DEUXIÈME CHAPITRE

§ 9. — Les points qui constituent les centres et les rayons de l'espace, sont des points réels.

Première preuve. — Comme l'espace est un objet réel (§ 2), une étendue réelle, une sphère réelle (§ 8, r), les centres qui le remplissent (§ 8, 3°) sont nécessairement aussi des points réels et les rayons (§8, 2°) des lignes constituées par des points réels.

Un penseur a dit « qu'entre les points mathé- « matiques et l'atome il y a un abîme infranchis- « sable » .

Oui, comme entre l'impossible et le réel. Le point mathématique est une chose impossible dans la réalité. C'est un jeu de notre imagination, c'est une négation du véritable point; bien plus, c'est un nonsens, car c'est vouloir avoir un point sans en avoir

un. Or, du non-sens, de l'impossible, à la réalité, il y a en eft'et un abîme infranchissable, mais un abîme que crée l'imagination en créant le point mathématique lui-même.

La ligne mathématique est aussi un non-sens, car on Timagine formée de points mathématiques, c'est-à-dire de points lictifs; or ajoutez un point de dimension nulle, comme le point mathématique, autant de fois que vous voudrez, jamais vous n'obtiendrez une ligne. Cela est si vrai que, après avoir supposé à la ligne une origine si absurde, on est obligé de se mettre en contradiction avec cette fausse définition de la ligne du moment où Ton aborde la réalité. Ainsi, pour représenter une surface et pour la mesurer, on multiplie une ligne par une autre, c'est-à-dire que l'on pose une ligne à côté d'elle-même dans un plan quelconque autant de fois qu'il le faut pour que cette surface égale en largeur la longueur de l'autre ligne. Mais si la définition de la ligne mathématique était soutenable, c'est avec elle q'u'il faudrait pouvoir composer la surface. Il serait absurde même de le tenter, car vous auriez beau poser une ligne mathématique à côté d'une autre pareille, vous n'obtiendriez jamais une dimension quelconque, puisque la dimension de cette ligne est nulle. Aussi qu'arrive-t-il? C'est que du moment où l'on a besoin d'une ligne, on

donne au point mathématique une étendue réelle, c'est-à-dire que l'on met de côté le point mathématique, comme une fiction gênante, pour se servir du point réel, pour construire la ligne avec des points d'une étendue réelle. De même, du moment où l'on a hesoin d'une surface, on se hâte de se débarrasser de la fausse notion de la ligne mathématique et l'on donne aux lignes à multiplier une étendue réelle, on se sert de lignes formées de points réels.

Par conséquent, si l'espace était un champ imaginaire, les points qui constitueraient les centres et les rayons de cette étendue fictive seraient aussi des points imaginaires, des points mathématiques. Mais comme l'espace est un objet réel, une étendue réelle, les points qui constituent ses centres et ses rayons sont nécessairement aussi des points réels, et cela par nécessité géométriqiie, nécessité absolue.

Deuxième preuve. — La preuve ci-dessus est rigoureuse puisqu'elle est géométrique, mais elle est prise dans la matière impondérable. Pour familiariser les esprits avec cette réalité géométrique, nous allons maintenant donner une preuve prise dans la matière pondérable.

Voici un boulet en fer. Pour combattre ce que nous avons dit du centre et des rayons de fespace, on nous objectera peut-être : Est-ce que ce boulet

n'est pas partout liomogène? Où sont h l'intérieur de cette sphère les traces de ces rayons et de ce centre que vous placez dans l'espace? Si cette loi avait de la réalité, ne faudrait-il pas qu'elle se manifestât dans cette sphère aussi bien que dans l'autre? Cette sphère est composée partout du même fer, elle est homogène partout. Or l'espace en luimême ne représente que le vide. Cette sphère étant homogène partout, comme le boulet en fer, elle sera partout vide et vous n'obtiendrez pas les points réels par la seule raison que l'espace existe.

Voilà l'objection; voici maintenant la réfutation basée sur des preuves physiques et mathématiques :

Vous avez basé toute votre objection sur une erreur capitale, à savoir, que le boulet en question est homogène partout. Eh bien ! nous allons vous prouver que, loin d'être homogène partout, ce boulet en fer réalise rigoureusement la loi géométrique qui nous donne par l'existence de l'espace la raison d'être des points réels.

