Les lois fondamentales de l'univers
Preuve. — L'espace est en effet l'objet le plus simple de l'Univers parce que tout autre objet est composé, non seulement d'espace, mais encore d'un contenu quelconque. C. q. f. d.
Remarque. — En conséquence, pour procéder du simple au composé, on doit commencer par l'espace.
§ 2. — L'espace est un objet réel par lui-même, indépendant de son contenu du moment.
Preuve. — Ici nous avons deux propositions à démontrer : 1° ((ue l'espace est un objet réel, et 2° que c'est un objet réel par lui-même indépendamment de ce qu'il contient à un moment donné.
Première preuve. — Prouvons d'abord que l'espace est un objet réel.
Tout objet qui peut être perçu directement par un ou par plusieurs de nos sens est par là même un objet réel.
Nous constatons avec notre vue la distance qui sépare deux points quelconques de l'espace et nous pouvons mesurer cette distance, c'est-à-dire cette partie de l'espace. Donc l'espace est un objet perçu par nos sens, d'où nous sommes forcés de conclure que l'espace est un objet réel.
Maintenant il nous reste à prouver que c'est un objet réel par lui-même indépendamment de ce qu'il contient à un moment donné.
Voici cette preuve :
Deuxième preuve. — Dire que l'espace n'est qu'une propriété des objets, c'est dire ce qui n'est pas, car tel objet qui remplit en ce moment telle partie de l'espace, lorsque cet objet s'est déplacé, l'instant d'après il a emporté certainement avec lui toutes ses propriétés, mais a-t-il emporté cette partie de l'espace qu'il occupait avant? Évidemment non; il est tout simplement allé occuper une autre partie
de l'espace, et la partie de l'espace occupée antérieurement par cet objet est restée ce qu'elle était avant, un cadre immuable que d'autres objets viendront remplir à leur tour.
L'espace est donc un objet réel par lui-mèmo indépendamment de son contenu du moment.
Reinar([ue. — Il y a des philosophes qui font le raisonnement suivant :
« Puisque les mouvements de l'air ou de l'Éther « se traduisent pour nous en son et en lumière, u sans être ni son ni lumière; puisque des choses « qui, en soi, ne sont ni sonores ni lumineuses, « peuvent nous apparaître comme telles, pourquoi, c( par la même raison, des choses inétendues ne c( nous apparaîtraient-elles pas sous la forme de « l'étendue ? »
Bien qu'il soit pénible d'avoir à prouver l'évidence, voici ce que nous répondrons à ces philosophes :
S'imaginer que les vibrations de l'air ne sont pas sonores et celles de l'Éther ne sont pas lumineuses constitue une erreur fondamentale.
Lorsque nous entendons un son, les nerfs de notre organe de l'ouïe exécutent par seconde autant de vibrations qu'en exécutent l'air et le corps résonnant qui fait vibrer cet air. Ainsi, le son n'existe
pas seulement en apparence pour nous parce que nous le percevons comme tel, mais il existe réellement par lui-même, puisque notre perception est la simple reproduction du nombre de vibrations par seconde qui constituent le son.
Il en est de même de la lumière. Les vibrations de l'Éther produites par un corps qui brûle se communiquent aux nerfs de nos organes visuels. Ces nerfs exécutent par seconde autant de vibrations qu'en exécutent les ondes de l'Éther qui produisent cette lumière. Ainsi, la lumière est en dehors de nous la même que ce qu'elle est en nous. Ainsi, 497 trillions de vibrations en une seconde constituent la couleur que nous appelons rouge, 648 trillions de vibrations par seconde constituent la couleur bleue, et ainsi de suite. Notre perception est tout à fait identique au phénomène que nous percevons. Ce phénomène est donc bien réel par lui-même. Si nous étions aveugles, la lumière n'en existerait pas moins, de même que le Soleil ne cesse pas d'exister parce que nous ne le voyons pas lorsque nous fermons les yeux.
