The mathematical analysis, Introd

certaines propriétés communes, exprimées par les égalités suivantes :

Pour a = a\ ±0 a-\- b = a' -\-h; 2^ a + (h -\- c) ={a -\- b) + c ; 3-5 a+ h = b -\- a; 4° rt + 0 = 0 + « = et.

C'est l'ensemble de ces propriétés qui constitue véritablement l'addition ; on sera donc autorisé à appeler de ce nom toute opération, quels qu'en soient l'objet spécial et le résultat, qui jouira de ces quatre propriétés K

Gela posé, est-il légitime de restreindre, ainsi qu'on l'a fait jusqu'à ce jour, l'application de l'analyse aux seules questions où entrent uniquement des notions de quantités et de grandeurs? Peut-on affirmer que l'analyse, prise en elle-même, se refuse à toute interprétation qui ne serait pas quantitative ; que , par exemple, il est interdit d'exprimer et de traiter algébriquement les opérations accomplies par l'esprit dans l'inférence déductive? On ne saurait répondre à priori; mais on ne saurait davantage opposer à priori, à la constitution d'une analyse logique, la question préalable. La logique algébrique prouvera son droit à l'existence en existant.

Quelle méthode convient-il de suivre pour la constituer? Cette méthode est déterminée par le but à atteindre. Il s'agit, étant donné le problème général de la logique, tel que nous l'avons formulé plus haut, de découvrir un procédé général d'élimination des moyens termes, abstraction faite de leur nombre et de

1. J. Houel , Théorie élémentaire des quantités complexes. Paris, J875.

leur connexion. Il ne faut donc pas prendre les cadres du calcul quantitatif et prétendre y faire entrer, fûtce de vive force , les arguments logiques. Procéder ainsi, ce serait préjuger à ^priori la question de savoir si les propriétés du calcul proprement dit sont identiques à celles du calcul logique. Peut-être ces deux formes de l'algèbre n'ont-elles en commun que certaines propriétés génériques, avec des propriétés spéciales propres à chacune d'elles. Il faut donc analyser les opérations de l'esprit engagées dans la constitution des notions générales, des propositions, et des raisonnements déductifs , les exprimer en langage symbolique, et déduire les propriétés de ces symboles des lois de leur combinaison.

IL Boole adopte trois espèces de signes : des symboles numériques et littéraux, 1 et 0, x, y, z, etc., pour représenter les choses en tant que sujets de nos conceptions; des signes d'opérations, -|-, — , X, pour représenter les opérations de l'esprit par lesquelles les conceptions des choses sont combinées de manière à former de nouvelles conceptions enveloppant les mêmes éléments ; enfin le signe de l'identité, =.

Les signes 1 et 0 ont dans le système une fonction nettement définie:! signifie toiit^ 0 signifie rien. J, c'est la classe qui comprend tous les êtres possibles ; 0, c'est, si l'on peut ainsi parler, la classe qui comprend tout ce qui n'existe pas. Soit maintenant à former une certaine classe comprenant tous les individus c[ui possèdent un certain caractère commun, x ; c'est, en dernière analyse, extraire de la totalité des êtres tous ceux qui possèdent le caractère donné; on l'exprimera symboUquement

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et, comme toute classe ainsi formée est, en fait, une certaine province définie de la totalité des choses, on peut sous-entendre, dans l'expression qui la désigne, le symbole de la totalité, et l'exprimer simplement par X. De môme, une autre classe sera désignée par ?/, une troisième par z, et ainsi de suite.

Soit maintenant à former une notion complexe, telle que « moutons blancs cornus ». — C'est choisir dans la totalité des êtres tous les moutons, puis, dans la totalité des moutons, tous ceux qui sont blancs, et enfin, dans la totalité des moutons blancs, tous ceux qui sont cornus. Si le résultat de la première opération est la constitution de la classe \x ou ac, celui de la seconde sera x^\ celui de la troisième, xijz x^jz désigne ainsi la classe comprenant tous les individus qui possèdent simultanément les attributs de la classe x, de la classe y et de la classe z.

Considérons cette formule et les opérations mentales qu'elle désigne, et nous reconnaîtrons de suite que l'ordre des symboles y est indifférent. En effet, que l'on forme d'abord la classe des moutons, pour en extraire ensuite tous les moutons blancs et, de cette nouvelle classe , tous les moutons cornus ; que l'on forme d'abord la classe des êtres blancs, pour en extraire ensuite les moutons cornus, ou que l'on forme d'abord la classe des êtres cornus, pour en extraire les moutons blancs, le résultat de cette triple opération sera toujours le même.

Les symboles logiques ont donc ce que les mathématiciens appellent la propriété commutative, que nous exprimerons par la formule suivante :

xij = yx. [1]