Nous pourrions vous rappeler d'abord que ce boulet lorsqu'il a été fondu a subi nécessairement une pression plus forte dans son centre de gravité, qui est son propre centre, que partout ailleurs; qu'il a subi cette pression par les rayons qui vont de la périphérie au centre, et que, par conséquent, ce centre et ces rayons ne sont pas homogènes

avec le reste du boulet, mais sont nécessairement plus denses.

Nous pourrions vous observer aussi que, si ce boulet existe à l'état de fer, il le doit à la pression énorme de l'Éther, comme nous le démontrons plus loin. Or cette pression a^it nécessairement aussi de la périphérie au centre par Tintermédiaire des rayons. De là encore une différence dans la manière d'être du boulet sur les rayons qui de la périphérie vont au centre et sur ce centre même.

Nous pourrions vous rappeler encore que ce boulet une fois fondu, en se refroidissant d'après la loi établie mathématiquement par Newton, s'est refroidi de la périphérie au centre et que cette action s'est encore produite par les rayons, puisque la vitesse avec laquelle se refroidissent les sphères homogènes est toujours en raison inverse du carré de leur rayon. Ceci a eu nécessairement pour résultat que les rayons et le centre sont aussi, pour cette seconde raison, loin d'être homogènes avec le reste de la sphère.

Mais nous ne nous servirons pas de ces arguments irréfutables, parce qu'il s'agit d'assimiler le boulet à l'espace et que, par conséquent, si nous prenons l'espace existant (§ 3), nous devons prendre le boulet tout fait. Eh bien ! en faisant abstraction pour le moment de la manière dont ce boulet s'est

formé, du manque cV homogénéité qui existe entre son centre, ses rayons et le reste de cette sphère, en supposant même, pour abonder dans votre sens, que ce boulet est tout à Tait homogène partout, voyez cependant comme cette homogénéité imaginaire va disparaître encore une fois devant la réalité.

1" D'abord ce boulet, sous la pression énorme de l'Éther qui se transmet, comme nous l'avons observé, sur les rayons, de la périphérie au centre, offre nécessairement une différence sur ses rayons et clans son centre, et cela toujours et sans aucune interruption, car la pression de l'Éther est continue et s'exerce à tout moment, ce qui seul contient les molécules qui composent ce boulet à l'état de fer, comme nous le démontrons en détail plus loin.

2" Ensuite ce boulet a une certaine température, donc il a de la chaleur. Mais cette chaleur est un mouvement des parties les plus intimes de ce boulet.

Nous avons vu plus haut d'après quelle loi mathématique la chaleur agit dans cette sphère : donc son centre et ses rayons seront, par cette même raison, loin d'être homogènes avec le reste du boulet.

Il y aura là plus d'action, donc plus de points matériels en mouvement que dans le reste de cette sphère.

3° Le mouvement qui produit la chaleur constitue, comme nous le verrons plus tard, de véritables

vibrations dans cette sphère. Or, d'après les lois mathématiques des corps vibrants, les rayons et le centre diffèrent encore, par leurs mouvements, du reste de la sphère. Mais différence de mouvement signifie différence dans le nombre, la force et la direction des points matériels qui se choquent, c'est-à-dire encore différence réelle.

4° Ensuite ce boulet est soumis aux lois de la gravitation qui, comme nous l'avons indiqué plus haut, agit par ses rayons sur son centre et rend ces lignes plus denses que le reste du jjoulet.

5° Enfin ce boulet est soumis aux lois de la cohésion; or celle-ci décroît, comme nous le verrons plus tard, comme le cube du rayon, tandis que la gravitation décroît comme le carré de ce rayon. Ainsi, les rayons et le centre sont encore des lignes par lesquelles la cohésion doit agir, comme la gravitation, pour se répartir dans toute la masse du boulet. De là encore manque d'homogénéité entre ces lignes et le reste du boulet.

Veut-on enfin une preuve visible et palpable que d'après les lois géométriques il y a toujours une action sur les rayons qui vont de la périphérie au centre? La voici :

Prenez un polyèdre régulier formé par des fils en fer qui se coupent entre eux en carrés ou en losanges. Ce polyèdre n'a ni centre ni rayons; il est

vide à l'intérieur. Plongez-le dans de l'eau de savon où il y a un peu de glycérine, et retirez-le. Vous voyez alors le phénomène suivant :

De chaque sommet du polyèdre part un rayon qui va jusqu'au centre de la figure. Ces différents rayons sont reliés entre eux par des plans et forment les arêtes des angles polyèdres que t'ont entre eux les différents plans qui vont de la périphérie au centre. Voilà comment les lois géométriques de la gravitation et de l'équilibre ont une action directe et sensible sur les rayons et sur le centre de la sphère.