Ainsi, tant de vibrations de Tair par seconde forment un son et tant de vibrations de l'Éther par seconde forment de la lumière, et cela en dehors de nous aussi bien qu'en nous, d'une manière tout à fait identique.
Ce sont donc là des états bien réels de la matière, il n'y a là ni apparence ni illusion.
Considérons maintenant le toucher, le plus simple, le plus élémentaire et le plus sur de nos sens, parce que ses perceptions se font au contact immédiat de l'objet perçu.
En touchant un objet nous constatons du même coup sa résistance, c'est-à-dire l'impénétrabilité de la matière, et la forme de cet objet, c'est-à-dire son étendue dans les trois dimensions de l'espace qu'il occupe.
Ainsi, on ne peut pas récuser le témoignage de nos sens pour essayer de nier l'existence de l'espace, car ce serait le comble de l'aberration que de nier l'espace pendant que l'on touche du doigt un objet qui a de l'étendue.
Il y a aussi des philosophes qui veulent établir une différence entre la réalité et l'apparence.
Au fond et en réalité, disent-ils, il n'y a au monde que des atomes plus ou moins rapprochés les uns des autres. Les objets que nous voyons, tels que plaines, montagnes, forêts, etc., ne sont que des apparences.
Pour leur répondre, observons qu'en affirmant cela, ils reviennent encore à dire que nos perceptions ne sont qu'apparentes, tandis que nous venons de prouver au contraire qu'elles sont bien réelles.
c'est-à-dire qirelles correspondent exactement au phénomène perçu. Ensuite, c'est une erreur capitale de croire qu'il n'y a au monde que des atomes plus ou moins rapprochés les uns des autres, car il y a aussi le mouvement de ces atomes et il y a, par dessus tout et avant tout, les lois géométriques qui par les chocs des atomes produisent les formes que nous percevons.
Ainsi, quand vous regardez un cristal, les faces symétriques, les arêtes et les angles polyèdres que vous voyez ne sont pas apparents, mais sont tout aussi réels que les atomes qui les composent, et nous les percevons tels qu'ils sont produits par le mouvement des atomes et par les lois géométriques.
lien est de môme de tous les objets de l'Univers; nous les percevons par nos sens tels qu'ils sont en réalité. Il ne saurait d'ailleurs en être autrement, puisque nos sens sont aussi produits eux-mêmes par les lois géométriques de la même manière que tous les autres objets du monde : il y a, par conséquent, concordance absolue entre nos perceptions et les choses perçues.
Enfin, comment peut-on admettre un non-sens tel, que les choses matérielles qui existent dans l'espace pourraient être inétendues? Mais occuper une partie de l'espace, c'est déjà par là même manifester l'existence de l'espace, qui d'ailleurs continue
à exister comme tel quand cet objet est allé occuper une autre partie de l'espace.
Nous allons d'ailleurs démontrer géométriquement que les objets existent parce que l'espace existe. On ne peut donc pas dire que l'idée de l'espace nous vient des objets. L'idée de l'espace s'impose d'elle-même comme toutes les lois géométriques.
^3. — L'espace existe parce qu'il est réellement impossible qu'il n'existe pas.
Première preuve. — Il serait en effet impossible que l'espace n'existât pas; car là où à présent il y a de l'espace, qu'y aurait-il alors, sinon toujours et nécessairement de l'espace?
Cette preuve suffit au bon sens, mais ne suffit pas à la philosophie, car on pourrait objecter que la nécessité de l'existence de l'espace vient d'être démontrée par le fait même de l'existence de l'espace.
Or voici une preuve géométrique définitive :
Deuxième preuve. — Si l'espace pouvait ne pas exister, le néant serait possible. Or le néant est mathématiquement impossible, puisque 0 = -{- a — a^ et quelque expression qu'on donne à zéro, elle aura toujours le même type, c'est-à-dire qu'elle contiendra toujours des valeurs égales, positives et né-
gatives, ce qui est précisément le contraire du néant.
L'idée de néant est venue à Thomme par manque de réflexion et de connaissances.
