CHAPITRE V

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L Principes généraux. — II. Des symboles logiques et de leurs lois, — III. Comparaison de l'algèbre logique avec l'algèbre des mathématiciens. — IV. Expansion des fonctions. — V. Interprétation générale des équations logiques. — VI. De l'élimination. — VII. Réduction d'un système de propositions à une équation. — VIII. Des propositions secondaires ; principe de leur expression symbolique.

I. Les travaux de Boole * sur la logique formelle n'ont pas eu, même en Angleterre, un retentissement égal à ceux d'Hamilton et de ses disciples immédiats. Pourtant, si la réforme poursuivie par les logiciens anglais du xix*' siècle doit prévaloir, c'est à Boole que sera due la no^avelle constitution de la science. Ses devanciers, Hamilton en particulier, ont les défauts des précur-

1. Boole (George), un des mathématiciens et des logiciens les plus originaux que l'Angleterre ait produits, est né à Lincoln, le 2 novembre 1815, et est mort le 4 décembre 1864. Toute sa vie a été consacrée à l'enseignement des mathématiques. Ses ouvrages sont The mathematical analysis of Logic, being an essay towards a calciilus of deductive reasoning, Cambridge, 1847, et An investigation of the Laws of Thought on ivhich are founded the mathematical théories of Logic and Probahilities , Londou, 18o4«

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seurs, incertitude sur la fin à réaliser, tâtonnements dans l'invention et le choix des moyens ; aussi leur œuvre n'est-elle qu'une série d'ébauches fragmentaires, plusieurs fois reprises sur frais nouveaux, couvent mal jointes, parfois même discordantes. Chez Boole, au contraire, nulle incertitude sur le but à atteindre, nulle indécision sur la route à suivre pour y parvenir; son oeuvre est un vaste système, venu tout d'une pièce et doué d'une parfaite unité organique.

Il est important d'en marquer, sans méprise, le caractère essentiel. C'est une analyse mathématique de la logique formelle^ un calcul de Vinférence déductive. Que faut-il entendre par ce bref énoncé ?

On rattache d'ordinaire, par une fiUation directe, les théories de Boole à celles d'Hamilton. La doctrine de la quantification du prédicat , principe de la nouvelle analytique d'Hamilton, semble, en effet, efïacer toute différence formelle entre le raisonnement par syllogisme et le raisonnement mathématique, et conduire ainsi à la constitution d'une logique algébrique. Avant Hamilton, les logiciens avaient maintenu une rigoureuse distinction entre les notions de qualité et les notions de quantité ; les premières sont faites d'éléments hétérogènes, inclus et comme emboîtés les uns dans les autres; les secondes sont composées de parties homogènes réunies et comme juxtaposées les unes aux autres; de là en s' unissant, notions de qualité à notions de qualité, notions de quantité à notions de quantité, elles constituent, les unes des propositions, couples de termes hés par la copule est, les autres des équations, couples de termes égaux ou équivalents, hés par la copule égale; en s'enchaînant, les propositions forment des syUogismes et des séries de syllogismes; les équations, des raisonnements mathémati-

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ques. La distinction native des notions de qualité et des notions de quantité persiste donc à travers toutes les combinaisons et des unes et des autres. Mais si, comme le veut Hamilton, toute proposition est au fond une équation du sujet et du prédicat, il n'y a plus lieu de distinguer, au point de vue formel, ceux des raisonnements qui procèdent par inclusion ou exclusion de notions en des propositions successives, de ceux qui vont à la conclusion par substitution de membres égaux ou équivalents en diverses équations. Dès lors, le type primitif et fondamental de l'inférence déductive serait le raisonnement mathématique, et la logique serait une espèce particulière de l'algèbre .

Est-ce sur cette vue que repose la logique algébrique de Boole? Ce serait singulièrement rapetisser son œuvre que de le croire. Une logique mathématique, établie sur les principes que nous venons d'esquisser, ne serait au fond qu'une notation symbolique de la logique ancienne. De celle-ci, tout serait conservé, principes, procédés et formes principales ; on y ajouterait quelques formes nouvelles, déterminées par l'application du principe de la quantification du prédicat aux propositions ; mais, au fond, sous un revêtement mathématique, ce serait toujours l'analytique ancienne; le champ de la logique formelle ne serait pas étendu ; la puissance et la portée de ses procédés ne seraient pas accrues ; le seul gain serait peut-être d'en simplifier les énoncés et d'en abréger le traitement.

Boole a voulu, au contraire, élargir le champ et accroître la puissance de la logique déductive. — Dans Tancienne analytique, toute inférence est tirée ou d'une proposition unique, — inférences immédiates, — ou de deux propositions, — inférences médiates, syllogismes. Là s'arrête le procédé déductif. On ne se de-

mande pas quelles sont toutes les relations logiquement possibles entre tous les termes, si nombreux qu'ils puissent être, d'une proposition donnée; on ne se fdemande pas davantage quelles conclusions résulteiraent d'un système de plus de deux prémisses ; le sorite, en effet, où entrent au moins trois prémisses, est une chaîne de syllogismes, où la conclusion du premier argument devient la majeure du second, et ainsi de suite, jusqu'à la conclusion finale.