Ainsi, voici ce qu'il faut dire pour être d'accord avec la réalité : De même que l'homogénéité du boulet semble être constituée par le fer, l'homogénéité de l'espace semble être constituée par le vide. Mais le boulet en fer contient aussi du vide qui sépare les molécules de fer et les atomes qui le composent. Cette dissemblance n'est donc pas absolue, elle est plutôt apparente. Ensuite, comme dans le boulet en fer nous avons réellement un centre et des rayons qui diffèrent du reste du boulet, de même dans l'espace nous avons réellement des centres et des rayons infinis qui difierent du vide, qui sont nécessairement formés de points réels, sans quoi ils n'existeraient pas. Or nous avons vu (§' 8) qu'ils doivent exister par raison géométrique. Du moment donc où l'espace existe nécessairement (§ 3) comme

une étendue réelle (§ 2) et qu'il a une forme précise (§ 8), cette forme est un objet tout aussi réel que l'espace et cette nécessité géométrique absolue constitue la raison dêtre des points réels, des atomes.

Discussion. — A propos de la preuve ci-dessus, on nous objectera peut-être encore :

Est-ce que dans le boulet il n'y a pas toujours du fer entre les rayons que vous lui supposez? Donc il est homogène.

Certainement il y a toujours du fer, mais du fer moins mis en mouvement par les vibrations de la chaleur, de la gravitation, de l'Éther, que le fer qui est sur les rayons de cette sphère; donc le boulet n'est pas homogène et les rayons de cette sphère, loin d'être imaginaires, sont réels.

Mais nous dira-t-on : De tous les points de la surface d'une sphère ne part-il pas des rayons? La sphère entière n'est-elle pas composée de rayons? Peut-on supposer un point de la sphère par lequel ne passe pas un rayon?

Avec des points mathématiques et des lignes mathématiques, c'est-à-dire avec des points imaginaires et des lignes fictives, cela se passerait certainement ainsi; mais après toutes les démonstrations qui ont précédé, force est de renoncer à ces jeux de l'imagination et de rentrer dans la réalité,

en tenant compte de la dimension des points réels et des lignes réelles. En réalité, donc il est matériellement et géométriquement impossible que de tous les points de la surface d'une sphère il parte à la fois des rayons et qu'ils arrivent tous à la fois au centre de la sphère, car alors ce centre pour pouvoir recevoir tous ces rayons devrait être tout aussi étendu que la périphérie même de la sphère, ce qui est absurde à admettre.

Nous avons démontré (§ 8, 2°) qu'il n'existe dans la nature ni ligne courbe ni surface courbe, que ce sont de pures fictions géométriques sans aucune réalité. Les vibrations imprimées au boulet par l'Éther ne peuvent, par conséquent, se transmettre au centre du boulet que par des rayons qui constituent les arêtes des pyramides composant le boulet. Voilà la réalité.

Enfin on nous dira peut-être encore :

Si une sphère matérielle quelconque a des rayons et un centre, cela ne prouve pas que l'espace en ait nécessairement aussi, car on conçoit Tidée d'une sphère continue partout également vide et rien ne prouve que l'espace n'en soit pas une.

Ce qui prouve que l'espace n'est pas une sphère continue partout également vide, ce sont les démonstrations géométriques qui établissent ('§ 8) que l'espace est en réalité une sphère aux rayons infinis.

ayant un centre partout et nulle part une périphérie.

Détruisez ces démonstrations et alors seulement il vous sera possible de supposer l'espace partout également vide.

§ 10. — Les points réels de l'espace sont des points matériels.

Preuve. — II" est évident qu'un point, par là même qu'il est réel, est nécessairement matériel, car autrement sa réalité serait purement imaginaire, comme celle du point mathématique.

j; H . — Les points matériels sont minimes et indivisibles : ce sont les atomes.

Preuve. — Ils sont minimes et indivisibles parce que tant qu'un point peut encore être réduit, ce n'est pas encore un point. Or le centre de toute sphère doit nécessairement être un point, car, si, on voulait supposer au lieu du point toute autre forme quelconque, cette forme aurait toujours un point pour centre et ce centre serait nécessairement le centre de la sphère.

Par conséquent, les points matériels de l'espace, les atomes^ sont minimes. Ils sont aussi indivisibles par cela même qu'ils sont minimes, car minime

signifie ce qui ne sautait plus être réduit, donc ce qui ne saurait plus être partagé.

