AB = CB

Potassium = métal potassium,

Potassium = potassium flottant sur l'eau ;

Donc métal potassium = potassium flottant sur l'eau.

« Il y a là réellement, dit M. Stanley Jevons, un syllogisme du mode darapti dans la troisième figure, avec cette différence que nous obtenons une conclusion d'un caractère beaucoup plus exact que celle de l'ancien syllogisme. Des prémisses : le potassium est un métal et le potassium flotte sur l'eau, Aristote aurait conclu que quelque métal flotte sur l'eau ; mais, si l'on demande quel est ce quelque métal^ la réponse sera certainement : le métal appelé'potassium. »

VI. Les inférences précédentes ont toutes pour fondement l'application de la première loi de la pensée aux termes divers des identités. Mais là ne s'arrête pas le champ de la déduction. En employant les propositions disjonctives, et en y appliquant les lois de contradiction et de dualité, nous pouvons parvenir à des , conclusions qui dépassent singulièrement la portée de j la logique péripatéticienne. C'est ici que va se mani- / fester, avec la fécondité du procédé de substitution^ la ' simplification extrême qu'il apporte au système de

STANLEY .lEVONS 161

Nous savons en quels termes Boole a posé le problème général de la logique; nous savons aussi quel appareil complexe de procédés mathématiques il emploie à le résoudre. Il s'agit d'en donner, à l'aide du seul procédé de substitution, sous la garantie des lois de la pensée, une solution plus conforme à ces lois, plus simple, plus claire et tout aussi générale.

Déterminons d'abord la nature et les lois de la relation alternative. — Boole a pensé, après Hamilton^ que toute alternative est logiquement exclusive, c'està-dire qu'aucun des objets dénotés par l'un de ses termes ne peut Têtre en même temps par l'autre. D'autres, au contraire, ont soutenu que souvent des alternatives sont compossihles , c'est-à-dire que les différents termes en sont vrais en même temps des mêmes objets. Whately en cite l'exemple suivant : « La vertu tend à nous procurer ou l'estime de nos semblables, ou la faveur de Dieu, » et il ajoute : « Ici, les deux membres sont vrais, et par conséquent, en affirmant l'un , nous ne sommes pas autorisés à nier l'autre. » "Whately a raison. Il y a des alternatives compossihles, de même qu'il y en a d'exclusives; mais c'est là une question de fait; la logique, par suite, ne doit pas considérer toute alternative comme exclusive. Là est Terreur capitale de Boole; elle l'a conduit à subordonner la logique à l'algèbre, et à chercher dans les procédés du calcul numérique les moyens de résoudre le problème général de la logique. La condition fondamentale du nombre est que chaque unité doit être absolument distincte de toute autre unité. Telle n'est pas la condition essentielle des termes logiques. Aussi, pour résoudre le problème de la déduction en général, faut-il se garder d'importer dans la logique les conditions propres à la science des nombres.

Rappelons-nous que les lois de la pensée sont au nombre de trois : loi d'identité, une chose est identique avec elle-même ; loi de contradiction, une chose ne peut pas, dans le même temps et au même lieu, posséder des attributs contradictoires; loi de dualité, toute chose doit ou posséder un attribut donné ou ne pas le posséder. Unies, ces trois lois nous permettent d'analyser tous les résultats d'une assertion quelconque, c'est-à-dire de déterminer la description d'une classe quelconque d'objets sous les conditions contenues dans cette assertion. La loi de dualité développe toutes les classes que peuvent constituer toutes les combinaisons possibles de ces conditions; la loi d'identité nous autorise à substituer à un terme ce qu'on affirme être identique à ce terme; enfin la loi de contradiction nous conduit à éliminer toute classe ou toute alternative contradictoire avec les conditions données.

Considérons des exemples très-simples. On donne la prémisse suivante : Un métal est un élément, et on demande de déterminer, d'après cette assertion, la description des corps composés ou non élémentaires.

Par la loi de dualité, je développe la classe non-élément en deux alternatives : ce qui est non-élément est ou métal ou non-métal. Mais, d'après la prémisse, un métal est un élément; substituant à métal, dans la première alternative, son équivalent, élément, j'aboutis à cette assertion : un non-élément est un élément. La loi de contradiction me force à exclure cette alternative; reste donc l'autre alternative : un non-élément est un non-métal. C'est le résultat demandé.

Soient maintenant les deux prémisses :

Le fer est un métal, [1]

Un métal est un élément. [2]

STANLEY JEVONS 163

Nous pouvons, en appliquant aux termes combinés de ces prémisses la loi de dualité, obtenir les combinaisons suivantes :

Le fer est un métal élément, [a]

ou un métal non-élément, [p]

ou un non-métal élément, [y]

ou un non-métal non-élément. [3]

Mais la prémisse [1] exclut les combinaisons [y] et [5], c'est-à-dire celles qui contiennent le terme non-métal; la prémisse [2] exclut la combinaison [p], c'est-à-dire celle qui contient le terme non-élément. Donc la combinaison [a] seule est vraie et contient la description complète de la classe fer sous les conditions données par les prémisses.

Pour faire voir la fécondité du procédé, exprimons symboliquement les prémisses et les combinaisons précédentes, et convenons que le signe -|- sera le signe de l'alternative ;

Prémisses ; A = B, [1]

On demande la description complète de A. Les alternatives à considérer doivent donc contenir A :

ABC, ABc,

AbC, A6c, A = ABC -1- ABc -1- khC '\- Ahc.

Les alternatives AbC et Abc sont contredites et annulées parla prémisse [1], car chacune d'elles contient b, contradictoire de B, donné comme identique à A; l'alternative ABc est contredite et éliminée par la prémisse [2], car elle contient c, contradictoire de C,

donné comme identique à B, qui lui-même est identique à A par la prémisse [1]. Donc ABC est la description complète de A sous les conditions [1] et [2J.

De même, nous pouvons obtenir la description de la classe c (non-élément), sous les mêmes conditions. Par la loi de dualité, c peut être développé dans les alternatives suivantes :

ABc Abc aBc

abc c = ABc •]- Pihc ■{' aBc 1- abc.

Mais ABc et Abc sont en contradiction avec la prémisse B = G ; aBc est en contradiction avec la prémisse A = B; donc abc est la description de la classe c.

On obtiendrait de la même façon la description de toute autre classe, B, C, a, b, sous les mêmes conditions.

Que le nombre des conditions données et par suite celui des alternatives possibles s'accroisse, les procédés de solution seront toujours les mêmes, et ils se ramènent, en tout cas, à des opérations uniformes de classification, de sélection et d'élimination des contradictoires. Développer, par la loi de dualité, toutes les alternatives qui peuvent exister dans la description du terme demandé par rapport aux termes contenus dans les prémisses; éliminer toutes les alternatives qui contiennent des termes contradictoires, et mettre en équation les termes restants avec le terme en question, voilà le tout de l'inférence déductive indirecte, féconde au delà de ce que pouvaient faire concevoir les procédés limités de la logique péripatéticienne.

Ainsi, pour prendre un exemple des plus simple?, soient les deux ter aies A et B, et les prémisses

STANLEY JEVONS 165

A = AB, fl]