RIS, 2 2, RUE HUYGHENS, 2 2, PARIS

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En répondant au désir du directeur de cette collection, qui a bien voulu me demander quelques pages sur les mathématiques, je sens que fassume, sans en avoir Vair, une responsabilité assez périlleuse.

Ce petit livre s'adresse à tout le monde. Or, depuis que Von a renoncé à leur confier le sceptre de Vunivers, comme le demandait Platon, les mathématiciens n*ont guëte eu à se louer de J* attitude prise à leur égard par ce quon est convenu d'appeler « le monde ». En soulevant un coin du voile qui enveloppe nos géomètres, ajouterons-nous quelque chose à leur réputation, où n'allonsnous pas plutôt raviver imprudemment de vieux préjugés qui sommeillaient?

Que la plupart des hommes restent éloignés de la

science spéculative, on ne saurait ni s'en étonner, ni s'en

affliger» Mais le monde ne se contente pas d'ignorer les

mathématiques. Il les juge. Et si, le plus souvent, il leur

moigne du respect, ou même les admire, il n'a cepen-

int pour elles aucune bienveillance, Lorsqu un • homme

^esprit prononce la phrase consacrée « je n'ai pas la

•055e des mathématiques », soyons sûrs qu'il n'y a dans

son ion et dans son sourire aucune nuance de regteU tnais plutôt une satisfaction intime. N'est-il pas constant que, chez celui qui la possède, la fameuse bosse tire à elle toute la substance cérébrale, vide V esprit, dessèche le cœur, paralyse la vie? Les purs mathématiciens, j* entends ceux qui cultivent la théorie pour elle-même sont, croit-on, des êtres anormaux, nourris d* illusion, des étrangers en tous pa^s. Ils excitent, il est vrai, quelque curiosité.-^ A quoi donc, en effet, demande-t-on autour d'eux, à quoi relent ces jeunes et ces vieux savqnts? Quel objet poursuiventils? Quelles pensées cachent-ils sous leur étrange grimoire? Le public moderne, habitué à être informé de tout, s'étonne en constatant que le secret des mathématiciens est si bien gardé. Et il réclame des articles, des conférences, des livres, qui lui expliquent ce mystère. Eh bien, soit : puisque tel est leur désir, nous donnerons des livres aux gens du monde; mais j'ai bien peur qu'ils n'en tirent rien sinon la confirmation de l'opinion que d'avance ils avaient formée. S'ils ne comprennent pas notre exposé, cela prouvera que les problèmes des mathématiciens sont décidément insondables; s'ils comprennent, ils n'hésiteront plus à se faire eux-mêmes juges de ces problèmes, et en toute connaissance de cause, à ce qu'ils croiront, ils en dénonceront l'inanité.

Mettre les mathématiques à la portée des gens -du monde, mais voilà quatre cents ans qu'on s'^ essaye, et aucune entreprise n'a jamais été plus décevante. J'ai eu" la curiosité de • parcourir quelques-uns de ces écrits — publiés 'en si grand nombre depuis le XVI® siècle — où l'on s'efforce de prouver l'utilité* des mathématiques et d'exposer les raisons qui les rendent désirables. Quelle

décourageante lecture! Combien tout cela esi artificiel et misérable! Les auteurs de ces apologies ne savent-ils donc pas eux-mêmes pourquoi il faut aimer la science de leur choîx^ ou bien la défigurent-ils volontairement parce quils veulent flatter le goût d*un public dont dépend leur fortune et leur position?

Ecoutons les maîtres mathématiciens du XVI® siècle^ cesi-à-dire du temps où, pour grossir leurs traitements, les professeurs étaient obligés de se faire eux-mêmes solliciteurs. Dans une série de discours et de pétitions, nous les voyons s évertuer à démontrer que leur enseignement nest point indigne des subventions royales. Sans doute, conviennent-ils, cet enseignement ne saurait disputer la prééminence à celui des langues anciennes et de la philosophie; mais n oublions pas que les philosophes de V antiquité nous ont eux-mêmes donné V exemple de la spécu" lotion mathématique; ils ont montré quelle peut fournir des principes et des modèles de raisonnement aux médecins, aux physiciens ou aux politiques. Non il nest pas vrai, affirme Ramus, que le professeur de mathématiques ioit un simple paresseux. A condition d* expurger sa science et d* associer la pratique h la théorie, il pourra devenir un homme utile. C*est ainsi que Monantheuil, collègue de Ramus au Collège Ro^al, s'efforce d'appliquer la mécanique à une foule de questions d'actualité : topographie, médecine, art militaire et art nautique, construction du Pont-Neuf, art d'atteler les bœufs et de placer les fardeaux sur les épaules des portefaix parisiens, détermination de la beauté des femmes d'après leurs proportions, etc., etc. Tels sont quelques-uns des fruits que les mathématiciens sauront tirer de leurs spéculations si

Henri IV leur donne les moyens de vivre et s^il écarte Je la France les trois ennemis les plus redoutables de V Université, II6X6|jLov, Xi[i.6v, Xo(K.6v, la guerre^la famine et la peste.