Remarque. — Voici encore une preuve que les atomes sont minimes.

Puisque le rapport du volume V d'une sphère à sa surface S est exprimé par

on voit qu'à mesure qu'une sphère devient plus petite, son volume diminue beaucoup plus que sa surface. Le contenu du point réel est donc à plus forte raison minime, puisque sa surface, comparativement beaucoup moins réduite, atteint cependant la limite géométrique qu'elle ne saurait dépasser sans que le point réel lui-même s'évanouisse et devienne par là un point imaginaire, un point mathématique.

Discussion. — On nous demandera peut-être : Pourquoi ne déterminez-vous pas la limite inférieure qu'un point matériel ne pourrait dépasser sans s'évanouir et sans devenir par là un point mathématique, un point fictif? En d'autres termes : Pourquoi ne déterminez-vous pas l'étendue réelle du point matériel, le volume de l'atome?

Nous avons déterminé a priori cette étendue en

démontrant, comme nous venons de le faire, que les points matériels sont sur la limite géométrique audessous de laquelle ils ne pourraient être réduits sans s'évanouir en points fictifs.

Maintenant, si Ton veut connaître quelle est de fait cette limite géométrique, comparée à une unité de mesure quelconque, on doit nécessairement mesurer l'atome, ce que nous faisons d'ailleurs dans le § 86.

§ 12. — Les atomes sont sphériques.

Preuve. — Le centre d'une sphère doit être dans tous les sens à une égale distance de la périphérie. Or ce centre ne peut remplir cette condition géométrique que s'il est sphérique.

Comme les atomes sont des centres de sphères, ils sont par conséquent nécessairement sphériques.

Remarque. — Mais, nous dira-t-on peut-être, l'espace étant une sphère sans périphérie, comment faites-vous intervenir cette périphérie dans la démonstration?

■ L'espace infini est certainement une sphère sans périphérie, mais tel point de l'espace d'où partent des rayons doit se trouver, si c'est le centre d'une sphère, dans tous les sens à égale distance d'une limite quelconque de ces rayons.

§ 13. — La matière a toujours existé.

Preuve. — L'espace ayant toujours existé (§4), il a toujours eu des points réels, des atomes pour centres et pour rayons (§ 8, 3"), par conséquent il a toujours été rempli de points matériels.

§ 14. — La matière est éternelle.

Preuve. — L'espace étant éternel (§ o), il aura toujours des points réels, des atomes pour centres et pour rayons (§ 8, 3°j, par conséquent il sera toujours rempli de points matériels.

Remarque. — La preuve ci-dessus est rigoureuse; elle suffit par elle-même comme toute démonstration géométrique, mais il est intéressant d'observer que l'expérience la confirme d'une manière incontestable. Ainsi, toutes les expériences physiques, toutes les réactions chimiques nous prouvent qu'aucune force de l'Univers ne saurait anéantir la moindre parcelle de matière.

§ 15. — La matière est infinie : partout où il y a espace il y a aussi matière.

Preuve. — Puisque l'espace est infini f§ 6) et a partout des points réels pour centres et pour rayons (§ 8, 3°), la matière est nécessairement aussi infi-

nie que l'espace, c'est-à-dire que partout où il y a

espace il y a aussi matière.

Observation. — Ici encore l'expérience vient confirmer la preuve ci-dessus. Sur notre Terre, aucun phénomène de la nature ne nous présente le vide absolu. Cherchons-nous à le produire artificiellement par une machine pneumatique par exemple, le vide que nous obtenons est loin d'être absolu; d'ailleurs, quand même nous réussirions à retirer tout l'air d'un espace quelconque, il y aurait toujours encore dans cet espace une certaine quantité de chaleur et de lumière pour constater la présence de points matériels.

Le vide absolu existe tout aussi peu dans les espaces interplanétaires. La propagation de la lumière dans ces espaces le prouve suffisamment.

Remarque. — Cauchy, dans ses leçons à^ physique générale publiées par l'abbé Moigno, soutient que le nombre actuellement infini est impossible.