En voyant disparaître un objet qui existait dans un moment donné, cela lui a suggéré l'idée du néant, parce qu'il ignorait que cet objet se transforme en d'autres objets. Ainsi la formule mathématique exprime rigoureusement ce qui existe en réalité.
Mais puisque le néant est mathématiquement impossible, le point mathématique est aussi impossible. C'est une pure fiction, ou, pour mieux dire, un non-sens. Puisque le point mathématique est impossible, le point réel existe nécessairement, comme nous le démontrons d'ailleurs plus loin.
Or le point réel occupe de l'espace; ce qui constitue la base de la première preuve, et l'on est maintenant en droit de dire :
Il serait en effet impossible que l'espace n'existât pas; car, puisqu'il y a par nécessité mathématique des points réels, c'est-à-dire à trois dimensions, l'espace existe par conséquent aussi par nécessité géométrique, et puisque, comme nous venons de le démontrer, le néant est mathématiquement impossible pour les points réels, il est par la même raison tout aussi impossible pour l'espace.
Il en résulte que l'espace existe parce qu'il serait réellement impossible qu'il n'existât pas.
Remarque. — A mesure que nous avancerons, nous verrons que ce premier fait si simple, si évident, qui a sa raison d'être dans une nécessité absolue, géométrique, parfaitement intelligible, est la première et Tunique cause concrète dont découlent nécessairement tous les phénomènes de l'Univers, c'est-à-dire qu'ils en découlent par une nécessité géométrique, nécessité évidente et absolue.
§ 4. — L'espace a toujours existé.
Preuve. — Qu'y aurait-il eu à sa place avant sa prétendue création, sinon toujours de l'espace? Donc il a toujours existé.
Cette preuve suffit au simple bon sens, mais nous allons donner aussi une démonstration mathématique de cette proposition. La voici :
Preuve. — L'espace a trois dimensions dont chacune est également infmie. Son expression mathématique est donc oo^ comme nous le démontrons au § 7. Or, pour que l'espace ait pu être créé, il faudrait qu'on puisse tirer de zéro l'infmi au cube. En d'autres termes, on devrait avoir 0 = ac% ce qui n'est pas, car
Par conséquent l'espace n'a pas été créé, d'où il résulte qu'il a toujours existé.
Oken a commis une grande erreur, dans sa PhilosopJiie de la 7iature, lorsqu'il affirme que l'Univers est sorti du rïen^ en s'appuyant sur l'expression 0 = f/ + /v + c... — a — h — c...
D'abord, zéro n'est pas rien^ puisqu'il est composé d'une série de nombres positifs et négatifs d'égales valeurs; ensuite, l'espace n'est pas représenté par + a + b -f c.. — a — h — r...^ mais l)ien par oo^, comme nous allons le démontrer; enfin le nombre de points matériels qui se trouvent sur les trois dimensions de l'espace et composent l'Univers est aussi exprimé par oo^
Pour que l'Univers ait été créé, pour qu'il soit sorti de zéro, on devrait donc avoir 0 = oo^, ce qui n'est pas.
Il est par conséquent absurde de dire que l'Univers est sorti de rien, et, pour en revenir à notre proposition, il en résulte que l'espace a toujours existé. G. q. f. d.
§ 5. — L'espace est éternel.
Première preuve. — Après son prétendu anéantissement, qu'y aurait-il là où il y a à présent de l'espace, sinon évidemment toujours de l'espace? Donc il ne saurait être anéanti, il est éternel.
Voici maintenant la démonstration géométrique de cette proposition :
Deuxiènie preuve. — Pour que Fespace ne soit pas éternel, pour qu'il puisse être anéanti, il faudrait pouvoir réduire oo^ à 0. Or, comme c'est impossible, cela démontre mathématiquement que l'espace est éternel. C. q. f. d.
§ 6. — L'espace est infini.
Première preuve. — En effet, quelques limites qu'on veuille lui assigner, il y aura au delà de ces limites toujours encore de l'espace.
