes que j'ai déduites de considérations géométriques. Elles sont théoriquement excellentes, mais pratiquement je

les crois compliquées et ne pouvant conduire à des résultats bien précis.

5* Détermination des points de fuite inaccessibles et de la ligne d'horizon invisible sur une photographie. — Soit (fig, 23) un monument photographié obliquement, et dont les points de fuite 00' sont — contrairement à la forme que nous avons dû donner à notre figure pour la facilité de la démon-

stration — situés très en dehors de la photographie. Cherchons à déterminer la position des points de fuite en supposant successivement la ligne d'horizon connue, puis inconnue.

Si nous supposons d'abord la ligne d'horizon connue — et nous avons vu qu'on la détermine facilement lorsque le monument comprend plusieurs parties régulières, ■— il nous suffira pour déterminer OB, de mesurer avec un rapporteur sur la photographie l'angle a et de mesurer AB. Nous aurons alors

OB = AB X tanga.

On opérerait de môme pour trouver BO' avec l'angle p.

Supposons maintenant la ligne d'horizon inconnue. La position du point B étant inconnue, nous ne pouvons mesurer que AD, ad, b'B'= bB (écartement des deux verticales ad, AD) et l'angle a; il s'agit, avec ces éléments, de rechercher ob et AB.

Cherchons d'abord ob :

Les propriétés des triangles semblables nous donnent

AD ob-¥-bB ad ~~ ob

d'où l'on tire

, bB X nd

Connaissant ob et 6B, nous avons

OB = ob + bB

Connaissant OB et ô = (90' — a), la longueur AB, qui détermine la position de la ligne d'horizon, est

AB = OB X tangS.

Pour montrer combien ce calcul est simple, je prends dans mes notes une solution effectuée de ce problème. Les mesures prises sur la photographie donnaient

AD = 159»"», ad = 72»~, 5, bB = 88°",

Appliquant les formules trouvées plus haut, on a •• , 88 X 72,5 ^„„ «

OB = o6 + 6B = 73-",7 + 88">" = 161'"'-, 7,

AB = tang(90« — 66») x OB = 445 x 1617 = 72"".

Menant par le point B une ligne horizontale à 72"" du point A, nous avons la ligne d'horizon de la photographie.

8. — Applioation des règles de la perspective photographique à la solution de divers problèmes.

Les divers problèmes dont nous allons donner la solution sont l'application des règles précédemment exposées.

Déterminer avec une seule photographie la largeur d'un monument placé obliquement relativement à l'axe optique de l'appareil photographique. — Nous indiquerons dans ce Chapitre une autre solution plus simple du même problème. Celle que nous allons exposer exige qu'on applique en B et en •

Fig. 24.

D un objet H de grandeur connue, un mètre, par exemple, ou qu'on mesure en ces deux points une hauteur déterminée. L'axe optique de l'appareil étant dirigé suivant AB, la réduction h sur la glace dépolie du mètre placé en B donnera par la

formule D = -r x H, dans laquelle d représente la distance

focale principale, la distance D = AB. La réduction du mètre placé en D donnera, non pas AD, mais Ad (projection de D

sur l'axe optique AB). On connaît d'autre part l'angle a, qui se lit sur la glace dépolie. Avec ces trois éléments AB, Ad et a, on a tout ce qu'il faut pour construire sur le papier, en élevant en dune perpendiculaire dD jusqu'à sa rencontre en D avec la droite AD inclinée sur AB de l'angle a, le triangle BAD, et mesurer par conséquent BD (* ).

Déterminer avec une seule photographie la hauteur d*un monument dont le centre est inaccessible. —Soit, par exemple, à déterminer avec une photographie (fig* 25) la hauteur du clocher A d'une église entourée d'un mur. Si la base du clocher situé en A était accessible, il suffirait d'appliquer un mètre à sa surface pendant qu'on le photographie, pour avoir sa hauteur. Ne pouvant placer ce mètre sur le monument, il suffira, l'appareil étant en et l'axe optique de l'objectif dirigé vers A, de placer un mètre en un point quelconque de la ligne DG, perpendiculaire à AO, pour que ce mètre subisse

(*) Ce côté BD est très aisément déterminé par le calcul. On aurait en effet

Bd = AB - Ad, dD =^ dAtanga

Bd

tangp-^.