Voici la démonstration qu'il en donne :

« On ne saurait admettre la supposition d'un « nombre infini d'êtres ou d'objets coexistants, sans « tomber dans des contradictions manifestes. En « effet, si cette supposition pouvait être admise, « on pourrait concevoir les objets dont il s'agit, « rangés dans un certain ordre et numérotés de

« manière que la suite de leurs numéros fût la suite « naturelle des nombres entiers 1, 2, 3, 4, etc. « On pourrait donc supposer cette dernière suite « actuellement prolongée à l'inAni. Or, pour dé- « montrer l'absurdité de cette dernière hypothèse, « il suffit de recourir aux considérations suivantes : « Vous savez tous que Ton nomme carré le pro- « duit d'un nombre par lui-même. Ainsi, en parti- « culier de ce que l'unité, une fois répétée, donne (( un pour résultat, de ce que deux fois deux don- « nent quatre, trois fois trois neuf, quatre fois quatre « seize, cinq fois cinq vingt-cinq, etc., il résulte « que la série des nombres carrés est 1, 4, 9, 16, « 23... D'un autre côté, si l'on prolonge indéfinice ment la suite naturelle des nombres entiers 1, 2, « 3, 4, 5..., les carrés que renferme cette suite se- « ront en minorité, et cette minorité sera de plus « en plus marquée. Efî'ectivement, si l'on arrête la « suite après le nombre 10, après le nombre 100, (( après le nombre 1000..., le nombre des carrés (( qu'elle renferme sera 3 dans le premier cas, 10 « dans le second, 31 dans le troisième... Par con- « séquent, le rapport entre le nombre des termes « carrés et le nombre total des termes deviendra « successivemenl ^^-. j^, ^ ou environ ^^ j^, ^^^ « d'où l'on doit conclure que, si la suite des nom- (( bres entiers pouvait être supposée actuellement

« prolongée à l'infini, les termes carrés y seraient « en très grande minorité. Or cette dernière con- « dition qui devrait être satisfaite dans l'hypothèse « dont il s'agit, est pourtant incompatible avec cette « même hypothèse, car dans la suite des nombres « entiers actuellement prolongée à Tinfini, se trou- « verait avec chaque terme non carré le carré de « ce terme, puis le carré du carré, etc. Donc, puis- « que Thypothèse de la suite prolongée à l'infini « entraîne des contradictions manifestes, cette hy- « pothèse doit être rejetée. »

Cette démonstration de Cauchy est erronée. En voici la preuve :

Disposons d'abord les objets, non pas seulement dans un certain ordre, comme le veut Cauchy, car c'est là un terme bien vague, mais disposons-les dans l'ordre rigoureux dans lequel les objets se trouvent en réalité dans l'Univers.

A cet effet, nous devons considérer les objets disposés dans les trois dimensions de l'espace.

Considérons d'abord les objets qui se trouvent sur une ligue droite infinie représentée par le signe oc.

Cauchy soutient que dans cette suite des nombres entiers actuellement prolongée à l'infini, se trouverait avec chaque terme non carré le carré de ce terme, puis le carré du carré, etc..

C'est une erreur, car le terme oo ne contient pas plus son carré que ne le contient un nombre fini quelconque n.

En voici la démonstration :

Posons les rapports des nombres dans leur suite naturelle à leurs carrés et prolongeons cette série à l'infini.

Nous avons :

y) \ ' yî. ' o'

oc

rr 00

OO

En simplifiant les termes de la série ci-dessus, elle devient :

Ainsi, vous aurez beau prolonger à l'infini la suite naturelle des nombres 1, 2, 3, 4, 5, ... n ... oo. Vous obtenez les carrés dans une proportion toujours décroissante comme dans la série finie, puisque le rapport du dernier terme de la série des nombres dans leur suite naturelle, au dernier terme

de la série des carrés, est toujours - pour la série

'' Il

finie et — pour la série infinie. Par conséquent, avec

le nombre infini, le nombre des carrés contenus

dans ce nombre est bien plus petit que dans tout

nombre fini, puisqu'il est exprimé par le rapport

—, au lieu de -, ce qui est précisément le contraire oc' n' ^ ^

de ce que soutient Caucliy.

Nous venons de démontrer que dans la série infinie tout se passe comme dans la série finie, puisqu'on ne trouve tous les carrés des termes d'une série infinie qu'au delà du dernier terme de cette série, absolument comme dans la série finie, et cela dans une proportion toujours décroissante, en raison même de ce que la série a été prolongée à l'infini.

Mais, nous dira-t-on peut-être, le numérateur du dernier terme de la série (1) devenant infini, comment voulez-vous que le dénominateur lui soit supérieur puisque l'infini est égal à l'infini? Grande erreur! L'infini n'est égal à l'infini que lorsqu'il est pris dans les mêmes conditions. Ainsi, il est certain que :