Un demi-siècle passe, et voici le Père Mersenne qui, à son tour, entreprend d* intéresser aux travaux des mathé^ maticiens une société hostile ou indifférente. Si les hommes de science, diUil, occupent dans le monde un rang si modeste, cela tient à la difficulté, non à V insignifiance^ de leurs études; et Mersenne, dans deux chapitres de ses Questions physiques et mathématiques, nous explique en détail « Pourquoi les savants ne parviennent pas à de si hautes situations que les vaillants » et « Pourquoi la plupart des hommes préfèrent V argent à la science ». //, >}; a, cependant, dans les mathématiques, de quoi satisfaire à tous les goûts, A ceux qui, semblables aux amateurs de tulipes, s'attachent principalement aux curiosités, Mersenne recommande la musique, Vastrologie et les « gentillesses , qui dépendent des miroirs et des lunettes à longue vue » . D'autres trouveront dans . les mathématiques des leçons de nîorale et de religion. Est-il, pour* parvenir à Dieu, un moyen plus sûr que limitation de la chute des corps pesants? Et la morale na-t-elle pas pour objet Vharmonie de V esprit? Or rharmonie est une science mathématique, une science dont les applications sont, au reste, extrêmement variées; car le monde nest quun vaste instrument de musique, et a les sons peuvent être comparés aux poids, aux machines de guerre et i' paix, ,au battement du pouls et à la santé du corps et d Y âme ». Non moins évidents, non moins étendus sb' les services que peuvent rendre à la société la géométri.

r arithmétique et la mécanique. Ingénieurs^ médecins, alchimistes, philosophes, théologiens, prédicateurs, juristes, et <( tous les autres qui parlent en public )>, et tous ceux qui pratiquent des arts libéraux, tous ont besoin, d* après le Père Mersenne, <fe s* initier à l* étude dès mathématiques,

L* appel de Mersenne est éloquent, mais nous ne voy^om pas quil ait été entendu. Les ouvrages du savant religieux sont tombés dans Voubli ou dans le discrédit sans avoir convaincu personne. Et il en fut de même apparemment des innombrables écrits qui à la même époque développent le même thème : écrits singuliers et quil est impossible de lire aujoùrd*hui sans sourire, bien que naguère quelquesims aient eu leurs jours de vogue, les Mémoires mathématiques d*Henrion, par exemple, recueillis et dressés vers 1615 « en faveur de la noblesse française ».•

Aucun de ces plaidoyers na donné les résultats quon en attendait. Pourtant les mathématiciens nont pas eu le courage de renoncer à la faveur des foules; ils ne se sont pas résignés à être incompris; et ceux du XVI II® siècle ont repris, sur de vieux ou sur de nouveaux airs, V éternelle chanson. — La science des nombres est précieuse, dit Vabbé Poignard dans son Traité des quarrés ^ublimes {Bruxelles, 1704) : « Le grand Clavius, jésuite, a dit quelle élève V homme au-dessus du commun; saint Augustin que, sans elle, on ne saurait entendre plusieurs passages de V Ecriture Sainte; saint Jérôme ne doute pas

vancer qu^'elle a une force merveilleuse pour nous

re concevoir plusieurs m\)stères de notre foi; enfin le

roit nous montre clairement combien la jurisprudence a besoin; de sorte que les Mathématiques ne doivent

12 avant-Propos

pas être considérées comme un pur amusement de V esprit^ mais comme une science très importante ejt indispensablement utile à toutes sortes de personnes et à toutes sortes d*états, » — Trente ans plus tard, le Père Castel publia une Mathématique abrégée « à Vusage et à la portée de iottt le mondç, principalement des jeunes seigneurs, des officiers, des ingénieurs^ des physiciens, des artistes, etc, » (( Il p a, dit C€i^,, dans toutes les parties des mathématiques, des morceaux carieux, utiles' et nécessaires pour le^ gens du monde, et la vraie science des personnes d'un certain rang et de tout ce quil ^ a de gens d* esprit et de goût est de savoir un peu de tout cela )). Castel compose donc, pour les salons du XVIII® siècle, une M(xthén^tiqùe sans figures ni symboles, une Mathématique dtstinie principalement à mettre de l'ordre dans les notions scientifiques que la vie courante suggère a toute personne réfléchie et que. « Vusage du monde, la lecture, la conversation, la vue de mille objets, ne laissent pas de jeter dans les esprits ». *

Par Vidée quil se fait de Vhomme cultivé et par ses vues sur la classification des connaissances, le Père Castel est bien de son temps, d'un temps qui n'est plus. C'est en invoquant des considérations différentes que les mathématiciens du XIX® et du XX® siècles recherchent Vapprobation des gens du monde. Et sans doute leurs arguments font-ils impression sur beaucoup de nos contemporains. Mais que valent ces arguments en réalité, et qui sait comment les jugeront les générations futures?