Connaissant la tangente de l'angle p, cet angle et son cosinus se trouvent dans les Tables. On a alors

cosp

On pourrait évidemment déduire BD de la relation bien connue

BD»=Bd» + dD*,

mais le calcul impliquerait rextraction d'une racine carrée et serait par conséquent plus compliqué.

exactement la môme réduction que s'il était placé en A. Il Fig. 25.

donnera par conséquent l'échelle de réduction de la photographie dans le plan vertical passant par A,

Déterminer la hauteur el le diamètre d'une tour avec une photographie. — Soit AB (fig. 26) la section de la tour.

Fig. 26.

Un mètre, placé en A donnera, avec les formules précédem-

iOO

ment exposées, la hauteur de la tour et la distance OA. Si la tour était transparente, il n'y aurait qu'à placer un mètre en B pour avoir OB, et par une simple soustraction (OB — OA), on aurait le diamètre cherché. La tour n'est pas transparente, mais il suffit de placer le mètre en un point quelconque de CD, perpendiculaire à OB, pour qu'il subisse la même réduction sur la glace dépolie que s'il était placé en B. On pourra donc calculer le diamètre AB exactement comme si, la tour étant transparente, on eût placé un mètre en B.

Construire avec une seule photographie le plan de Vintérieur d'une salle. — Soit ABCD la projection de l'intérieur

Flg. 27.

d'un édifice polygonal. Nous supposerons, toujours pour la facilité de la démonstration, car en pratique ils sont inutiles, des mètres placés en A, B, G, D. L'axe optique est dirigé sur un point quelconque B, je suppose. Le mètre en A donne la distance OA'; le mètre en B, la distance OB; le mètre en G, la distance OG'; le mètre en D, la distance OD'. Nous pouvons, d'autre part, lire sur la glace dépolie les angles a, p, 8, etc. Il suffit donc d'élever en D', A', G' des perpendiculaires sur l'axe optique OB jusqu'à leur rencontre avec les côtés

prolongés des angles a, p, 5, pour avoir la position des points A, B; G, D. Reliant ces points par un trait, on aura le plan cherché.

La lecture des angles a, p, 5 est, en pratique, totalement inutile. Il suffit d'élever sur la ligne d'horizon, au point B, situé dans la prolongation de l'axe optique, une perpendiculaire ayant pour longueur celle du foyer principal de l'objectif. Sur cette même ligne d'horizon on abaisse et Ton élève de chacun des points de la photographie dont on veut déterminer la position géométrique, des perpendiculaires. Reliant, comme il a été expliqué ailleurs, le pied de ces perpendiculaires à l'extrémité inférieure de la perpendiculaire représentant la longueur du foyer principal, les angles se trouvent tracés.

Déterminer avec une seule photographie le plan d'un monument oblique. — Le problème est exactement le môme que le précédent. Soit BCA la section du monument non rec-

Fig. 28.

tangulaire. Nous supposons toujours, pour la facilité de la démonstration, trois mètres placés en B,C, A. L'axe optique étant dirigé sur OG; le mètre en B donne OB', le mètre en G donne OG, le mètre en A donne OA'. Les angles a et p étant lus sur la glace dépolie, il suffit d'élever en B' et A' des perpendiculaires sur Te prolongement de l'axe optique OG pour

avoir, par intersections, la position des points B, C, A. Reliant ces points par une ligne, on a le plan du monument.

Déterminer avec une seule photographie le plan d'un terrain horizontal. — Ne nous occupant principalement dans cet Ouvrage que des levers de monuments, nous ne donnons l'application qui va suivre que comme exemple des ressources qu'on peut dans certains cas tirer d'une photographie, et en même temps pour montrer de nouveaux exemples de Tapplication des principes qui précèdent.