En voici aussi la preuve géométrique :
Deuxiènie preuve. — L'espace a trois dimensions. Ces dimensions sont nécessairement infinies, parce que rien ne peut limiter les lignes qui représentent ces trois dimensions. Puisque les trois dimensions de l'espace sont infinies, il en résulte que l'espace lui-même est infini. C. q. f. d.
V désigne le volume de l'espace infini.
Preuve. — Nous avons démontré dans le paragraphe précédent que l'espace est infini.
Il est par conséquent infini dans tous les sens. Or tous les sens possibles se réduisent géométri-
quement à trois dimensions pour l'espace aussi bien que pour tous les objets situés dans Tespace.
Pour Tespace infini ces trois dimensions sont constituées par le produit de trois lignes infinies : d'où
(2) V = oc X ce X ^'
En construisant la forme de l'espace d'après les lois géométriques, nous commencerons par le produit de deux de ces lignes, ce qui donne un plan infini représenté par l'équation
(3) oc X ^ = y^^-
Ce plan superposé à lui-même à l'infini, c'est-àdire multiplié par la troisième ligne comme dans l'équation suivante,
(4) QC^ X C» = OC^,
donne enfin le volume de l'espace :
(5) V = oo\
G. q. f. dV
Remarque. — Observons encore que l'équation
V = Qc^ a un sens géométrique précis et rigoureux, bien que l'infini lui serve de base. Ainsi, on ne
pourrait pas représenter le volume de l'espace par V = oc. car, au lieu de son volume, on n'aurait qu'une ligne infinie de l'espace; on ne pourrait également pas le représenter par Y = oc^, car, au lieu d'avoir le volume de l'espace, on n'en aurait qu'un plan infmi ; on ne pourrait pas davantage le représenter par y = Gc^^ + °', n étant un nombre positif quelconque, car cela serait faux et n'aurait aucun sens, vu que le cube de l'infini donnant les trois dimensions de l'espace donne toutes les dimensions géométriquement possibles, c'est-à-dire qu'il donne toutes les dimensions qui existent réellement. Donc, puisque oc^ comprend toutes les parties de l'espace infini, il serait absurde d'en vouloir indiquer encore d'autres par Y= x^^^°'.
Ainsi, l'équation (1) y=oc^ a un sens géométrique précis et rigoureux, c'est-à-dire que cette équation exprime le volume de l'espace infini tel qu'il est réellement.
Voici enfm encore une démonstration que l'espace a nécessairement une forme :
1° L'espace est un objet réel comme tous les autres objets de l'Univers (§ 2).
T Tout objet réel a pour raison géométrique une forme, parce que tout objet s'étend dans les trois dimensions de l'espace et que c'est précisé-
ment cotte étendue dans chacune des trois dimensions qui constitue sa forme.
3° Donc, puisque l'espace s'étend comme tous les autres objets réels de l'Univers dans les trois dimensions, et comme chacune de ces dimensions est infinie pour Tespace, sa forme est par raison géométrique cc^
§ 8. — L'espace infini est une sphère aux rayons infinis, qui a un centre partout et nulle part une périphérie.
Remarque. — Ce fait, que Pascal a déjà énoncé, contient quatre propositions que nous devons démontrer Tune après l'autre :
1° Que l'espace infini est une sphère; 2" que les rinjons de cette sphère sont infinis; 3° que cette sphère a un centre partout^ et enfin 4" que cette sphère na 7îulle part une périphérie.
1° L'espace infini est une sphère.
Preuve. — Puisque l'espace est infini dans tous les sens (§ 7), il est d'une égale étendue dans tous les sens.
Or c'est précisément là ce qui constitue une sphère dont le caractère distinctif est, comme cela est connu, d'être d'une égale étendue dans tous les sens.
L'ESPACE. l'I
2"" C'est une sphère aux rayons infinis.
Preuve. — Comme l'espace est d'une étendue infinie dans tous les sens, les rayons de cette sphère sont nécessairement infinis.