Mais, qu'est au fond l'opération déductive? C'est l'élimination d'un terme moyen dans un système de trois termes. Boole, guidé par son instinct de mathématicien, généraUse le problème et le pose de la façon suivante : Étant donné un système d'un nombre quelconque de termes, en éliminer autant de moyens termes qu'on voudra, et déterminer toutes les relations impliquées par les prémisses entre les éléments qu'on désire retenir; ou encore : Etant données certaines conditions logiques, déterminer la description d'une classe quelconque d'objets sous ces conditions.

Là est la conception originale, l'idée nouvelle qui, si elle est vraie, doit changer la face de la logique. On comprend en effet que, si le problème ainsi posé en termes généraux est résoluble, le syllogisme des anciens, avec ses annexes, qui a été jusqu'ici toute la logique, n'en est, en fm de compte, qu'un cas particulier, de même que l'élimination d'un symbole de quantité entre deux équations données n'est, en algèbre, qu'un cas particulier de la théorie générale de FéUmination. On a comparé, dans ces derniers temps, l'œuvre de Boole, en logique, à celle de Descartes, en géométrie. La comparaison ne manque pas d'exactitude, comme nous le verrons plus loin; mais s'il a été conduit à appliquer l'algèbre à la logique, de même que

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Descartes l'avait appliquée à la géométrie, c'est qu'il a transformé, en le généralisant, le problème de l'inférence déductive, par une vue d'ensemble comparable à celle du mathématicien qui, le premier, conçut la pensée d'une théorie générale pour la solution des équations.

On conçoit aisément que pour résoudre le problème général de la logique, dans les termes où Boole l'a posé, il serait chimérique d'attendre aucun secours de l'analytique péripatéticienne; celle-ci demeure confinée dans ses cadres étroits. On ne saurait davantage réaliser, en des exemples concrets, tous les cas comportés par le problème. Il faut donc employer, à en poursuivre la solution, un procédé analogue à celui des mathématiciens, et faire de la logique générale un calcul.

Avant d'aller plus loin, éclaircissons cette idée. Traiter la logique par le calcul, ce n'est pas, comme on pourrait le croire, appliquer purement et sim.plement à la syllogistique les procédés de l'algèbre, et rendre ainsi la logique tributaire de la mathématique. Si par mathématique on entend, avec l'opinion la plus répandue, la science des quantités et des grandeurs, il est incontestable que, même traitées algébriquement, les notions de qualité doivent conserver leur essence et ne pas se transformer en notions de quantité. Mais si les signes et les symboles employés en algèbre sont les signes et les symboles de notions quantitatives et de rapports quantitatifs, cela tient-il à la nature des opérations qu'ils désignent, ou aux substratums auxquels ces opérations s'appliquent? C'est un fait, ou, si l'on aime mieux, un principe aujourd'hui reconnu des mathématiciens, que la validité de l'analyse algébrique dépend non de l'interprétation des symboles employés, 'mais uniquement des lois de leur combinaison. Étant

donnée une formule analytique, tout système d'interprétation qui n'affecte pas la vérité des relations supposées est également admissible, et cette formule peut représenter, avec une interprétation, la solution d'une question relative aux propriétés des nombres, avec une autre, celle d'un problème géométrique, avec une troisième, celle d'une question de dynamique ou d'optique '. Négligeons toutes ces interprétations possibles, et il reste ud système d'opérations douées de propriétés spéciales. L'analyste traite ses formules en tenant seulement compte des opérations qui y sont engagées, sans se préoccuper des interprétations variées dont elles sont susceptibles. La mathématique abstraite et générale n'a donc pas pour objet, comme on l'a répété tant de fois, des notions de quantité, numériques, géométriques ou mécaniques, mais des opérations considérées en elles-mêmes, indépendamment des matières diverses auxquelles elles peuvent être appliquées.

Soit, par exemple, l'addition; c'est une opération qai, en fait, se présente sous des formes variées. Ainsi, l'addition des nombres consiste dans la réunion des groupes d'unités; l'addition des longueurs, des angles, des surfaces, etc., dans la juxtaposition de ces grandeurs; l'addition des forces, dans l'application de ces forces à un même point, suivant une même direction. Voilà trois opérations désignées par le même nom et dont le but et les moyens d'exécution diffèrent; aucune d'elles ne peut être prise comme type des autres ; l'addition proprement dite ne peut être définie ni par l'une ni par l'autre. Mais ces opérations, si différentes qu'elles soient entre elles, présentent, quand on les détache des matières spéciales avec lesquelles elles font corps,