sr„ + S

Il suffit donc, pour évaluer le coefficient de risques, de connaître le capital correspondant à une pension déterminée.

II est nécessaire pour cela de connaître :

1° Le taux de l'intérêt ;

2° La loi de mortalité des intéressés.

Soit j) le taux de l'intérêt; et supposons que, d'après la table de mortalité des intéressés, Lj. représente le nombre de personnes vivantes à l'âge x.

Le problème consiste à calculer le capital correspondant à une pension égale à l'unité qui serait servie à chacun des intéressés d'âge x jusqu'à leur mort : soit R^ le capital, correspondant à la pension de l'un quelconque des intéressés.

GENERALITES 33

Le nombre des intéressés d'âge x étant Lj d'après la table de mortalité, la somme qu'ils recevront pour la première année sera L.,. Au bout de la première année, leur nombre sera réduit à Lj. + i par suite des décès conformément à la loi de mortalité, et la somme qu'ils recevront sera L^ + i. Si l'on

pose q = — . qT^ ' la valeur de cette somme, au début de la

première année du fonctionnement de l'assurance sera -yti' et ainsi de suite.

On voit donc que le capital total correspondant à l'ensemble des pensions, supposées égales à l'unité, à servir aux L^ personnes d'âge x sera donné par la formule

d'où, en divisant les deux membres par Li

Ra^ =

En divisant par q"^ les deux termes du rapport qui constitue le second membre et en posant

on a

C'est la formule cherchée.

Les développements qui précèdent supposent que la pension annuelle égale à l'unité est payable au début de chaque année ; or, les législations étrangères supposent en général que la pension sera payable par fraction d'année, au début de chaque mois, par exemple.

Soit n le nombre de ces fractions d'année : on aura, dans l'hypothèse du paiement mensuel, n = 12. Le nombre Lj. des personnes vivantes au début du premier mois de l'année sera réduit à

au début du deuxième mois de la même année ; et à