Corollaire. — Comme de plus une ligne infinie est toujours égale à toute autre ligne infinie, ces rayons infinis sont nécessairement égaux entre eux, ce qui constitue une preuve de plus que l'espace infini est une sphère.
Voici encore une preuve que deux lignes droites infinies sont nécessairement égales :
a = a veut dire que le même objet dans les mêmes conditions est nécessairement égal à luimême. Une ligne droite infinie dans l'espace infini est le même objet dans les mêmes conditions, car dans quelque sens que cette ligne soit dirigée, c'est toujours une ligne droite infinie. Par conséquent, deux lignes droites infinies sont nécessairement égales parce qu'on peut les considérer comme le même objet dans les mêmes conditions, comme a = (I.
Il serait donc absurde d'admettre qu'on peut se représenter l'espace sous une autre forme quelconque aussi bien que sous la forme d'une sphère. Imaginerait-on, par exemple, un ellipsoïde aux axes infinis? Mais ces axes sont égaux par la raison même qu'ils sont infinis, et du moment où les deux
axes d'un ellipsoïde sont égaux, ce n'est plus un ellipsoïde, c'est une sphère. On n'aurait ainsi l'ellipsoïde qu'en imagination, mais en réalité on aurait la sphère.
Si Ton voulait dire : L'espace infini n'est pas plus une sphère que toute autre forme, précisément parce qu'il n'a nulle part une périphérie, on tomberait dans une grave erreur, et voici pourquoi :
L'espace est une sphère parce que tous les rayons qui partent de son centre sont égaux entre eux (§ 8, 2°) et que c'est précisément là ce qui constitue la nature de la sphère.
La périphérie de la sphère n'est que la limite de ses rayons ; or , comme les rayons qui partent d'un centre quelconque de l'espace sont infinis, il est évident qu'ils n'ont pas de limite et que par conséquent cette sphère ne peut pas avoir de surface limitée. C'est donc une sphère sans périphérie, mais toujours une sphère.
Bien plus, le véritable mode d'existence réelle de la surface de la sphère ne peut être trouvé que si l'on fait passer des plans par les extrémités des rayons, déterminant la position de ces plans et pris en un nombre quelconque, selon la loi géométrique de la symétrie. C'est la seule conception vraie de la surface de la sphère, parce que c'est la seule qui correspond à la réalité.
La ligne courbe et la surface courbe ne sont que des fictions mathématiques sans aucune réalité. Une ligne soi-disant courbe n'est en réalité qu'une ligne droite brisée en certains angles, et une surface courbe n'est qu'un assemblage de plans formant entre eux certains angles polyèdres. La réalité est ici tellement évidente que, malgré tous les artifices mathématiques, on n'est jamais parvenu et Ton ne parviendra jamais à calculer la circonférence du cercle et la surface de la sphère en les considérant comme des lignes et des surfaces courbes, et cela parce que les lignes courbes et les surfaces courbes sont des conceptions artificielles dénuées de toute réalité.
On calcule, au contraire, très facilement la circonférence du cercle, la surface et le volume de la sphère en considérant la circonférence du cercle comme composée de lignes droites fort petites, formant entre elles des angles égaux et déterminés par le nombre de côtés du polygone régulier qui constituent cette circonférence. De même, pour calculer la surface de la sphère, on est obligé de rentrer dans la réalité en la considérant comme une surface composée de plans formant entre eux des angles polyèdres égaux et déterminés par le nombre de leurs côtés. Enfin, pour calculer le volume de la sphère, on est obligé de la diviser en pyramides égales entre
elles , d'un nombre quelconque de faces dont les bases sont planes.
Ainsi, la réalité, toujours plus puissante que la fiction , reprend ses droits du moment où l'on se trouve en face d'elle.
Une preuve encore que la ligne courbe n'existe qu'en imagination, c'est que toutes les expressions algébriques par lesquelles la géométrie analytique détermine les différentes courbes sont toujours des rapports de lignes droites, c'est-à-dire les rapports des ordonnées et des abscisses.
