STANLEY JETONS

marque de quelque contradiction dans les conditions de la combinaison. Ainsi les deux conditions A est B et A est non-B, qui sont contradictoires, auraient pour résultat d'interdire toute combinaison de A avec B. Nous avons donc à nous préoccuper uniquement des cas où A et B, a et & sont présents. Ils sont au nombre de sept : quatre d'entre eux, le huitième, le douzième, le quinzième, le quatorzième du tableau précédent, offrent trois combinaisons; deux, le septième et le dixième, en présentent deux; un seul enfin, le seizième, en présente quatre.

Considérons d'abord les quatre premiers. On sait qu'une proposition de la forme A = AB interdit la combinaison A&, h étant la négation de B , qui par A = AB est identifié avec A.- C'est le cas du douzième groupe, où ne se rencontre pas la combinaison Ab.

Mais la proposition A = AB peut, par Tinterversion des termes, ou la substitution aux termes positifs des termes négatifs correspondants, recevoir huit expressions différentes :

A = AB, A = Ab. a == aB, a = ab h =ah, B = aB, h = Ab, B = AB,

qui, prises par paires, suivant la disposition ci-dessus, sont les contrapositives l'une de l'autre , et par conséquent équivalentes deux à deux. Par conséquent, bien que la proposition A = AB puisse revêtir huit formes différentes, quatre d'entre elles seulement ont des sens logiquement indépendants; ce sont :

A = AB

A = Ab,

a = aB,

a == ab.

En se référant au tableau précédent, ces quatre propo-

sitions nous donnent les combinaisons respectivement contenues dans les groupes 12, 8, 15 et 14. Ces groupes de combinaisons sont ainsi ramenés à leur loi propre. Unissons maintenant ces quatre propositions deux à deux; nous verrons qu'elles se contredisent le plus souvent l'une l'autre ; ainsi A = AB contredit A = Ah. Deux couples seulement donnent des résultats noncontradictoires. Ce sont :

A = AB

a = ab et A = A&,

a = aB.

La première de ces couples donne les combinaisons du groupe 10, et la seconde celles du groupe 7. Ces deux groupes sont donc ramenés à leurs lois respectives A = AB, A = Aî>.

Reste le seizième cas, contenant quatre combinaisons. Mais, par cela même que toutes les combinaisons de A, de B, de a et de b y sont présentes, elles ne sont soumises à aucune autre loi que les lois de la pensée.

Ainsi deux termes peuvent se montrer seulement dans sept séries de combinaisons auxquelles correspondent les lois suivantes :

Pour AB, aB, a&.

Pour A??, aB, ah

Pour AB, kh, aB,

Pour AB, A&, ah

Pour AB, ah

Pour Ab, aB

Pour AB, A?>, aB, ahy pas de loi.

On voit par là que toute relation logique entre deux termes peut être exprimée dans une proposition de la

AB

ou 6 = ab

ou B = aB

aB

ou 6 = A6

ab

ou B = AB

ou a =h ;

ou a = B;

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forme A. := AB ou A = B, c'est-à-dire sous forme d'identité partielle ou d'identité simple.

Il suffit de cet exemple, le plus simple d3 tous, pour faire voir combien est complexe et abstrait le procédé inverse de la déduction. Avec le nombre des termes engagés dans la question, les difficultés s'accroissent, au point de devenir promptement insurmontables. Ainsi, pour trois termes, le nombre des séries à traiter est de 256 ; pour quatre termes , il est de 65,596 ; pour cinq termes, de 4,294,967,296; pour six termes, de 18,446,744,073,709,551,616. L'induction formelle est donc, sauf pour les cas extrêmement simples, un procédé impraticable.

Ici finit l'exposition, objet de ce travail. On a pu voir la filiation des divers systèmes issus du principe de la quantification de prédicat, et le progrès en extension et en simplicité qu'ils réalisent l'un sur l'autre. Ici devrait commencer la critique ; c'est une œuvre de plus longue haleine et de plus haute difficulté, que nous devons ajourner.