Voici un petit ouvrage, dédié à V enfance, mais qui a trouvé auprès de nombreux adultes un vif et légitimé suc-^ ces, 2' Initiation mathématique de C. A, Laisant. Ce joli

livre reflète bien le goût que manifeste notre époque pour les divertissements de Vesprit et pour la science popularisée, rendue intuitive et pittoresque. Dans {'Initiation de Laisant il nest question ni de saint Jérôme ni de saint Augustin, ni de la formation des avocats, ni des vertus de la logique, ni des grandes applications techniques des mathématiques. Mais nous y trouvons des chapitres intitulés Une maison à bon marché. Le dîner cérémonieux. Le chien et les deux voyageurs, Le train du Métro. En composant ainsi un recueil de récréations mathématiques, Laisant se fait Vhéritier d'une longue tradition qui remonte à V époque de la Renaissance. Tradition curieuse, aimable, qui, lorsquelle est rajeunie par un homme d* esprit, est toujours assurée d^ avoir du succès. Mais est-ce bien là, je le demande, une initiation aux Mathématiques? Je suis convaincu que Laisant, comme jadis ceT" tains de ses devanciers, aura gagné 'le cœur de tous ses lecteurs. Mais combien auront pris vraiment son livre au sérieux? On donne parfois aux enfants des « bottes de physique » où ils trouvent les instruments nécessaires à r exécution de tours amusants; et il se peut bien que ces boites aient plus souvent que Von ne pense éveillé des vocations scientifiques. Pourtant les tours de ph'^sique ne doivent pas être confondus avec la Physique. De même les récréations mathématiques ne sont pas le moins du monde les Mathématiques,

Se plaçant à un autre point de vue, beaucoup de modernes amis des mathématiques insistent surtout sur les leçons de rigueur et de précision que nous pouvons tirer de cette discipline. Ils ont grandement raison de nous rappeler ainsi une vérité que certains de nos éducateurs^

semblent qudquef ois oublier; mais Platon avait dit. long" temps avant eux tout ce quil y^ a à dire à, ce sujet; e/, si cest uniquement la formation des esprits que Von a en vue, on peut à bon droit estimer éfue Variihmétique et la géométrie </e V Athènes du V® siècle serontf avec un peu d* algèbre, largement suffisantes. Aussi }^ a-tt'il apparence quen se donnant pour un professeur de déduction le mathématicien déprécie lui-même la plus grande et la plus' belle part de son activité. Si cest là sa mission, en ejf.et, quel besoin a-t-il de s* aventurer dans le laby;rinthe de Vanaly^se moderne? Et pourquoi ne pas s* en tenir à renseignement des siècles passer P // peut arriver ^ il est vrai, que certains de ses disciples bénévoles lui demandent parfois des luniières plus étendues. On rencontre à notre époque pas mal d'esprit curieux^ adonnés à des spécialités diverses,^ qui. se montrent très friands des méthodes mathématiques les plus récentes, qui déclarent ces méthodes indispensables pour la bonne conduite de leurs travaux, et qui sont toujours prêts à eh célébrer les mérites en termes enthousiastes, A leur service. Remercions ces hommes de leur témoignage et ne leur refusons pas les secours techniques quils demandent à nos savants. Mais gardons-nous d* exagérer la portée de ces collaborations et de voir là un triomphe dont puissent s'enorgueillir les Mathématiques. Ce nest pas parce que quelques psy^chologues ou quelques économistes imiteront les raisonnements des géomètres, et en tireront des conclusions douteuses, que vingt-cinq siècles de pensée et d*efforts spéculatifs auront obtenu leur récompense.

Si nous estimons que la pensée pure ne vaut pas suffisamment par elle-même pour pouvoir se passer de légiti-

mation, alors avouons franchement que nous entendons la subordonner à Vaction, et osons présenter la théorie mathématique comme une auxiliaire de V industrie. Nous nous mettrons ainsi d*accord avec les tendances dominantes de noire époque : car cest à la technique, assurément, que va aujourd'hui la faveur des masses, et ceux qui ont le loisir de récréer ou d*éduquer leur esprit par la science ne forment plus dans la société moderne quune petite minorité. Beaucoup d*excellents savants contemporains semblent d* ailleurs subir sans trop de regret V entraînement général, et cest avec complaisance quiU font miroiter aux y^eux du public les belles applications pratiques qui sortiront peut-être plus tard de leurs théories.