De même, dans le calcul infinitésimal, l'expression des courbes est toujours composée de lignes droites excessivement petites qui sont exprimées par les infiniment petits. Si l'on soutenait que la ligne courbe, dans ce cas, est composée de points au contact les uns des autres comme la ligne droite, nous ferons observer que, dans ce cas extrême, la ligne courbe est encore, comme dans tous les autres, composée de petites lignes droites qui sont constituées par les diamètres de ces mômes points au contact. Il en est encore ainsi pour les courbes décrites par les Corps Célestes dans leurs mouvements. On sait qu'elles sont composées de lignes droites formées par les diagonales des diff'érents parallélogrammes des forces que ces Corps traversent.
Voici d'ailleurs une preuve directe et absolue
que la ligne courbe est impossible en réalité. Nous démontrons dans le cours de cette étude que tous les phénomènes de la nature sont produits par le clioc des atomes, et que la translation des atomes ne peut être qu'en ligne droite. Il en résulte que la ligne courbe n'existe nulle part dans la nature. C'est une pure fiction mathématique qui prend l'apparence pour la réalité.
3° L espace infini est une sphère aux rayons infinis fp/i a un centre partout: il a, par conséquent, une infinité de centres.
Preuve. — Tout point de l'espace est un centre de l'espace infini, car les rayons qui en partiront seront toujours égaux entre eux, parce qu'ils sont infinis f§ 8, 2"). Or, du moment où tous les rayons qui partent d'un point sont égaux entre eux, ce point est par là même le centre de la sphère. Puisque tout point de l'espace est un centre de l'espace infini, la conséquence rigoureuse en est que l'espace a un centre partout, c'est-à-dire qu'il est rempli d'une infinité de centres.
Première remarque. — Si l'on prenait dans l'espace deux points A et B situés à une distance quelconque l'un de l'autre, et qu'après les avoir réunis par une ligne droite qui passe parleur centre, on voulait objecter que la ligne infinie qui du point A
passe par le point B, est plus longue dans la direction AB de la quantité AB que la ligne infinie qui du point B s'étend dans la direction AB, nous ré-
pondons que le rayon qui part du point B vers A a la même dimension que celui qui part de A vers B, puisqu^il a aussi la même quantité BA en plus; par conséquent, ces deux rayons étant égaux, les points A et B se trouvent dans la même situation et peuvent au même titre être pris pour le centre du rayon inlini.
En voici d'ailleurs la démonstration mathématique :
En désignant par B,v 1^ rayon qui du point A passe par B, on a :
(1) R,, = AB+oc.
En désignant par Rp le rayon qui de B va dans le sens AB, on a :
(2) Rb = ^.
Or, comme ^3j R^^AB+oc^AB^,^^^,^,^
Br qc
GC
on voit que
Ra = Rb.
Il en résulte que, quelque part qu'on se transporte sur une li^ne infinie, on est toujours au centre de cette ligne.
Deuxième remarque. — Il est curieux d'oltserver que dans l'espace fini il y a une loi analogue. Ainsi, sur une sphère quelconque, tout point de sa surface est le centre de la surface d'un hémisphère, c'est-à-dire son pôle.
C'est ainsi qu'un de mes enfants, une Jeune fille de treize ans, sans la moindre idée de la mécanique céleste ou de la philosophie mathématique, inspirée par son instinct géométrique, a soutenu qu'elle se trouve au centre de la Terre. Elle a entendu naturellement par là au centre de sa surface, puisqu'elle ne pouvait penser qu'à ce qu'elle voyait. Or ce qu'elle voyait, c'était précisément la surface d'une calotte de l'hémisphère terrestre qui constitue l'horizon du lieu, et l'homme se trouve ainsi réellement toujours au centre de la surface d'un hémisphère terrestre sur quelque partie du globe qu'il se transporte.
4° L'espace infini est nne sphère qui na nulle part une périphérie.
Preuve. — La périphérie est la limite des rayons d'une sphère. Comme les rayons de Tespace sont infinis, ils n'ont pas de limite : donc la sphère qu'ils forment n'a pas de périphérie.