Soit donc ( fig, 29) un terrain horizontal sur lequel se trouvent une série de points A, B, G, D, E, dont nous voulons déterminer

Fig. 29.

les positions respectives. Par les procédés classiques, il nous faudrait mesurer une base. Avec la Photographie, la chose est inutile. Il nous suffira de placer aux points A, B, G, etc., des mires de hauteurs connues, ou, s'il s'y trouve des arbres ou des constructions, de tracer sur les uns ou sur les autres une marque à une hauteur connue. Si nous dirigeons l'axe optique

de l'appareil sur OA, la distance OA sera connue par la réduction de la mire placée en A; les mires en G, B, D donneront les longueurs OD', OB', OC sur Taxe optique. Avec ces longueurs et les angles a, 6, c, d, mesurés sur la glace dépolie, on a évidemment tout ce qu'il faut pour obtenir par intersections la position réelle des points A, B, G, D, etc., c'està-dire le plan du terrain qu'il s'agissait de déterminer.

Reconstituer avec une seule photographie, et sans l'application d'aucune mesure sur un monument, les diverses dimensions de ce monument. —Le problème que nous venons d'énoncer d'une façon générale comprend la solution de divers cas particuliers que nous avons résolus plus haut, et

Fig. 30.

sur lesquels il serait inutile de revenir. Dans ces cas divers, nous avons toujours supposé, pour faciliter les démonstrations, qu'on prenait la peine de placer des mètres en diverses parties du monument. Ge que nous voulons montrer dans ce Paragraphe, c'est que , le plus souvent, un mètre suffît parfaitement pour donner l'échelle de tous les plans, et que l'on peut même, à la rigueur, s'en passer complètement.

Soit ( /igf . 30) un monument vu en perspective, et supposons un mètre placé verticalement en un- plan quelconque FF. Le long de ce monument peuvent se trouver des portes et des fenêtres de hauteurs différentes, pour lesquelles le mètre placé en FF ne peut évidemment servir d'échelle ; mais si nous relions les extrémités du mètre FF au point de fuite X, le triangle FFX donne

es hauteurs h' h", ff, etc., du mètre dans les différents plans, et par conséquent l'échelle de chacun de ces plans. En traçant ce triangle FFX, nous obtenons exactement le môme résultat que si nous avions placé plusieurs centaines de mètres à côté les uns des autres dans les différents plans, afin d'avoir sur la photographie des échelles permettant de mesurer la hauteur verticale des divers objets situés dans chacun de ces plans.

Mais nous pouvons, ainsi que je le disais plus haut, supprimer toute application de mètres ou de mesures sur le monument. Il est évident, en effet, que l'appareil étant placé bien horizontalement, tous les objets qui, sur la glace dépolie, se trouveront sur la ligne d'horizon, c'est-à-dire sur la ligne passant par lé zéro des graduations de la glace dépolie, seront au-dessus du sol à une hauteur précisément égale à celle du centre de la glace dépolie. Si cette hauteur est de 1", 50 (/?sf. 31 ),

Fig. 3t.

nous savons immédiatement que les parties du monument, coupées sur la glace dépolie par la ligne d'horizon, sont à 1",50 au-dessus du sol. C'est donc exactement comme si nous placions sur le monument une série indéfinie de mesures ayant 1*,50 de hauteur.

Le procédé est exact lorsque le terrain est horizontal, et l'on pourra l'utiliser pour la mensuration de monuments qu'on peut bien photographier, mais dont on ne peut approcher parce qu'un fossé, une grille ou un obstacle quelconque en sépare. Le procédé, je le répète, est suffisamment exact, mais je. ne le recommande pas par la raison qu'il est

toujours bien préférable de photographierj avec le monument, une ou plusieurs mesures qui constituent une sorte d'enregistrement automatique des dimensions, absolument à l'abri de toute erreur de calcul.