Sans doute ces savants n entendent-ils point pour cela s* incliner devant les praticiens et renoncer aux prérogatives dont ils ont joui jusquà ce jour. Il n'entre point dans leurs vues de se laisser diriger par des considérations utilitaires. Et ils développeront leurs systèmes en toute indépendance comme si ces s}^stèmes étaient bien le but suprême de leurs efforts. Mais cest quà leur avis c'est ainsi que Von doit procéder dam l'intérêt même de la science appliquée. Qui pourrait affirmer à l'avance, font-ils observer, que les- théories les plus abstraites, les plus éloignées des préoccupations actuelles, ne seront pas quelque jour utilisées par les mécaniciens ou les physiciens? Le fait se produit aujourd'hui même; il se présentera encore dans l'avenir. Bien insensé serait celui qui,

ichant cela, oserait contester au mathématicien le droit

e spéculer à sa fantaisie.

La conclusion est juste, l'argument est irréfutable.

lous permettra-t-on de penser, pourtant, qu'il est d'une

nature un peu frivole ?, Sani doute, bien des vérités recher" chées aujourd'hui pour des raisons théoriques sont appelées à. prendre plus tard une signification pratique. Mais d'autres vérités, non moins essentielles aux peux du mathématicien, n auront pas un sort pareil, Faudra-'t-il en conclure que celles-ci sont d'un moindre prix que celles-là? D'autre part, le fait qu'une théorie puisse servir aujourd'hui ou demain à des fins pratiques, a-t-il vraiment l'importance qu'on veut lui prêter? En somme, une application technique n'offre jamais qu'un intérêt passager, car de nouveaux progrès techniques viendront quelque jour la démoder. Au contraire, une belle théorie mathématique s'impose pour des raisons qui garderont leur force éternellement. Les propriétés des sections coniques n'ont-elles pas la même valeur aujourd'hui que du temps d'Apollonius? Cependant les formules qui servaient aux Alexandrins pour construire leurs ponts ou leurs navires — ou même pour dresser leurs tables astronomiques — ont perdu tout intérêt aux peux de nos techniciens. Comment, dès lors, pourrions-nous admette que la raison d'être d'une théorie se trouve dans ses applications? Soutenir une pareille thèse, c'est se rendre dupe d'une illusion. Sur le moment, sans doute, c'est l'application qui retient surtout notre attention; pourtant c'est la théorie qui, parce quelle est immuable^ occupera finalement la plus large place dans l'histoire totale de l'humanité.

Qu'est-ce à dire sinon que la question, qu'à la suite de beaucoup d'autres nous venons de nous poser, est au fond une question dépourvue de sens? Expliquer ce qui fait le prix des mathématiques pour la société des hommes, mais c'est une entreprise irréalisable. Les valeurs sociales

tiennent à des besoins, à des occupaiionst à des préoccupations, qui sont en partie fortuites. Comment donc en faire dépendre la vertu et la signification profonde des propriétés mathématiques ?

Il faut que nous en prenions courageusement notre parti : les véritables mathématiques ne sont pas faites pour la société. Aussi serait^l imprudent d* affirmer que leurs charmes seront à toutes les époques goûtées de celle-ci. Un caprice peut, orienter les hommes vers la science, un autre les en détourner. Et à V heure quil est, précisément, f ignore si un petit livre tel que celui-ci, s* il se présente sans fard et sans parure, a chance d^ètre accueilli avec s^mpafhie. Je ne puis cependant concevoir quune seule manière d'écrire ce livre. Son but doit être dé montrer les mathématiques telles qu elles sont et non * telles qu elles devraient être pour pénétrer facilement dans Vesprit dès gens du monde et pour satisfaire les goûts modernes. Les traits qui doivent être mis en évidence ne sont pas ceux qui ont un caractère piquant ou un intérêt pratique actuel, mais ceux qui jouent un rôle fondamen-* ial dans la genèse et le développement de la pensée théorique,

' U image des mathématiques que nous obtiendrons ainsi ne risque-t-elle pas d'être un peu sévère? N* exiger a-t-elle pas des personnes qui voudront la comprendre un effort d*abstraction trop soutenu? Et, laissant dans V ombre les applications, satisfera-t-elle pleinement la curiosité de ceux qui voudraient toujours savoir le pourquoi des choses?

Il se peut que non. Mais peut-être certains lecteurs nous sauront-ils gré de n avoir pas insisté sur les artifices qui

servent à populariser la science, puisque ce ne sont que des artifices, et Je n avoir pas expliqué le pourquoi des ^héories en invoquant des raisons qui n eussent pas été les véritables. Il est bon après tout qu un livre traitant des mathématiques reste un peu abstrus. S* il demande plus de réflexion, l* impression qui s* en dégagera sera sans doute plus conforme à la vérité.