Déterminer de Ventrée d'une rue la longueur de cette rue, avec une seule photographie. — Nous supposerons, ce qui est d'ailleurs le cas général, les maisons parallèles. En perspective, la projection de ces maisons sur le sol présentera à peu près sur la glace dépolie l'aspect de la fig. 32. Puisque

Fig. 32.

nous admettons que l'appareil photographique peut stationner à l'entrée de la rue, nous pouvons mesurer sa largeur AB. Plaçant l'appareil photographique à peu près dans Taxe de la rue, il n'y a qu'à , mesurer sur la glace dépolie l'intervalle compris entre les fuyantes a" 6* de la base des maisons, à

l'extrémité de la rue, pour avoir par la formule D = H x —

la longueur cherchée. Dans cette formule, d représente la distance focale de l'objectif, H la largeur réelle AB de la rue, h la largeur apparente a" 6" sur la glace dépolie.

Par le même procédé nous déterminerions évidemment la distance à un plan quelconque, a' b' par exemple, et, par différence, la largeur d'une maison inaccessible située dans la rue.

Si, au lieu d'une rue, il s'agissait d'une route, on déterminerait de la même façon la distance de l'appareil à un point quelconque de la route. Je donnerai plus loin une autre solution uniquement fondée sur les lois de la perspective du même problème.

Déterminer les différences de niveau d'un terrain par l'étude des fuyantes sur une photographie. ^ L'étude des fuyantes permet dans certains cas de dire si le terrain sur lequel se trouve un monument, ou une série de monuments, est parfaitement horizontal, et, s*il ne l'est pas, la différence de niveau qui existe entre ses différentes parties.

Pour comprendre ce qui va suivre, nous devons rappeler que lorsque le terrain sur lequel des maisons sont construites est descendant en face du spectateur, les fuyantes du sommet du monument ont leur point de fuite au-dessus du point de fuite des fuyantes de sa base, base qui suit naturellement la pente du terrain. Si le terrain est montant en face du spectateur, on observe le contraire, c'est-à-dire que le point de fuite des fuyantes du sommet du monument est au-dessous des points de fuite des fuyantes de sa base. La différence verticale entre les deux points de fuite permet de calculer la différence du niveau du terrain. Si l'on veut exprimer la tangente de la pente du terrain en centièmes, on trouve qu'elle est égale au rapport entre l'écart exprimé en millimètres des deux points de fuite, et la distance focale de l'objectif exprimée dans la même unité. En multipliant ce rapport par la distance du monument à l'appareil, on a la différence de niveau entre les deux points.

Soit n le nombre de millimètres représentant la différence verticale entre les fuyantes du sommet du monument et celles du terrain, F le foyer de l'objectif, P la pente en centièmes, on a

et si D est la distance horizontale de l'appareil photographique au plan du monument considéré, la différence X de niveau entre le sol sur lequel repose le premier plan dumo nument et le sol sur lequel se trouve son dernier plan sera

X = pxD.

Je cite cette application, parce qu'elle ma permis de retrouver l'origine d'une erreur que j'avais commise, en effectuant de ma fenêtre des calculs pour déterminer la longueur d'une grande rue placée devant moi. Me guidant sur l'œil, j'avais considéré le terrain placé devant moi comme horizontal. Plus fidèle que l'œil, la Photographie m'a indiqué une différence de niveau qui avait été l'origine de mon erreur. De ma fenêtre aux maisons situées à l'extrémité de la rue, il y a une longueur horizontale de 172™. Les fuyantes de la base des maisons et celles de leur sommet se joignaient en deux points différents, présentant un écart vertical de 2"~,5. Le foyer de l'objectif était de 0",28. Effectuant les calculs précédents, j'ai trouvé pour la différence X de niveau entre le sol de la rue, au pied de ma maison, et le sol de la rue, au pied de la dernière maison, à 172"» en face de ma fenêtre,